- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习全国平面向量教案
第五章平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算 本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算. 突破点(一) 平面向量的有关概念 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| (2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] (1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量 a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案] (1)C (2)D [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．①② C．③④ D．①④ 解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 2．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误的命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C. 3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有________． 答案：，， 4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则 (1)与向量相等的向量有________； (2)与向量共线，且模相等的向量有________； (3)与向量共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合． 答案：(1) ， (2)，，，， (3)，，，， 突破点(二) 平面向量的线性运算 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a) ＝(λ μ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b) ＝λa＋λb 2.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的线性运算 [例1] (1)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( ) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c (2)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________． [解析] (1)由题可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，则＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c，故选D. (2)如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝ . [答案] (1)D (2) [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较，观察可知所求． 平面向量共线定理的应用 [例2] 设两个非零向量a和b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线． (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． [解] (1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线． 又与有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即解得k＝±1. 即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线． [方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用 (1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.如图所示，下列结论正确的是( ) ①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析：选C 根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误．故选C. 2.已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 解析：选D ∵A，B，C三点共线，∴∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1，故选D. 3.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( ) A.a－b B.a＋b C．－a＋b D．－a－b 解析：选B 如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，∴＝，则△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B. 4.已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ，∴解得λ＝，t＝，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝. 答案： [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( ) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A. 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( ) A． B. C． D. 解析：选A ＋＝(＋)＋(＋)＝ (＋)＝，故选A. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： [课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算能力] 1．(2017·杭州模拟)在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝( ) A.a－b B.a＋b C．a－b D．a＋b 解析：选A ＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A. 2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于( ) A. － B．－＋ C．2－ D．－＋2 解析：选C 因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－. 3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选C 由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形． 4．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( ) A．a B．b C．c D．0 解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0. 5．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC 的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3. 答案：3 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( ) A. B. C．1 D．2 解析：选A ∵D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)，∴＋＝2.∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝3，∴＝＝，故选A. 2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为( ) A. B. C. D. 解析：选B 由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝. 3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2， ＝2，＝2，则＋＋与 ( ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A 由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行． 4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选A 由＋＋＝0，得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，可得||＝||＝||.设OC与AB交于点D，如图，由＋＝可知D为AB的中点，所以＝2，D为OC的中点．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°. 5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为( ) A．3 B. C．2 D. 解析：选B 由已知得M，G，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝. 6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为( ) A. B. C. D. 解析：选C 设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又＝＋ ②，①②联立，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为. 二、填空题 7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正确命题的个数为________． 解析：由＝a，＝b可得＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋ b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，＋＋＝－a－b＋a＋b－a＋b＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3. 答案：3 8．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________. 解析：∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2. 答案：2 9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________． 解析：因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形 10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________． 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E 在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是. 答案： 三、解答题 11.如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝， ＝，用a，b表示， ，. 解：∵＝－＝a－b，＝＝a－b， ∴＝＋＝b＋＝a＋b. 又∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋ ＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解：(1)延长AD到G， 使＝， 连接BG，CG，得到▱ABGC，如图， 所以＝＋＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)证明：由(1)可知＝， 又因为，有公共点B， 所以B，E，F三点共线． 第二节 本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐标表示. 平面向量基本定理及坐标表示 突破点(一) 平面向量基本定理 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 基底的概念 [例1] 如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 [解析] 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解； 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解； 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解； 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底． [答案] D [易错提醒] 某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量． 平面向量基本定理的应用 [例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝( ) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b [解析] 如图，连接BP，则＝＋＝b＋，① ＝＋＝a＋－，② ①＋②，得2＝a＋b－，③ 又＝＝(－)＝，④ 将④代入③，得2＝a＋b－， 解得＝a＋b. [答案] C [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.(2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝( ) A.a＋b B．－a＋b C.a－b D．－a－b 解析：选A 由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ＝a＋b，故选A. 2.(2016·泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( ) A．a－2b与－a＋2b B．3a－5b与6a－10b C．a－2b与5a＋7b D．2a－3b与a－b 解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a＋7b可以作为一组基底． 3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( ) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：选A 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 4.(2017·绵阳诊断)在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 解析：∵B，P，N三点共线， ∴＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)， 又∵＝m＋， ∴解得m＝t＝. 答案： 突破点(二) 平面向量的坐标表示 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 2．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的坐标运算 [例1] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． [解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 即所求实数m的值为－1，n的值为－1. (3)设O为坐标原点， ∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 即M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 即N(9,2)． ∴＝(9，－18)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 平面向量共线的坐标表示 [例2] 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值． [解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－. (2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0， ∴m＝. [方法技巧] 向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． (2)当x2y2≠0时，a∥b⇔＝，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误． (3)公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式＝有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为( ) A.a＋b B.－a－b C.a＋b D.a－b 解析：选A 设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b. 2.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( ) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) 解析：选A ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以解得即N(2,0)． 3.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( ) A．－ B. C. D. 解析：选A ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 4.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________． 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故点D的坐标为(2,4)． 答案：(2,4) 5.已知＝a，＝b，＝c，＝d， ＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？ 解：由题设知，＝－＝d－c＝2b－3a， ＝－＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb. C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k， 使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 若a，b共线，则t可为任意实数； 若a，b不共线，则有 解得t＝. 综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：选A 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 2．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 [课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算能力] 1．若向量＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( ) A．(1,1) B．(－1，－1) C．(3,7) D．(－3，－7) 解析：选B 由向量的三角形法则，＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B. 2．(2017·丰台期末)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)，若a∥b，则( ) A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0 C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0 解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y＋4x＝0，故选C. 3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( ) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析：选A 由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)． 4．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(3,5)，＝(2,4)，则＝( ) A．(－1，－1) B．(5,9) C．(1,1) D．(3,5) 解析：选A 由题意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________． 解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 答案：－ [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b＝( ) A．(7,2) B．(7，－14) C．(7，－4) D．(7，－8) 解析：选B ∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 2．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( ) A．2 B．－2 C．±2 D．0 解析：选B 因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴解得m＝±2.又m<0， ∴m＝－2，x＝m＝－2. 3．已知在平行四边形ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝( ) A. B. C. D. 解析：选B 因为在平行四边形ABCD中，有＝＋，＝，所以＝(＋)＝[(－3,4)＋(2,8)]＝×(－1,12)＝，故选B. 4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( ) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 解析：选D 设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)． 5．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为( ) A. B. C. D. 解析：选D ＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝＝.∴＝. 6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( ) A．2 B. C．2 D．4 解析：选A 因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2. 二、填空题 7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________. 解析：＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴＝2＝2(－3,2)＝(－6,4)．＝＋＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 8．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝________. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则 ＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3. 答案：－3 9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________． 解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则得此时a＝b＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)} 10．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. 解析：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＋ ＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝. 答案： 三、解答题 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，. 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b. 12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为 .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 解：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B－，，设∠AOC＝αα∈0，，则C(cos α，sin α)， 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin， 又α∈，则α＋∈. 所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2. 第三节 平面向量的数量积及其应用 本节主要包括3个知识点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量数量积的应用； 3.平面向量与其他知识的综合问题. 突破点(一) 平面向量的数量积 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． (3)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量数量积的运算 1.利用坐标计算数量积的步骤 第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( ) A．－ B．－ C. D. (2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________． [解析] (1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以b＝，所以a·b＝－1×＋2×1＝. (2)取，为一组基底，则＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，∴·＝·＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝. [答案] (1)D (2) [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为( ) A．－ B．－3 C. D．3 解析：选C 因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为 ||cos〈，〉＝＝＝. 2．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( ) A．－ B．0 C. D．3 解析：选A 依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝＋＋＝－. 3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( ) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 解析：选D 如图所示，∵＝＋，＝，∴·＝(＋)·＝2＋·＝a2＋a·acos 60°＝a2.故选D. 4．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________. 解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10. 答案：10 5.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________. 解析：由已知得||＝，||＝， 则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝1×cos＋×＝－. 答案：－ 突破点(二) 平面向量数量积的应用 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ · 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的垂直问题 1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( ) A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ (2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) A．－ B．0 C．3 D. [解析] (1)在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误．又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B，C错误．所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确，故选D. (2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0. ∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)， ∴2a－3b＝(2k－3，－6)． ∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0. ∴k＝3. [答案] (1)D (2)C [易错提醒] x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件． 平面向量模的相关问题 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2； (2)|a±b|＝＝. [例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝( ) A．2 B．6 C．2 D．12 (2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________. [解析] (1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝2. (2)∵e1·e2＝， ∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°. 又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝. [答案] (1)C (2) [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝. (2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． 平面向量的夹角问题 求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos〈a，b〉＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角 [例3] (1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( ) A. B. C. D．π (2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________. [解析] (1)由(a－b)⊥(3a＋2b)， 得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ， 即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0. ∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. (2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9， b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝. [答案] (1)A (2) [易错提醒] (1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线． (2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( ) A．2 B. C．1 D. 解析：选B 由题意知即将①×2－②得，2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝. 2.已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C 设向量a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴|a|2＝－|a||b|·cos θ，∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°. 3.(2016·兰州一模)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( ) A. B. C．2 D．10 解析：选B ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝，故选B. 4.(2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b ，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( ) A. B. C．－ D．－ 解析：选A 由已知得a－c＝(3－k,3)， ∵(a－c)∥b， ∴3(3－k)－3＝0，∴k＝2，即c＝(2，－2)， ∴cos〈a，c〉＝＝＝. 5.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 解析：∵a与b为两个不共线的单位向量， ∴|a|＝|b|＝1， 又a＋b与ka－b垂直， ∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0， ∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)，∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1，∴k＝1. 答案：1 6.(2017·泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________． 解析：在△ABC中，设＝a，＝b，则b－a＝－＝，∵a与b－a的夹角为120°，∴B＝60°，由正弦定理得＝，∴|a|＝＝sin C，∵C∈，∴sin C∈(0,1]，∴|a|＝. 答案： 突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题 平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量与三角函数的综合问题 [例1] 已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值． [解] (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1. 又0查看更多