人教a版高中数学选修1-1：综合质量评估word版含答案
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综合质量评估
第一至第三章
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.“x>3”是“不等式 x2-2x>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D.非充分必要条件
【解析】选 A.解不等式 x2-2x>0 得 x<0 或 x>2,故“x>3”是“不等式 x2-2x>0”的充分不必
要条件.
2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有 x2-x+1>0”的否定是 ( )
A.∀x∈R,都有 x2-x+1≤0
B.∃x0∈R,使 -x0+1>0
C.∃x0∈R,使 -x0+1≤0
D.∃x0∈R,使 x2-x0+1<0
【解析】选 C.全称命题的否定是特称命题.
3.函数 y=f(x)的图象如图 1 所示,则 y=f′(x)的图象可能是 ( )
【解析】选 D.由函数 y=f(x)的图象可知当 x<0 时,函数单调递增,故 f′(x)>0,当 x>0 时,函
数单调递减,故 f′(x)<0.
4.(2016·河南南阳高二期末)若函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 在 x=-1 时取得极值,则 a 等于
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知 f′(-1)=0,解得 a=3.
5.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 的值为 ( )
A.1 B. C.- D.-1
【解析】选 A.y′=2ax,于是曲线 y=ax2 在点(1,a)处切线的斜率为 2a,由题意得 2a=2,解得
a=1.
6.已知点 P 是双曲线 - =1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别
是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.7 B.6 C.5 D.3
【解题指南】先根据渐近线方程求出 a,再根据双曲线的定义求|PF2|.
【解析】选 A.由双曲线方程得渐近线方程为 3x±ay=0,
则 a=2,双曲线中 c= ,b=3,
由|PF1|=3 知 P 为双曲线左支上一点,
则|PF2|=|PF1|+4=7.
7.椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率
为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.由题意知 = ,得 a2=4b2,
又 a>b>0,所以 a=2b.
所以双曲线的离心率 e= = = .
【补偿训练】设双曲线 - =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的
离心率为 ( )
A. B.5 C. D.
【解析】选 D.设双曲线的渐近线方程为 y=kx,这条直线与抛物线 y=x2+1 相切,联立方程得
整理得 x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得 k=±2,即 =2,故双曲线的离心率
e= = = = .
8.(2016·青岛高二检测)设函数 f(x)= x2-9lnx 在区间上单调递减,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(1,2] B. D.(0,3]
【解析】选 A.f′(x)=x- = (x>0),
令 f′(x)≤0 得 0
0,b>0)的一条渐近线方程是 y= x,它的一个焦点在抛物线
y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( )
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
【解析】选 B.因为双曲线 - =1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,所以
F(-6,0)是双曲线的左焦点,即 a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是 y= x,所以 = ,
解得 a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为 - =1.
10.(2016·大连高二检测)抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若三角形
OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 36π,则 p 的值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选 D.因为△OFM 的外接圆与抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以
△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
因为圆的面积为 36π,所以圆的半径为 6,
又因为圆心在 OF 的垂直平分线上,|OF|= ,
所以 + =6,p=8.
11.(2015·济南二模)已知函数 f(x)= x3+ ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,
满足 x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则 的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(1,3)
C. D.
【解析】选 B.因为 f(x)= x3+ ax2+bx+c,
所以 f′(x)=x2+ax+b.
因为函数 f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,
所以 f′(x)=x2+ax+b=0 在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,
f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,
即
在 aOb 坐标系中画出其表示的区域,如图,
=1+2× ,
令 m= ,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,
分析可得 0< <1,
则 1< <3,
所以 的取值范围是(1,3).
12.(2016·厦门模拟)若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线 -y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P
为双曲线右支上的任意一点,则 · 的取值范围为 ( )
A.∪∪(3,+∞).
18.(12 分)(2016·衡水高二检测)已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c.
(1)若 f(x)的图象有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围.
(2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈时,f(x)0.
所以当 x=- 时,f(x)有极大值 +c,
又 f(-1)= +c,f(2)=2+c,
所以当 x∈时,f(x)的最大值为 f(2)=2+c.
因为当 x∈时,f(x)2+c,解得 c<-1 或 c>2,
所以 c 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
19.(12 分)已知椭圆的两焦点为 F1(- ,0),F2( ,0),离心率 e= .
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.
【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0),
则 c= , = ,
所以 a=2,b2=a2-c2=1.
所以所求椭圆方程为 +y2=1.
(2)由 消去 y,
得 5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得 m2<5(*).
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
则 x1+x2=- ,x1x2= ,
y1-y2=x1-x2,
|PQ|=
= =2.
解得 m2= ,满足(*),
所以 m=± .
20.(12 分)已知函数 f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b(a>0).
(1)当 f(x)的极小值为- ,极大值为-1 时,求函数 f(x)的解析式.
(2)若 f(x)在区间上为增函数,在区间上是减函数,在上是增函数,
在上是减函数,在上是增函数,在上为增函数,在区间=-4,
所以 · =(x1+1,y1)·(x2+1,y2)
=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
=1+ +1-4= =1.
解得 k=±2.
(2)因为 y1>0,
所以 tan∠ATF= = = ≤1.
当且仅当 y1=
即 y1=2 时取等号.
故∠ATF 的最大值为 .
22.(12 分)已知函数 f(x)=- x3+ x2-2x(a∈R).
(1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间.
(2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立,求实数 a 的取值范围.
【解析】(1)当 a=3 时,
函数 f(x)=- x3+ x2-2x,
得 f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).
所以当 10,函数 f(x)单调递增;
当 x<1 或 x>2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;
所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,2),
单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).
(2)由 f(x)=- x3+ x2-2x,
得 f′(x)=-x2+ax-2,
因为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意 x∈[1,+∞)都
有 f′(x)max<2(a-1).
因为 f′(x)=- + -2,其图象开口向下,对称轴为 x= .
①当 ≤1 即 a≤2 时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以 f′(x)max=f′(1)=a-3,
由 a-3<2(a-1),得 a>-1,此时-11 即 a>2 时,
f′(x)在 上单调减增,
在 上单调递减,
所以 f′(x)max=f′ = -2,
由 -2<2(a-1),
得 0
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