【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量及其应用学案理

【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量及其应用学案理

平面向量及其应用 ‎【2019年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．‎ 试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．向量的概念 ‎(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.‎ ‎(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.‎ ‎(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．‎ ‎(4)如果直线l的斜率为k，则 a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．‎ ‎(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．‎ ‎2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，‎ ‎(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3．平面向量的性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎|A|＝. ‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．‎ ‎5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．‎ ‎6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．‎ ‎【题型示例】‎ 题型一、平面向量的线性运算 ‎【例1】(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.‎ ‎【解析】由已知得2a＋b＝(4,2)．又c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝.‎ ‎【答案】　 ‎【变式探究】 (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎ 【举一反三】设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析　∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，‎ ‎∴＝－＋.‎ 答案　A ‎【变式探究】在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y ‎＝________．‎ 解析　＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝－，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ 答案　　－ ‎【变式探究】 已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　)‎ A．－ B. C．－2 D．2‎ ‎【解析】∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则故＝－2.‎ ‎【答案】　C ‎【变式探究】已知P为△ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2＋＝(λ＋1)＋，且△PBA与△PBC的面积相等，则实数λ的值为________． ‎ ‎【感悟提升】‎ 平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等．‎ ‎(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解．‎ ‎(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解．‎ ‎(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．‎ ‎(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．‎ 注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．‎ ‎【变式探究】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.‎ ‎【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量用 ，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．‎ 题型二、平面向量的数量积 ‎ ‎【例2】(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A(－1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．‎ ‎【解析】设E(0，m)，F(0，n)，‎ 又A(－1,0)，B(2,0)，‎ ‎∴＝(1，m)，＝(－2，n)．‎ ‎∴·＝－2＋mn，‎ 又知||＝2，∴|m－n|＝2.‎ ‎①当m＝n＋2时，·＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3.‎ ‎∴当n＝－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，·取得最小值－3.‎ ‎②当m＝n－2时，·＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3.‎ ‎∴当n＝1，即E的坐标为(0，－1)，F的坐标为(0,1)时，·取得最小值－3.‎ 综上可知，·的最小值为－3.‎ ‎【答案】　－3‎ ‎【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ ‎【解析】解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有＋＝2，‎ 则·(＋)＝2· ‎＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝2＝，当P与E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取最小值，‎ 最小值为－22＝－2×＝－.‎ 解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，‎ 则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.·(＋)＝2·＝2(－1－x ‎，－y)·＝2＝2.‎ 因此，当x＝－，y＝时，·(＋)取得最小值，为2×＝－，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎【变式探究】已知|a|＝1，b＝(－1,1)且a⊥(a＋b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】设向量a与向量b的夹角为θ，因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即|a|2＋a·b＝1＋|a||b|cosθ＝1＋cosθ＝0，cosθ＝－，θ＝，故选D. ‎ ‎【答案】　D ‎【变式探究】已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D. ‎【解析】依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，选A.‎ ‎【答案】　A ‎【变式探究】已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，－6)，若向量c满足c与b的夹角为120°，c·(4a＋b)＝5，则|c|＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D．2 ‎【解析】依题意可得|a|＝，|b|＝3，a∥b.由c·(4a＋b)＝5，可得4a·c＋b·c＝5.由c与b的夹角为120°，‎ 可得c与a的夹角为60°，则有b·c＝|b||c|cos120°＝|c|×3×＝－|c|，a·c＝|a||c|cos60°＝|c|××＝|c|，所以4×|c|－|c|＝5，解得|c|＝2，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎【变式探究】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.‎ ‎【举一反三】已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则·＝(　　)‎ A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2‎ 解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.‎ BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，‎ ‎∴BD＝a.‎ ‎∴·＝||·||cos 30°＝‎ a2×＝a2.‎ 答案　D ‎【变式探究】△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 解析　由于△ABC是边长为2的等边三角形；‎ ‎∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，‎ ‎∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.‎ 答案　D ‎【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．‎ ‎【变式探究】设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B. 15 C．9 D．6‎ 解析　＝＋，‎ ＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(4－3)‎ ‎＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.‎ 答案　C 题型三、平面向量基本定理及应用 例3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2‎ ‎【解析】分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)．‎ ‎∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，‎ ‎∴可设P.‎ 则＝(0，－1)，＝(－2,0)，‎ ＝.‎ 又＝λ＋μ，‎ ‎∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，‎ ‎∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，‎ 其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3.‎ ‎【答案】　A ‎【变式探究】【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又 ‎，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B. ‎ ‎【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bcos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.‎ 答案　B ‎【举一反三】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)， B(－，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得＝(1－λ)·＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ)＝(－μ，μ－1)．‎ 因为·＝－，‎ 所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－，‎ 即(λ－1)(μ－1)＝.‎ 因为＝＋＝(λ－，λ＋1)．‎ ＝＋＝(－μ，μ＋1)，‎ 又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.‎ 由 整理得λ＋μ＝.选C.‎ 答案　C ‎ ‎