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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版第1章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、量词学案
第3课时 简单的逻辑联结词、量词(对应学生用书(文)、(理)6 8页) 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义． ① 会分析四种命题的相互关系. ② 会判断必要条件、充分条件与充要条件. ③ 能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不作要求). ④ 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容. ⑤ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1. 写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题：________________________________________________________________________. 答案：若ab≠0，则a≠0 2. 原命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个． 答案：1 3. (改编题)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的____________条件． 答案：充分不必要 解析：a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分不必要条件． 4. (改编题)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1 对称的充要条件是____________． 答案：m＝－2 解析：已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 5. (改编题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则綈p为__________． 答案：∀x∈R，x2＋x－1≥0 解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0. 1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题 ① 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题； ② 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； ③ 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题． 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若非p，则非q 逆否命题 若非q，则非p (2) 四种命题间的逆否关系 (3) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇔q. (3) 如果p⇒q，q__p，那么称p是q的充分不必要条件． (4) 如果q⇒p，p__q，那么称p是q的必要不充分条件． (5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 3. 简单的逻辑联结词 (1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词． ① 或：两个简单命题至少一个成立. ② 且：两个简单命题都成立. ③ 非：对一个命题的否定． (2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”． (3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”． (4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”． (5) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p∧q中p，q有一假为假，p∨q中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假． 4. 全称量词与存在量词 (1) 全称量词与全称命题 短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀x”表示“对任意x”． 含有全称量词的命题，叫做全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． (2) 存在量词与存在性命题 短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃x”表示“存在x”． 含有存在量词的命题，叫做存在性命题． 存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”． 5. 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) [备课札记] , 1 四种命题及其相互关系) , 1) (1) 命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为______________； (2) (2018·溧阳中学摸底)命题“∃x<0，有x2>0”的否定是________________． (3) 命题“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”是________命题．(选填“真”或“假”) 答案：(1) 若a≤b，则2a≤2b－1 (2) ∀x<0，有x2≤0 (3) 真 解析：(3) 很可能许多同学会认为它是假命题(原因m＝0时显然方程有根)，其实不然，由x2＋x－m＝0没有实根可推得m<－，而是{m|m≤0}的真子集，由m<－可推得m≤0，故原命题为真．其实，用逆否命题很容易判断它是真命题． 【精要点评】 本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题、逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假． 变式训练 下列命题中不是真命题的是__________．(填序号) ① “若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题； ② “若x2＋y2≠0，则x, y不全为零”的否命题； ③ “∃x∈R，使x2＋1>3x”的否定； ④ “若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题． 答案：③ 解析：①中命题的逆命题为若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题，故①正确；②中命题的否命题为若x2＋y2＝0，则x，y全为零，为真命题，故②正确；③中命题的否定为∀x∈R，使x2－3x＋1≤0 ，因为Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③错误；④中命题x2＋x－m＝0有实根⇔Δ＝1＋4m≥0⇒m≥－⇒若m>0，则x2＋x－m＝0有实根为真命题⇒其逆否命题也为真命题，故④正确．故填③. 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是____________________________________． 答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数 解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”., 2 充分条件和必要条件) ●典型示例 , 2) 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【思维导图】 对集合进行化简→将条件间的关系转化为集合间的包含关系→利用集合间的关系列出关于m的不等式→求出实数m的范围 【规范解答】 解： 化简集合A，由y＝x2－x＋1配方得y＝＋. ∵ x∈，∴ ymin＝，ymax＝2.∴ y∈.∴ A＝. 化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}． ∵ 命题p是命题q的充分条件，∴ A⊆B.∴ 1－m2≤，解得m≥或m≤－. ∴ 实数m的取值范围是∪. 【精要点评】 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键． ●总结归纳 充要关系的几种判断方法 (1) 定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假． (2) 等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (3) 利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件． ●题组练透 1. “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的______________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 答案：充分不必要 解析：x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤. 2. 已知p：x≥ ，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则 的取值范围是____________． 答案：(2，＋∞) 解析：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以 ＞2，即实数 的取值范围是(2，＋∞)． 3. 设n∈N ，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________． 答案：3或4 解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N ，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根2. 4. 若命题p：∃x∈R，使x2＋ax＋1＜0，则綈p：__________________． 答案：∀x∈R，使x2＋ax＋1≥0 解析：存在性命题的否定需要将存在量词∃改为全称量词∀，并且将命题的结论进行否定．所以命题“∃x∈R，使x2＋ax＋1＜0”的否定是“∀x∈R，使x2＋ax＋1≥0”． , 3 逻辑联结词) , 3) 已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是____________． 答案：[2，＋∞) 解析：依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2. 变式训练 已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________． 答案：[e，4] 解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈ ，若“p∧q”与“綈q”都是假命题，求x的值． 解：∵ 綈q假，∴ q真．又p∧q假，∴ p假． ∴ 即∴ ∴ x＝－1，0，1，2. , 4 全称命题与存在性命题) , 4) 已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，1] 解析：命题綈p是假命题，即命题p是真命题，由4x－2x＋1＋m＝0得m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1. 若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案：[－4，0] 解析：“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴ －4≤m≤0. 1. 已知命题p：∃x∈R，使ax2＋2x＋1<0.当綈p为真命题时，实数a的取值范围是____________． 答案：{a|a≥1} 解析：綈p：∀x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此命题为真命题，则即a≥1，从而所求a的取值范围是{a|a≥1}． 2. (2016·全国Ⅰ卷)命题“∃x∈R，2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是____________． 答案：[－2，2] 解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2. 3. (2018·衡水中学周测)设p：≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：因为p：≤x<1，q：a查看更多