【数学】2018届一轮复习人教A版 空间几何体的表面积与体积 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 空间几何体的表面积与体积 学案

第2讲　空间几何体的表面积与体积 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P123])‎ ‎1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧 ‎＝π(r＋r′)l ‎2.空间几何体的表面积与体积公式 ‎　　名 称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱 体 ‎(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥 体 ‎(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台 体 ‎(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧 ‎＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ‎＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．‎ ‎(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．‎ ‎2.求空间几何体体积的常用方法 ‎(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．‎ ‎(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．‎ ‎(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．‎ ‎3．几个与球有关的切、接常用结论 ‎(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ ‎(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ ‎1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　D　[解析] 由三视图可知，该几何体为三棱锥，V＝Sh＝××1×1×1＝，故选D.‎ ‎2. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为(　　)‎ A．1∶2 B．2∶3‎ C．3∶4 D．1∶3‎ ‎　B　[解析] 设球的半径为R.‎ 则＝＝，故选B.‎ ‎3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．6 B．3 C．2 D．3‎ ‎　B　[解析] 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.‎ ‎4. 已知圆锥的侧面积为a m2，且它的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为________m3.‎ ‎[解析] 圆锥的直观图与侧面展开图如图所示．‎ 设圆锥的底面半径为r，母线为l，‎ 则πrl＝a，①‎ ‎2πr＝πl，②‎ 联立①②解得r＝，‎ l＝2，‎ 所以OO1＝＝·，‎ 所以圆锥的体积V＝πr2·OO1＝π·· ‎＝.‎ ‎[答案] ‎5. 一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________cm3.‎ ‎[解析] 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，‎ 所以其外接球的半径r＝×2＝(cm)，‎ 所以V球＝π×r3＝π×3＝4π(cm3)．‎ ‎[答案] 4π ‎　空间几何体的表面积[学生用书P124]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π　　　　　　　　　 B．18π C．20π D．28π ‎(2)(2017·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 ‎【解析】　(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故×πr3＝π，所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.‎ ‎(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×＝2；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2，故选D.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)D 空间几何体表面积的求法 ‎(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系．‎ ‎(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体， 先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)‎ A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15‎ ‎　B　[解析] 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．‎ 直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.‎ ‎2．(2017·长春调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)‎ A．2＋π B．2＋π C．2＋(1＋)π D．2＋π ‎　A　[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即π＋π×＋×2×2＝2＋π.‎ ‎　空间几何体的体积(高频考点)[学生用书P125]‎ 空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于容易题．‎ 高考对空间几何体的体积的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求简单几何体的体积；‎ ‎(2)求组合体的体积；‎ ‎(3)求以三视图为背景的几何体的体积．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D．1‎ ‎(2)(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　)‎ A．＋π　　　　　　　 B．＋π C．＋π D．1＋π ‎【解析】　(1)由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A-BCD，将其放在长方体中如图所示，其中BD＝CD＝1，CD⊥BD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为××1×1×1＝.故选A.‎ ‎(2)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V1＝×12×1＝.设半球的半径为R，则2R＝，即R＝，所以半球的体积V2＝×R3＝××＝π.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝＋π.故选C.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C 求空间几何体体积的方法策略 ‎(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．‎ ‎(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　求简单几何体的体积 ‎1．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　A　[解析] 三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.‎ ‎ 角度二　求组合体的体积 ‎2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．＋2π B． C． D． ‎　B　[解析] 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋×π×12×1＝π.‎ ‎ 角度三　求以三视图为背景的几何体的体积 ‎3．(2017·唐山第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A． B． C．8－ D．8－ ‎　C　[解析] 由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，所以V＝V正方体－V圆锥＝2×2×2－×(π×12)×2＝8－.‎ ‎　球与空间几何体的接、切问题[学生用书P126]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2017·沈阳模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．2 C． D．3 ‎【解析】　‎ 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，‎ 所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ ‎【答案】　C 若将本例中的直三棱柱改为“底面边长为2，高为4的正四棱锥”，如何求解？‎ ‎[解] 如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，‎ 因为正四棱锥PABCD中AB＝2，‎ 所以AO′＝.‎ 因为PO′＝4，‎ 所以在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，‎ 所以R2＝()2＋(4－R)2，‎ 解得R＝，‎ 即球的半径为.‎ 球与空间几何体接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．　 ‎ ‎　(2017·太原一模)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A．3π B．π C．4π D．π ‎　A　[解析] 由图示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，‎ 即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S＝4π×＝3π.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P126])‎ ‎——巧用“割补法”求体积 ‎　(2017·唐山模拟)如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．‎ ‎【解析】　法一：‎ 如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．‎ 所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．‎ 由题知三棱柱ABCNDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.‎ 四棱锥DMNEF的体积为 V2＝S梯形MNEF·DN＝××(1＋2)×6×8＝24，‎ 则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.‎ 法二：‎ 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96.‎ ‎【答案】　96‎ ‎　本题给出两种求体积的方法．当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．‎ ‎　如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A．　　　　 B．　　　　‎ C．　　　　 D． ‎　A　[解析] 法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，‎ 因为三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG＝＝，‎ 取AD的中点M，则MG＝，‎ 所以S△AGD＝×1×＝，‎ 所以V＝×1＋2×××＝.‎ 法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥．‎ 所以V＝×12×＋2×××＝.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P271(独立成册)])‎ ‎1．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是(　　)‎ A．40π2　　　　　　　　　 B．64π2‎ C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π ‎　D　[解析] 当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的面积是32π2＋8π或32π2＋32π.‎ ‎2．(2016·高考全国卷甲)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎　A　[解析] 由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ‎＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.‎ ‎3．如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] 由题意得，此几何体为圆柱与球的组合体，其体积V＝π×23＋π×22×6＝.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－－＝.故选D.‎ ‎5．(2016·高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81‎ ‎　B　[解析] 由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3＝54＋18，故选B.‎ ‎6．在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B． C．6π D． ‎　B　[解析] 易知AC＝10.设底面△ABC的内切圆的半径为r，则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2，因为2r＝4＞3，所以最大球的直径2R＝3，即R＝.此时球的体积V＝πR3＝.故选B.‎ ‎7．(2017·福州模拟)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则棱柱的高h＝________．‎ ‎[解析] 因为底面周长为3，所以正六边形的边长为，则正六边形的面积为.‎ 又因为六棱柱的体积为，即h＝，‎ 所以h＝.‎ ‎[答案] ‎8. 如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________. ‎ ‎ [解析] 设三棱柱的底面△ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于h，于是三棱锥FADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.‎ ‎[答案] 1∶24‎ ‎9．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________．‎ ‎[解析] 由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2πr2＋πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2.由5πr2＋4r2＝16＋20π，得r＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．‎ ‎[解析] 由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，所以体积V＝××＝.‎ ‎[答案] ‎11．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图①所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH，图②、③分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；‎ ‎(2)求该安全标识墩的体积．‎ ‎[解] (1)侧视图同正视图，如图所示．‎ ‎(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCDEFGH ‎＝×402×60＋402×20‎ ‎＝32 000＋32 000＝64 000(cm3)．‎ ‎12．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎　C　[解析] 如图，设球的半径为R，因为 ∠AOB＝90°，‎ 所以S△AOB＝R2.‎ 因为 VO ABC＝VCAOB，‎ 而△AOB面积为定值，‎ 所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO ABC最大，‎ 所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO ABC最大为×R2×R＝36，‎ 所以R＝6，‎ 所以球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.‎ ‎13. 如图，在三棱锥DABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥DABC的体积的最大值．‎ ‎ [解] 由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．‎ 设d为AD到BC的距离．‎ 则VDABC＝AD·BC×d××＝2d，‎ 当d最大时，VDABC体积最大，‎ 因为AB＋BD＝AC＋CD＝10，‎ 所以当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，‎ d有最大值＝.‎ 此时V＝2.‎ ‎14．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：‎ ‎(1)试画出它的直观图；‎ ‎(2)求它的表面积和体积．‎ ‎[解] (1)直观图如图所示．‎ ‎(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，‎ 在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，‎ 则四边形AA1EB是正方形，‎ AA1＝BE＝1，‎ 在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，‎ 所以BB1＝，‎ 所以几何体的表面积 S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D ‎＝1＋2×1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1‎ ‎＝(7＋)(m2)．‎ 几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)．‎ 所以该几何体的表面积为(7＋)m2，‎ 体积为 m3.‎