【数学】2020届一轮复习人教B版9-6几何概型学案
第六节 几何概型
几何概型
(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
(2)了解几何概型的意义．
知识点 几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
[自测练习]
1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于米(C、D两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于米的概率为P＝＝.
答案：A
2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P(X≤1)＝，选B.
答案：B
3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．
解析：设阴影区域的面积为S，则＝，∴S＝.
答案：
考点一 与长度(角度)有关的几何概型|
1．(2018·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为( )
A. B. C. D.
解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有，长度为，P＝＝.
答案：A
2．(2018·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个根分别为x1，x2，由题意，得结合0≤p≤5，解得
，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．
因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，故这三条线段能构成三角形的概率为.
[答案]
[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．
[防范措施] 解决几何概型问题的易误点：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．
[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC中，D为斜边AB上任意一点，则AD的长小于AC的长的概率为( )
A. B．1－
C. D.
解析：依题意得知，所求的概率等于＝，选C.
答案：C
A组 考点能力演练
1．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
答案：B
2．已知正三棱锥S ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP
ABC128得x2－12x＋32<0,490°的概率为________．
解析：如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB>90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB
>90°的概率P＝＝.
答案：
9．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，求使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率．
解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤ ，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为＝.
10．(2018·济南调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.
基本事件空间为
Ω＝，
B＝，
则由图可知，P(B)＝＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
B组 高考题型专练
1．(2018·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由－1≤log≤1得log 2≤log≤log ，所以≤x＋≤2，解得0≤x≤，故事件“－1≤log≤1”发生的概率为＝.故选A.
答案：A
2．(2018·高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.
答案：B
3．(2018·高考陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋ B.＋ C.－ D.－
解析：复数|z|≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为＝－，故选D.
答案：D
4．(2018·高考湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A. B. C. D.
解析：区域Ω1为直角△AOB及其内部，其面积S△AOB＝×2×2＝2.区域Ω2是直线x＋y
＝1和x＋y＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P＝＝＝.故选D.
答案：D
