【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练（十四）复数、计数原理与概率、随机变量及其分布

【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练（十四）复数、计数原理与概率、随机变量及其分布

板块命题点专练（十四）复数、计数原理与概率、随机变量及其分布 命题点一　复数 ‎1．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)‎ A．1＋i　　　　　　　　 　B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选B　∵＝＝＝1＋i，‎ ‎∴其共轭复数是1－i.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)‎ C．(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ 解析：选C　A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；‎ B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；‎ C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；‎ D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)‎ A．0　　　 　 　 　　　　　 B. C．1 D. 解析：选C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)‎ A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 解析：选D　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.‎ ‎5．(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　＝＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．故选D.‎ ‎6．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1) B．(－∞，－1)‎ C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ 解析：选B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，‎ 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，‎ 又此点在第二象限，所以解得a＜－1.‎ ‎7．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.‎ 解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，‎ ‎∴∴或 ‎∴a2＋b2＝5，ab＝2.‎ 答案：5　2‎ ‎8．(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________.‎ 解析：＝＝＝4－i.‎ 答案：4－i ‎9．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．‎ 解析：由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，‎ ‎∴z的实部为2.‎ 答案：2‎ 命题点二　排列、组合 ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 解析：选D　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．‎ ‎2．(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)‎ 解析：不含有0的四位数有CCA＝720(个)．‎ 含有0的四位数有CCCA＝540(个)．‎ 综上，组成没有重复数字的四位数的个数为720＋540＝1 260.‎ 答案：1 260‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)‎ 解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．‎ 法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．‎ 答案：16‎ ‎4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ 解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．‎ 法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，‎ 而没有女生的选法有AC种，‎ 故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．‎ 答案：660‎ ‎5．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．‎ 解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．‎ 答案：60‎ 命题点三　二项式定理 ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．40 D．80‎ 解析：选C　5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40‎ C．40 D．80‎ 解析：选C　当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.‎ ‎3．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)‎ A．45 B．60‎ C．120 D．210‎ 解析：选C　由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1，2)＝CC，f(0,3)＝CC，‎ 因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.‎ ‎4．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.‎ 解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.‎ 答案：16　4‎ ‎5．(2018·浙江高考)二项式8的展开式的常数项是________．‎ 解析：由题意，得Tr＋1＝C·()8－r·r ‎＝C·r·x.‎ 令＝0，得r＝2.‎ 因此T3＝C·2＝7.‎ 答案：7‎ ‎6．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ 解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，‎ 令r＝7，再令r＝6，‎ 得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.‎ 答案：－20‎ 命题点四　古典概型 ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”‎ ‎，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率是＝.故选C.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝.‎ ‎3．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．‎ 解析：设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为.‎ 答案： ‎4．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ 解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．‎ 则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，‎ 则所求事件的概率为P＝.‎ 命题点五　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 ‎1．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜，则(　　)‎ A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)‎ B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)‎ C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)‎ D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)‎ 解析：选A　根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，∵0＜p1＜p2＜，‎ ‎∴E(ξ1)＜E(ξ2)．‎ 令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在上单调递增，‎ ‎∴f(p1)＜f(p2)，即D(ξ1)＜D(ξ2)．‎ ‎2．(2018·浙江高考)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则当p在(0,1)内增大时，(　　)‎ A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 解析：选D　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，‎ D(ξ)＝2×＋2×＋2× ‎＝2×＋2×＋2× ‎＝－p2＋p＋＝－2＋，‎ ‎∴D(ξ)在上递增，在上递减，‎ 即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜‎ P(X＝6)，则p＝(　　)‎ A．0.7 B．0.6‎ C．0.4 D．0.3‎ 解析：选B　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即 X～B(10，p)，‎ 所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.‎ 又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，‎ 所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，‎ 所以p＞0.5，所以p＝0.6.‎ ‎4．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎5．(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m＋n ‎(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；‎ ‎(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＜.‎ 解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：‎ p＝＝.‎ ‎(2)证明：随机变量X的概率分布为：‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量X的期望为：‎ E(X)＝·＝·.‎ 所以E(X)＜ ‎＝ ‎＝(1＋C＋C＋…＋C)‎ ‎＝(C＋C＋C＋…＋C)‎ ‎＝(C＋C＋…＋C)‎ ‎＝…＝(C＋C)‎ ‎＝＝，‎ 即E(X)＜.‎