【数学】2020届一轮复习人教B版点线面位置关系学案

【数学】2020届一轮复习人教B版点线面位置关系学案

微专题62 点线面位置关系的判定 一、基础知识 ‎（一）直线与直线位置关系：‎ ‎1、线线平行的判定 ‎（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行 ‎（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行 ‎（3）面面平行性质：‎ ‎2、线线垂直的判定 ‎（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系：‎ ‎（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直 ‎（二）直线与平面的位置关系 ‎1、线面平行判定定理：‎ ‎（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则 ‎（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行 ‎2、线面垂直的判定：‎ ‎（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则 ‎（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直 ‎（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 ‎（三）平面与平面的位置关系 ‎1、平面与平面平行的判定：‎ ‎（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行 ‎（2）平行于同一个平面的两个平面平行 ‎2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 ‎（四）利用空间向量判断线面位置关系 ‎1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量 ‎ 平面：法向量 ‎2、向量关系与线面关系的转化：‎ 设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）‎ ‎（1）∥∥‎ ‎（2）‎ ‎（3）∥‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎3、有关向量关系的结论 ‎（1）若，则 平行+平行→平行 ‎（2）若，则 平行+垂直→垂直 ‎（3）若，则的位置关系不定。‎ ‎4、如何用向量判断位置关系命题真假 ‎（1）条件中的线面关系翻译成向量关系 ‎（2）确定由条件能否得到结论 ‎（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假 二、典型例题：‎ 例1：已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则．‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而②中不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设对应法向量为，直线方向向量为，则条件转换为：，可推得，即，③正确；④为线面平行判定，要求在外，所以④错误；综上只有1个命题正确 答案：B 例2：已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（ ）‎ ‎①若∥，，则∥；‎ ‎②若，∥，则；‎ ‎③若∥，则∥；‎ ‎④若，∥，∥，则； ‎ A．②③ B．③④ C．②④ D．③‎ 思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题 ‎① 两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面和平面中，虽然，但两个平面不平行，所以①错误 ‎② 例如：平面∥平面，，但与不垂直，所以②错误 ‎③ 考虑利用向量帮助解决：，所以可以推断，所以可得∥‎ ‎④ 考虑利用向量解决：，由垂直关系不能推出，所以④错误 答案：D 例3：对于直线和平面，的一个充分条件为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路：求的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定的条件，A选项：例如正方体中的平面和平面 可知虽然平面，平面，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出，C选项可用向量模型进行分析：，所以可得：，即；D选项可利用A选项的例子：，可知平面，平面，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为的一个充分条件 答案：C 例4：给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是（ ）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④‎ 思路：分别判断四个命题：① 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；② 该命题为面面垂直的判定，正确；③ 空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④ 可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④‎ 答案：D 例5：已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若∥，∥则∥‎ C．若，，则∥‎ D．若∥，，则 思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确 B选项可用向量判断，∥，∥，由，无法判断出的关系，所以不能推出∥；C选项并没有说明直线是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，∥，，同理由无法判断的情况，所以无法推断出，综上所述：A正确 答案：A 例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ）‎ ‎① 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③ 直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ 答案：D 思路：① 到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：‎ 如图，平面，且分别为的中点，过作交于，连接，设是的中点 ‎ ‎ 平面 ‎ ‎③ 命题中没有说明直线是否在上，所以不正确；④正确，设为异面直线 的公垂线段，为中点，过作的平行线，从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。‎ 答案：D 例7：下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎① 若直线上有无数个点不在平面内，则∥‎ ‎② 若直线∥，则与平面内的任意一条直线都平行 ‎③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ‎④ 若直线∥，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 思路：① “无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；② 若∥，说明与没有公共点，所以与上任意一条直线都没有公共点，但即使无公共点，的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以②不正确；③ 线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，与上任意一条直线都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个 答案：B 例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（ ）‎ A. 过不在上的任何一点，可作一个平面与都平行 B. 过不在上的任何一点，可作一个直线与都相交 C. 过不在上的任何一点，可作一个直线与都平行 D. 过有且只有一个平面与平行 思路：A选项中，如果点与确定的平面与平行，则此平面只和平行，在此平面上，所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过的直线与相交，则也在该平面上，所以与无公共点；若过的直线与相交，则无法与相交，综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行，则由平行公理可知，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果异面，则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线，则所唯一确定的平面和平行，且在此平面上。所以D正确 答案：D 例9：设是两条异面直线，是空间任意一点，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 过点必存在平面与两异面直线都垂直 B. 过点必存在平面与两异面直线都平行 C. 过点必存在直线与两异面直线都垂直 D. 过点必存在直线与两异面直线都平行 思路：A选项，若平面与均垂直，则推得，与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲平移至共面，过的直线只需与这个平面线面垂直，即和都垂直，所以C正确；D选项如果直线与均平行，则由平行公理可得，与异面矛盾。所以C正确 答案：C 例10：设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（ ）‎ A. 若∥，∥，在外，则∥ ‎ B. 若，则 ‎ C. 若∥，则∥‎ D. 若，且，则∥‎ 思路：A选项可通过向量来判断：，由此可得：，因为在外，所以可判定∥，A正确；B选项设，则上所有点的投影落在中，上所有点的投影落在中，因为，所以上所有点的投影均在的交点上，即，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确 答案：D 三、历年好题精选 ‎1、（2016，山东胶州高三期末）设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2、给出下面四个命题：‎ ‎①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；‎ ‎②“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；‎ ‎③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；‎ ‎④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面，且，给出下列命题（ ）‎ ‎① 若，则 ② 若，则 ‎③ 若，则 ④ 若，则 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎4、（江西中南五校联考）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 ‎5、（2016，宁波高三期末）已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是 （ ）‎ A．若，且与不垂直，则 B．若，，则 C．若，，且与不平行，则 D．若，，则 ‎6、（2016，上海闸北12月月考）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：‎ ‎① 若垂直于同一平面，则与平行 ‎② 若平行于同一平面，则与平行 ‎③ 若不平行，则在内不存在与平行的直线 ‎④ 若不平行，则与不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7、设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ）‎ A. 若，则 B. ∥∥，∥，则∥‎ C. 若∥，∥，则∥ D. 若∥，则 ‎8、（2015，广东文）若直线是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 至少与中的一条相交 B. 与都相交 C. 至多与中的一条相交 D. 与都不相交 ‎9、（辽宁）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 习题答案：‎ ‎1、答案：D 解析：A选项若不在上，则无法判定；B选项：若，则，所以无法判定；C选项，如果来两两垂直，则无法判定；D选项，如果，则，再由可判定 ‎2、答案：D 解析：① 若平行于所在的平面，则的关系为平行或异面，所以不是充要条件；‎ ‎② 由线面垂直定义可知：直线⊥平面当且仅当直线⊥平面α内所有直线，所以②正确；③ 中若直线不相交，则可能平行。所以不能得到“直线，为异面直线”，③错误；④ 若平面∥平面，则内所有点到的距离相等，当内存在不共线三点到的距离相等，则两平面可能相交，这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是“平面∥平面”的必要不充分条件 ‎3、答案：C 解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若，则三条交线交于一点，即，若，则三条交线平行，，所以②④正确；当三条交线交于一点时，，则夹角不确定，所以①错误；若，因为均在上，所以可知，综上所述，②③④正确 ‎4、答案：C 解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误 B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以B错误 C选项：将条件转化为向量：，可推出，即，C正确 D选项：若直线上，也满足题目条件，但不平行 ‎5、答案：D 解析：A选项：可知在上的投影为，若与不垂直，且与不垂直，则由三垂线定理可推得不垂直，与已知矛盾，所以A正确 B选项：由，可得，所以 C选项：由不平行可知，因为，由面面垂直判定定理可得 D选项：两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直，故D错误 ‎6、答案：D 解析：① 正方形的三个侧面两两垂直，所以垂直于同一平面的两平面不一定平行，①错误 ‎②正方形上底面的直线均与下底面平行，但这些直线不一定平行，②错误 ‎③正方形的下底面与侧面不平行，但是底面平行于交线的直线与侧面平行，③错误 ‎④ 考虑其逆否命题为“若与垂直同一平面，则平行”为真命题，所以原命题为真命题，④正确 综上所述，正确的只有④‎ ‎7、答案：A 解析：利用空间向量判断，对应的方向向量记为，对应的法向量记为 ‎ A：条件转化为，所以A正确 B: 条件转化为，无法得到∥‎ C: ∥，∥只能得到，无法推出∥‎ D: 条件转化为：，无法推出 所以只有A正确 ‎8、答案：A 解析：至少与中的一条相交，考虑反证法，若与都不相交，因为与分别共面，所以，则平行，与已知矛盾。所以原命题成立 ‎9、答案：B 解析：A选项，平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系，A错误 B选项，符合线面垂直的定义，即若直线与平面垂直，则与该平面上任意一条直线均垂直，所以B正确 C选项，直线可以在平面上，所以不正确 D选项，正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行，所以不正确 综上所述：B正确