- 2021-06-16 发布 |
- 37.5 KB |
- 20页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
高考数学黄金考点精析精训考点24椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质理
考点 24 椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质 【考点剖析】 1.最新考试说明: (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的简单应用. (5)理解数形结合的思想. 2.命题方向预测: (1)高考对椭圆的考查,主要考查以下几个方面:一是考查椭圆的定义,与椭圆的焦点三 角形结合,解决椭圆、三角形等相关问题;二是考查椭圆的标准方程,结合椭圆的基本量之 间的关系,利用待定系数法求解;三是考查椭圆的几何性质,较多地考查离心率问题;四是 考查直线与椭圆的位置关系问题,综合性较强,往往与向量结合,涉及方程组联立,根的判 别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. (2)高考对双曲线的考查,主要考查以下几个方面:一是考查双曲线的标准方程,结合双曲 线的定义及双曲线基本量之间的关系,利用待定系数法求解;二是考查双曲线的几何性质, 较多地考查离心率、渐近线问题;三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题,综合 性较强. (3)高考对抛物线的考查,主要考查以下几个方面:一是考查抛物线的标准方程,结合抛物 线的定义及抛物线的焦点,利用待定系数法求解;二是考查抛物线的几何性质,较多地涉及 准线、焦点、焦准距等;三是考查直线与抛物线的位置关系问题,过焦点的直线较多. 选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强,涉及直线与抛物线位置关系的解答题 增多. 3.课本结论总结: 1.椭圆的概念 (1)文字形式:在平面内到两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合) 叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做焦距. (2)代数式形式:集合 1 2 1 2P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c. ①若 a c ,则集合 P 为椭圆; ②若 a c ,则集合 P 为线段; ③若 a c ,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2 2 22 2 0 0 0a c a b c a b c> , = + , > , > , > 图形 标准方程 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b 2 2 2 2 y + =1(a>b>0)x a b 范围 x a y b , x b y a , 对称性 曲线关于 ,x y轴、原点对称 曲线关于 ,x y轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,0a ,短轴顶点 0, b 长轴顶点 0, a ,轴顶点 ,0b 焦点 ,0c 0, c 焦距 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b= = 离心率 0,1ce a = ,其中 c= 2 2a b 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为 22b a 3.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内; (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值; (3)这一定值一定要小于两定点的距离. 4. 双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0) y2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=± b a x y=± a b x 离心率 e= c a ,e∈(1,+∞),其中 c= a2 +b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2叫作双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长. a、b、c 的关系 c2 =a2 +b2 (c>a>0,c>b>0) 5.抛物线方程及其几何性质 图 形 标 准方程 y 2 =2px(p>0) y 2 =-2px(p> 0) x 2 =2py(p>0) x 2 =-2py(p> 0) 顶 点 O(0,0) 范 围 x≥0, y R x≤0, y R y≥0, x R y≤0, x R 对 称轴 x轴 y轴 焦 点 ,0 2 pF ,0 2 pF 0, 2 pF 0, 2 pF 离 e=1 心率 准 线方程 2 px 2 px 2 py 2 py 焦 半径 0| | 2 pMF x 0| | 2 pMF x 0| | 2 pMF y 0| | 2 pMF y 4.名师二级结论: 椭圆: 一条规律 椭圆焦点位置与 x2 ,y2 系数间的关系: 给出椭圆方程 x2 m + y2 n =1 时,椭圆的焦点在 x轴上 m>n>0;椭圆的焦点在 y轴上 0<m <n. 两种方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a2、b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x轴还是 y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条 件确定关于 a、b、c 的方程组,解出 a2 、b2 ,从而写出椭圆的标准方程. 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小 距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. (2)求椭圆离心率 e时,只要求出 a,b,c的一个齐次方程,再结合 b2 =a2 -c2 就可求得 e(0 <e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中心 是否在原点;②对称轴是否为坐标轴. 双曲线: 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e= 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而 求出 a2 、b2 ,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a2 、b2 的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 x2 m2 - y2 n2 =λ(λ≠0), 再根据条件求λ的值. 三个防范 (1)区分双曲线中的 a,b,c大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2 =b2 +c2 ,而在双曲 线中 c2 =a2 +b2 . (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). 双曲线的标准方程中,对 a、b 的要求只是 a>0,b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a,b 的要 求相同. 若 a>b>0,则双曲线的离心率 e∈(1, 2); 若 a=b>0,则双曲线的离心率 e= 2; 若 0<a<b,则双曲线的离心率 e> 2. (3)双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± b a x, y2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± a b x. 抛物线: 一个结论 焦半径:抛物线 y2 =2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F p 2 ,0 的距离|PF|=x0+ p 2 . 两种方法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p的值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数 p 的值,这里要注意抛物线标准方程有 四种形式.从简单化角度出发,焦点在 x 轴的,设为 y 2 =ax(a≠0),焦点在 y 轴的,设为 x 2 =by(b≠0). 5.考点交汇展示: (1)与数列交汇 【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】点 在椭圆 上, 是 椭圆的两个焦点, ,且 的三条边 , , 成等差数列,则此椭 圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ,由椭圆的定义得: ,∵ 的三条边 成等差数列,∴ ,联立 , ,解得 ,由余弦定理得: ,将 代入 可得, ,整理得: ,由 ,得 , 解得: 或 (舍去),故选 D. (2)与导函数及其应用交汇 在直角坐标系 xoy中,曲线 C:y= 2 4 x 与直线 y kx a ( a>0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 【答案】(Ⅰ) 0ax y a 或 0ax y a (Ⅱ)存在 【解析】(Ⅰ)由题设可得 (2 , )M a a , ( 2 2, )N a ,或 ( 2 2, )M a , (2 , )N a a . ∵ 1 2 y x ,故 2 4 xy 在 x =2 2a处的到数值为 a,C在 (2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a ,即 0ax y a . 故 2 4 xy 在 x =- 2 2a处的到数值为- a,C 在 ( 2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a ,即 0ax y a . 故所求切线方程为 0ax y a 或 0ax y a . ……5分 (3)与解三角形交汇 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b 的左焦点为 ,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点, 4, . 10, 6,cos ABF , 5 AF BF AB AF C e 连接 若 则 的离心率 = . 【答案】 5 7 【 解 析 】 AFB三角形 中,由余弦定理可得: 2 2 2| | | | | | 2 | || | cosAF AB BF AB BF ABF 代入得: 2 436 | | 100 2 10 | | 5 BF BF ,解得 | | 8BF ,由此可得三角形 ABF 为直角三 角形. OF=5,即 c=5.由椭圆为中心对称图形可知:当右焦点为 2F 时, 2AFB BF A , 2 52 14, 7, 7 a AF AF a e . (4)与平面向量交汇 【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知 F 是抛物线 2: 4C y x 的焦点, M 是C 上一点, FM 的延长线交 y 轴于点N . 若 1 2 FM MN ,则 FN _____. 【答案】5 【考点分类】 热点一 椭圆的标准方程及其几何性质 1.【2016 高考新课标 1文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离 为其短轴长的 1 4 ,则该椭圆的离心率为( ) (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) 3 4 【答案】B 【解析】如图,由题意得在椭圆中, 1 1OF c,OB b,OD 2b b 4 2 在Rt OFB 中, | OF | | OB | | BF | | OD | ,且 2 2 2a b c ,代入解得 2 2a 4c ,所以椭圆得离心率得 1e 2 ,故选 B. y xO B F D 2.【2017 届湖南长沙长郡中学高三上周测】已知点 A、 F 分别是椭圆C: 2 2 2 2 1x y a b ( 0a b )的上顶点和左焦点,若 AF 于圆O: 2 2 4x y 相切于点T ,且点T 是线段 AF 靠近点 A的三等分点,则椭圆C的标准方程为 . 【答案】 2 2 1 18 6 x y 【方法总结】 1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆 2 2 2 2 =1 x y a b ,有-a≤x≤a,- b≤y≤b,0查看更多