【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题04三角函数的图象和性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题04三角函数的图象和性质学案

专题四 三角函数的图象和性质 ‎【正弦、余弦函数的图象与性质】（定义域、值域、单调性、奇偶性等）‎ 正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，‎ ‎1．正弦函数  ‎ ‎2．余弦函数 函数图像的性质  正弦、余弦函数图象的性质： ‎ 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当 时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。‎ ‎【正切 余切函数的图像与性质】‎ 正切函数的图像： 余切函数的图像：‎ ‎ ‎ 正切函数的性质：‎ ‎（1）定义域：‎ ‎（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；  （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π； ‎ ‎（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是无对称轴；‎ ‎（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。‎ 余切函数的性质:‎ ‎（1）定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}  （2）值域：实数集R； （3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π （4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心 （5）单调性：在每一个开区间（kπ，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性 ‎ ‎【2017全国卷1文数8】‎ 函数的部分图像大致为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【考点】函数图像 ‎【点拨】函数图象问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 答题思路 ‎【命题意图】考查函数的图象变换、解析式中参数的求法，考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性.考查函数式化简变形能力及数形结合思想.‎ ‎【命题规律】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象变换及三角函数的周期性、最值、奇偶性、单调性、对称性等，同时往往注重考查三角函数和差倍半公式的应用.从历年高考题目看，以选择题、填空题为主，少有解答题. ‎ ‎【答题模板】‎ ‎　 (1)先平移后伸缩　　　　 (2)先伸缩后平移 ‎【方法总结】‎ ‎1.一个区别——两种图像变换的区别 由y＝sin x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度。原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值。‎ ‎2. 三种方法——由函数图像求解析式的方法 ‎(1)如果从图像可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝‎0”‎(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ。‎ ‎(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，依据是五点法。‎ ‎(3)运用逆向思维的方法，根据图像变换可以确定相关的参数。‎ ‎3.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝ ‎(3)求φ，常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口。具体如下：‎ ‎“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π。‎ ‎4.解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m个位时，用x+m(或x-m)代替x,向下（或上）平移n个单位时，用y+n(或y-n)代替y,横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k倍，用代替x(或代替y),即可获得解决.‎ ‎5.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅲ卷，文6】函数的最大值为（ ）‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎【答案】A 所以选A.‎ ‎【考点】三角函数性质 ‎【点拨】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎2．【2017年高考浙江卷18】（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由与得 所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得 解得 所以的单调递增区间是．‎ ‎【考点】三角函数求值、三角函数的性质 ‎【点拨】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎3.【2017年高考山东卷，文4】已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】二倍角公式 ‎【点拨】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎4.【2017年高考天津卷，文7】设函数，其中.若且的最小正周期大于，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】三角函数的性质 ‎【点拨】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B选项错误；，不合题意，C选项错误；‎ ‎，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D选项错误.本题选择A选项. ‎ ‎5.【2017广东佛山二模】为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】，所以向左平移 个单位长度，选C.‎ ‎6.【2017湖南娄底二模】已知函数（， ）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）‎ A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎7.【2017重庆二诊】已知函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图象得， ，则函数的解析式为，将点代入得， ，又，所以，‎ 故选C.‎ ‎8．【2017四川资阳4月模拟】已知函数（其中）图象的一条对称轴方程为，则的最小值为 A. 2 B. 4 C. 10 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由三角函数的性质可知，当 时：‎ ‎ ，‎ 取 可得 的最小值为 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎9.【2017福建漳州5月质检】为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ）‎ A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 ‎【答案】B ‎10．【2017河北唐山三模】函数（）的最小正周期为，则满足（ ）‎ A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称 C. D. 当时有最小值 ‎【答案】D ‎【解析】由函数（）的最小正周期为得，则，‎ 当时， ，显然此时不单调递增，A错误；‎ 当时， ，B错误；‎ ‎，C错误；故选择D.‎ ‎11.【2017河北武邑四模】已知函数的图象在区间和上均单调递增，则正数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎12.【2017安徽马鞍山三模】已知函数，则的一个单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ， ，解得 ，当时， ，故选D.‎ ‎ 13.【2017福建4月质检】已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上有最大值，但没有最小值，所以 ‎.‎ ‎14.【2017北京丰台5月综合测试】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）最小正周期为（2）‎ ‎（Ⅱ）由求得， ‎ ‎ 所以的单调递增区间为 ‎15.【2016全国卷1文数6】将函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 ‎（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.‎ ‎【考点】三角函数图像的平移 ‎【点拨】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.‎ ‎16.【2016年高考山东卷，文8】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知,则A=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【考点】余弦定理 ‎【点拨】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.‎ ‎17.【2016年高考北京卷，文16】（本小题13分）‎ 已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.‎ ‎（I）求ω的值；‎ ‎（II）求f（x）的单调递增区间.‎ ‎【答案】（I）1；（II）（）．‎ ‎【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.‎ ‎【点拨】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解． ‎