【数学】2018届一轮复习人教A版 抛物线 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 抛物线 学案

第 7 讲 抛物线 最新考纲 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛 物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：|MF|＝d(其中 d 为点 M 到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 性质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F p 2 ，0 F －p 2 ，0 F 0，p 2 F 0，－p 2 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－p 2 x＝p 2 y＝－p 2 y＝p 2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4 ，0 ，准线方 程是 x＝－a 4 .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么 抛物线 x2＝－2ay(a＞0)的通径长为 2a.( ) 解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线. (2)方程 y＝ax2(a≠0)可化为 x2＝1 a y，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 0， 1 4a ，准 线方程是 y＝－ 1 4a . (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(2016·四川卷)抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( ) A.(0，2) B.(0，1) C.(2，0) D.(1，0) 解析 抛物线 y2＝ax 的焦点坐标为 a 4 ，0 ，故 y2＝4x，则焦点坐标为(1，0). 答案 D 3.(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|＝5 4 x0，则 x0＝( ) A.4 B.2 C.1 D.8 解析 由 y2＝x，得 2p＝1，即 p＝1 2 ，因此焦点 F 1 4 ，0 ，准线方程为 l：x＝－1 4 .设 A 点到准 线的距离为 d，由抛物线的定义可知 d＝|AF|，从而 x0＋1 4 ＝5 4 x0，解得 x0＝1，故选 C. 答案 C 4.(2017·杭州七校联考)抛物线 C：y＝ax2 的准线方程为 y＝－1 4 ，则其焦点坐标为________， 实数 a 的值为________. 解析 化抛物线 C 的方程为 x2＝1 a y，由题意得－ 1 4a ＝－1 4 ，∴a＝1，即 C：x2＝y，其焦点坐标 为 0，1 4 . 答案 0，1 4 1 5.(选修 2－1P73A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(－2， －4)，则该抛物线的标准方程为________. 解析 很明显点 P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上. 当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y2＝－2px(p＞0)，把点 P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2 ＝－2p×(－2)， 解得 p＝4，此时抛物线的标准方程为 y2＝－8x； 当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x2＝－2py(p＞0)，把点 P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2 ＝－2p×(－4)，解得 p＝1 2 ，此时抛物线的标准方程为 x2＝－y. 综上可知，抛物线的标准方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y. 答案 y2＝－8x 或 x2＝－y 6.已知抛物线方程为 y2＝8x，若过点 Q(－2，0)的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率 的取值范围是________. 解析 设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2 ＝0，当 k＝0 时，显然满足题意；当 k≠0 时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得 －1≤k＜0 或 0＜k≤1，因此 k 的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1] 考点一 抛物线的定义及应用 【例 1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距 离是________. (2)若抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3，2)，则|PA|＋|PF|取 最小值时点 P 的坐标为________. 解析 (1)抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1，0).准线为 x＝－1，由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到 准线 x＝－1 的距离也为 10，故 M 的横坐标满足 xM＋1＝10，解得 xM＝9，所以点 M 到 y 轴的距 离为 9. (2)将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部，如图. 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－1 2 的距离为 d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA| ＋d，当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为7 2 ，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2，2). 答案 (1)9 (2)(2，2) 规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义 在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准 线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 【训练 1】 (1)过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交抛物线的准线于点 C，若|AF|＝6，BC→＝λFB→(λ＞0)，则λ的值为( ) A.3 4 B.3 2 C. 3 D.3 (2)(2015·浙江卷)如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直 线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上， 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF|－1 |AF|－1 B.|BF|2－1 |AF|2－1 C.|BF|＋1 |AF|＋1 D.|BF|2＋1 |AF|2＋1 解析 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，－x3)， 则 x1＋2＝6，解得 x1＝4，y1＝±4 2，点 A(4，4 2)， 则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－2)， 令 x＝－2，得 C(－2，－8 2)， 联立方程组 y2＝8x， y＝2 2（x－2）， 解得 B(1，－2 2)， 所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3. (2)由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C 三点共线， 易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC| |AC| .由抛物线方程知焦点 F(1， 0)，作准线 l，则 l 的方程为 x＝－1.∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN 中， BM∥AN，∴|BC| |AC| ＝|BM| |AN| ＝|BF|－1 |AF|－1 . 答案 (1)D (2)A 考点二 抛物线的标准方程及其性质 【例 2】 (1)已知双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的 焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( ) A.x2＝8 3 3 y B.x2＝16 3 3 y C.x2＝8y D.x2＝16y (2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两 点.已知|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 (1)∵x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2， ∴c a ＝2，即c2 a2＝a2＋b2 a2 ＝4，∴b a ＝ 3. x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为 0，p 2 ，x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±b a x，即 y＝ ± 3x.由题意得 p 2 1＋（ 3）2 ＝2，解得 p＝8.故 C2 的方程为 x2＝16y. (2)不妨设抛物线 C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为 x2＋y2＝r2(r>0)，∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5， 抛物线的准线方程为 x＝－p 2 ， ∴不妨设 A 4 p ，2 2 ，D －p 2 ， 5 ， ∵点 A 4 p ，2 2 ，D －p 2 ， 5 在圆 x2＋y2＝r2 上， ∴ 16 p2 ＋8＝r2， p2 4 ＋5＝r2， ∴16 p ＋8＝p2 4 ＋5，解得 p＝4(负值舍去)， ∴C 的焦点到准线的距离为 4. 答案 (1)D (2)B 规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方 向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确 定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题， 特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 【训练 2】 (1)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的 方程为( ) A.y2＝9x B.y2＝6x C.y2＝3x D.y2＝ 3x (2)(2016·西安模拟)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原 点.若|AF|＝3，则△AOB 的面积为________. 解析 (1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1， 由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线 l 的斜率为 3， 故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4， 故 p |AA1| ＝|CF| |AC| ＝1 2 ，即 p＝3 2 ，从而抛物线的方程为 y2＝3x，故选 C. (2)如图，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛 物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，所以点 A 的横坐标为 2，将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知点 A 的纵坐标为 y＝2 2，所以 A(2，2 2)， 所以直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)， 联立直线与抛物线的方程 y＝2 2（x－1）， y2＝4x， 解得 x＝1 2 ， y＝－ 2 或 x＝2， y＝2 2， 由图知 B 1 2 ，－ 2 ， 所以 S△AOB＝1 2 ×1×|yA－yB|＝3 2 2 . 答案 (1)C (2)3 2 2 考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度一 直线与抛物线的公共点(交点)问题 【例 3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交 抛物线 C：y2＝2px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求|OH| |ON| ； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得 M(0，t)，P t2 2p ，t ， 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N t2 p ，t ， 故 ON 的方程为 y＝p t x， 将其代入 y2＝2px 整理得 px2－2t2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2t2 p ，因此 H 2t2 p ，2t .所以 N 为 OH 的 中点，即|OH| |ON| ＝2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝ p 2t x，即 x＝2t p (y－t). 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点. 规律方法 (1)①本题求解的关键是求点 N，H 的坐标.②第(2)问将直线 MH 的方程与曲线 C 联 立，根据方程组的解的个数进行判断. (2)①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消 元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.②解题 时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 命题角度二 与抛物线弦长(中点)有关的问题 【例 3－2】 (2017·泰安模拟)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1： y＝－x 的一个交点的横坐标为 8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P， 且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积. 解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为 y2＝8x. (2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交 点为 M. 由 y2＝8x， x＝y＋m， 得 y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝y2 1y2 2 64 ＝m2. 由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8 或 m＝0(舍)，∴直线 l2：x＝y＋8，M(8，0). 故 S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝1 2 ·|FM|·|y1－y2| ＝3 （y1＋y2）2－4y1y2＝24 5. 规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线 的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不 求”“整体代入”等解法. (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 【训练 3】 已知点 F 为抛物线 E：y2＝2px(p>0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|＝3. (1)求抛物线 E 的方程； (2)已知点 G(－1，0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与 直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切. (1)解 由抛物线的定义得|AF|＝2＋p 2 . 因为|AF|＝3， 即 2＋p 2 ＝3，解得 p＝2， 所以抛物线 E 的方程为 y2＝4x. (2)证明 因为点 A(2，m)在抛物线 E：y2＝4x 上， 所以 m＝±2 2. 由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2 2). 由 A(2，2 2)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1).由 y＝2 2（x－1）， y2＝4x， 得 2x2－5x＋2＝0， 解得 x＝2 或 x＝1 2 ，从而 B 1 2 ，－ 2 . 又 G(－1，0)， 所以 kGA＝ 2 2－0 2－（－1） ＝2 2 3 ，kGB＝ － 2－0 1 2 －（－1） ＝－2 2 3 ， 所以 kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心 且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. [思想方法] 1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F(抛物线的焦点)，一条 定直线 l(抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4 ； (2)若直线 AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝ 2p sin2θ ；|AB|＝x1＋x2＋p； (3)若 F 为抛物线焦点，则有 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝2 p . [易错防范] 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y＝ax2(a≠0)与 y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2＝mx 或 x2＝ my(m≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.