【数学】2021届一轮复习人教版（文）第1章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2021届一轮复习人教版（文）第1章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎[最新考纲]　1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词和存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2．全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．‎ ‎(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．‎ ‎3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．‎ ‎(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．‎ ‎(3)p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则q”，否命题是“若p，则q”．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题． (　　)‎ ‎(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题． (　　)‎ ‎(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)‎ ‎(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． (　　)‎ ‎[答案] 　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)‎ A．∃x0∈R，x＋x0≤0　 B．∃x0∈R，x＋x0＜0‎ C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x＜0‎ B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B．]‎ ‎2．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∃x0∈R，lg x0＝1　　　 B．∃x0∈R，sin x0＝0‎ C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0‎ C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C．]‎ ‎3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　 B．2 ‎ C．3　　　　 D．4‎ B　[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q 都是真命题．]‎ ‎4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．‎ 存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]‎ 考点1　全称命题、特称命题 ‎(1)全称命题与特称命题的否定 ‎①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．‎ ‎②否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ ‎(2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 ‎　全称命题、特称命题的否定 ‎(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)‎ A．∃x＜0，≤0　　　　B．∃x＞0,0≤x≤1‎ C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1‎ ‎(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为(　　)‎ A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 ‎(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B．‎ ‎(2)由特称命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]‎ ‎　全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)，简记：改量词，否结论．‎ ‎　全称命题、特称命题的真假判断 ‎(1)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R，x2≥0‎ B．∀x∈R,2x－1＞0‎ C．∃x0∈R，lg x0＜1‎ D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2‎ ‎(2)下列四个命题：‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p4‎ C．p2，p3 D．p2，p4‎ ‎(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．‎ ‎(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数与对数函数在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3‎ 是假命题；对于p4，结合指数函数与对数函数在上的图象可以判断p4是真命题．]‎ ‎　因为命题p与p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．‎ ‎　1．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃x0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0‎ D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D．]‎ ‎2．已知命题p：∃x0∈，使得cos x0≤x0，则p为________，是________命题．(填“真”或“假”)‎ ‎∀x∈，都有cos x＞x　假　[p：∀x∈，都有cos x＞x，此命题是假命题．]‎ 考点2　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎　判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤 ‎(1)判断复合命题的结构；‎ ‎(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；‎ ‎(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可．‎ ‎　[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12．下面给出了四个命题 ‎①p∨q　②p∨q　③p∧q　④p∧ q 这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)‎ A．①③ B．①②‎ C．②③ D．③④‎ A　[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8．∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；‎ 命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A．‎ 法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．‎ ‎∴①③真，②④假．故选A．]‎ ‎　含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(p)∧(q)假；‎ ‎(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(p)∧(q)真；‎ ‎(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(p)∨(q)假；‎ ‎(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(p)∨(q)真；‎ ‎(5)p真⇔p假；p假⇔p真．‎ ‎　1．(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy．下列命题为假命题的是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．q D．p B　[取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]‎ ‎2．给定下列命题：‎ p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数；‎ p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；‎ p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．‎ 则下列命题中的真命题为(　　)‎ A．p1∨p2 B．p2∧p3‎ C．p1∨(p3) D．(p2)∧p3‎ D　[对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝＋0＝1，f(－1)＝－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(p2)∧p3为真命题．]‎ 考点3　由命题的真假确定参数的取值范围 ‎　根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2．因此由p，q均为假命题得 即m≥2．‎ 所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．(变问法)在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；‎ 当q是真命题时，有－2＜m＜2，‎ 由可得－2＜m＜0．‎ 所以实数m的取值范围为(－2,0)．‎ ‎2．(变问法)在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．‎ 当p真q假时 所以m≤－2；‎ 当p假q真时 所以0≤m＜2．‎ 所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．‎ ‎　根据命题的真假求参数取值范围的策略 ‎(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．‎ ‎(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．‎ ‎　(2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[－，]　[命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，‎ 即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，‎ 故Δ＝4a2－12≤0，‎ 解得－≤a≤．]‎