【数学】2020届一轮复习人教B版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

【数学】2020届一轮复习人教B版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

‎§5.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 最新考纲 考情考向分析 了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.‎ 以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换以及由图象求函数解析式为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.‎ ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：‎ x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 概念方法微思考 ‎1．怎样从y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？‎ 提示　向左平移个单位长度．‎ ‎2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？‎ 提示　x＝＋－(k∈Z)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)‎ ‎(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)‎ ‎(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P55T2]为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象向________平移________个单位长度．‎ 答案　右　 ‎3．[P56T3]y＝2sin的振幅、频率和初相分别为__________________．‎ 答案　2，，－ 题组三　易错自纠 ‎4．(2018·嘉兴第一中学期中考试)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　y＝sin＝cos ‎＝cos＝cos，‎ 故把函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象．‎ ‎5．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________________．‎ 答案　y＝2sin 解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即个单位长度，‎ 所得函数为y＝2sin＝2sin.‎ ‎6．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．‎ 答案　 解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.‎ ‎7.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．‎ 答案　 解析　由题干图象可知A＝2，T＝－＝，‎ ‎∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，‎ 则f＝2sin＝2cos＝.‎ 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．‎ 解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.‎ 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2.‎ 所以A＝2，‎ 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 因为－<φ<，‎ 所以φ＝，‎ 所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，‎ 列表如下：‎ ‎2x＋ π ‎2π x ‎0‎ π f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点、连线得图象：‎ 引申探究 在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．‎ 解　由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，‎ 又因为m>0，所以m的最小值为.‎ 思维升华 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．‎ ‎(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．‎ 跟踪训练1　(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为________________．‎ 答案　y＝sin 解析　把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2＝sin的图象．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)满足条件：f＝0，为了得到函数y＝f(x ‎)的图象，可将函数g(x)＝cosωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为(　　)‎ A．1B.C.D. 答案　A 解析　由题意得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝－2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.‎ 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝________________.‎ 答案　2sin 解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．‎ 答案　 解析　根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，‎ 再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，‎ ‎∴f＝sin，‎ 当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．‎ 思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法 ‎(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．‎ ‎(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．‎ 跟踪训练2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　D 解析　依题意得解得 ＝＝－＝，‎ 故ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋.‎ 又f＝sin＋＝，‎ 故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．‎ 因为|φ|<，故φ＝，‎ 所以f(x)＝sin＋.‎ 将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝sin＋的图象，又函数g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝sin的图象关于点 对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)．令k＝2，则m＝.‎ 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 命题点1　图象与性质的综合问题 例3(2018·浙江省知名重点中学联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)由三角函数的图象可知，‎ 得 设函数f(x)的最小正周期为T，则由题意得＝－，所以T＝π，‎ 所以＝π，解得ω＝2.‎ 因为函数f(x)的图象过点，且0<φ<，‎ 所以2＝sin＋1，解得φ＝.‎ 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＋1.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin＋1，‎ 因为将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)图象，‎ 所以g(x)＝sin＋1＝sin＋1.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 命题点2　函数零点(方程根)问题 例4已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．‎ 答案　(－2，－1)‎ 解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为 m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x ‎＝2sin，x∈.‎ 设2x＋＝t，则t∈，‎ ‎∴题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根．‎ ‎∴y1＝和y2＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：‎ 由图象观察知，的取值范围是，‎ 故m的取值范围是(－2，－1)．‎ 引申探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．‎ 答案　[－2,1)‎ 解析　由上例题知，的取值范围是，‎ ‎∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．‎ 思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．‎ ‎(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．‎ 跟踪训练3　(1)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.‎ ‎(2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．‎ 又f(x)在上有且只有一个零点，‎ ‎∴<≤－，∴0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案　B 解析　由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x ‎)的单调递增区间为(　　)‎ A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)‎ B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)‎ C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z)‎ D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)‎ 答案　D 解析　由题图知，T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1,1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[8k－3,8k＋1](k∈Z)．‎ ‎5．若函数y＝sin(ωx－φ)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 答案　A 解析　由题图可知，T＝2＝π，‎ 所以ω＝＝2，又sin＝0，‎ 所以－φ＝2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝－2kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|<，所以φ＝，故选A.‎ ‎6．将函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－B．－C.D. 答案　A 解析　将函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，该函数为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.当x∈时，x－∈，所以当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.‎ ‎7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.‎ 答案　 解析　由题干图象知＝2×＝，所以ω＝2.‎ 因为2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 又|φ|<，所以φ＝，这时f(x)＝Atan.‎ 又函数图象过点(0,1)，代入上式得A＝1，所以f(x)＝tan.所以f＝tan＝.‎ ‎8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.‎ 答案　 解析　由题图可知，＝－＝，‎ 则T＝π，ω＝2，又＝，‎ 所以f(x)的图象过点，即sin＝1，‎ 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 又|φ|<，可得φ＝，所以f(x)＝sin.‎ 由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，‎ 可得x1＋x2＝－＋＝，‎ 所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.‎ ‎9．(2018·“七彩阳光”联盟期初联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象过点，若f(x)≤f对x∈R恒成立，则ω的值为__________；当ω最小时，函数g(x)＝f－在区间[0,22]上的零点个数为________．‎ 答案　1＋12k(k∈N)　8‎ 解析　由题意得φ＝，且当x＝时，函数f(x)取得最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈Z，又ω>0，所以ω＝1＋12k，k∈N，则ω的最小值为1.因此g(x)＝f－＝sinx－，又7π<22<8π，所以函数g(x)在区间[0,22]上的零点个数是8.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．‎ 答案　 解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，‎ 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.‎ ‎11．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．‎ ‎(1)求ω的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．‎ 解　(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，‎ 所以－＋＝kπ(k∈Z)，ω＝－3k＋(k∈Z)，‎ 因为0<ω<1，所以当k＝0时，可得ω＝.‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]，‎ 列表如下：‎ x＋ ‎－ ‎－ ‎0‎ π x ‎－π ‎－ ‎－ π f(x)‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－1‎ 作出函数部分图象如图所示：‎ ‎12．(2018·浙江五校联考)已知函数f(x)＝asin2x＋bcos2x(其中a，b为非零常数)的图象经过点，.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若x∈，f(x)＝，求cos2x的值．‎ 解　(1)由题意得得 故f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得 ‎－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由f(x)＝2sin＝，‎ 得sin＝，‎ ‎∵x∈，∴－≤2x－≤，‎ ‎∴cos＝.‎ ‎∴cos2x＝cos ‎＝cos×cos －sin×sin  ‎＝×－×＝－.‎ ‎13．(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x ‎)＝3sin(ωx＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的一个可能值是(　　)‎ A.B.C.D. 答案　D 解析　由函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f(x)的最小正周期为π，则π＝，所以ω＝2，函数f(x)＝3sin(2x＋θ)的图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的图象，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sinθ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是，故选D.‎ ‎14．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω>0)．‎ 由2sin＝1，得sin＝，‎ ‎∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)．‎ 令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝，‎ ‎∴x1＝0，x2＝.由|x1－x2|＝，‎ 得＝，∴ω＝2.故f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎15．已知函数y＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x＝ 对称．该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，C＝90°，则f的值为________．‎ 答案　 解析　依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝sin(πx＋φ)．‎ 又f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴f＝sin＝±.‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝，‎ ‎∴f＝sin＝.‎ ‎16．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，则实数m的取值范围为________________．‎ 答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ 解析　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，∴Asinφ－＝1，即Asinφ＝.‎ ‎∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin＝，‎ ‎∴A＝，∴f(x)＝sin－.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－－＝－2.‎ 令m2－3m≥－2，解得m≥2或m≤1.‎