新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-2-3 向量的数乘运算

新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-2-3 向量的数乘运算

6.2.3 向量的数乘运算 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及 运算规则. 2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重 点) 3.理解两个平面向量共线的含义.(难点) 1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学 运算核心素养. 2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算 律,培养类比推理的能力. 3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养. 一只兔子第 1 秒钟向东跑了 2 米,第 2、3 秒钟又向东各跑了 2 米. 问题 1:兔子 3 秒的位移一共是多少? 答案 设兔子第 1 秒的位移是向量 a,则 3 秒的位移是向量 3a. 问题 2:若兔子向西跑 3 秒,则向量是多少? 答案 -3a(用 a 表示向东跑 1 秒). 1.向量的数乘 定义 实数λ与向量 a 的积是一个①向量 记法 λa 长度 |λa|=|λ||a| 方向 λ>0 λa 的方向与 a 的方向②相同 λ<0 λa 的方向与 a 的方向③相反 几何 意义 λa 中的实数λ是向量 a 的系数 λ>0 λa 可以看作是把向量 a 沿着 a 的方向扩大④|λ|倍得到 λ<0 λa 可以看作是把向量 a 沿着 a 的反方向缩小|λ|倍得到 特别提醒 当λ=0 时,λa=0.当λ≠0 时,若 a=0,也有λa=0. 思考 1:实数与向量能否进行加减运算? 提示 不能. 2.向量的数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=⑤λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 思考 2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示 两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量 a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 思考 3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示 在形式上类似. 4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b=λa. 思考 4:λ与向量 a,b 的方向有什么关系? 提示 若λ>0,则 a 与 b 同向;若λ<0,则 a 与 b 反向. 探究一 向量的线性运算 例 1 (1)化简下列各式: ①3(6a+b)-9 + 1 3 ; ② 1 2 3 + 2- + 1 2 -2 1 2 + 3 8 ; ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. (2)已知向量 a,b,m,n 满足 a=3m+2n,b=m-3n,试用向量 a,b 表示向量 m,n. 解析 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式= 1 2 2 + 3 2 -a- 3 4 b=a+ 3 4 b-a- 3 4 b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n①,b=m-3n②, 则①×3+②×2 得 3a+2b=11m, 即 m= 3 11 a+ 2 11 b. ①-②×3 得 a-3b=11n, 即 n= 1 11 a- 3 11 b. 思维突破 向量的线性运算的技巧 向量的线性运算类似于代数多项式的运算. (1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也 可以使用. (2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1 化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2) 1 6 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b). 解析 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式= 1 6 ×(4a+16b-16a+8b)= 1 6 ×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb. 探究二 共线向量定理及其应用 例 2 设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 与 a+kb 共线. 解析 (1)证明:∵ =a+b, =2a+8b, =3(a-b), ∴ = + =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 . ∴ 、 共线, 又∵ 与 有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1. 思维突破 用向量法证明三点共线的关键与步骤 (1)关键:能否找到一个实数λ,使得 b=λa(a、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线. 2-1 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在线段 BD 上,且有 BN= 1 3 BD,求 证:M,N,C 三点共线. 证明 设 =a, =b,则 = + = 1 2 + 1 3 = 1 2 + 1 3 ( - )= 1 2 a+ 1 3 (b- a)= 1 6 a+ 1 3 b, = + = 1 2 + = 1 2 a+b=3× 1 6 + 1 3 =3 ,∴ , 共线,又 与 有公 共点 M,∴M,N,C 三点共线. 探究三 向量线性运算的应用 例 3 (易错题)已知点 E,F 分别为四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的中点,设 =a, =b, 试用 a,b 表示 . 解析 如图所示,取 AB 的中点 P,连接 EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以 = 1 2 = 1 2 a. 在△ABD 中,FP 是中位线, 所以 = 1 2 =- 1 2 =- 1 2 b. 在△EFP 中, = + =- + =- 1 2 ·a- 1 2 b =- 1 2 (a+b). 易错点拨 在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意 判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解. 3-1 已知四边形 ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M,N 分别是 DC,AB 的中点,已知 =a, =b,试用 a,b 表示 和 . 解析 解法一:如图,连接 CN, 易知 AN 与 DC 垂直且相等, 所以四边形 ANCD 是平行四边形. =- =-b,又因为 + + =0, 所以 =- - =b- 1 2 a, = - = + 1 2 =-b+ 1 4 a. 解法二:因为 + + + =0, 所以 a+ + - 1 2 +(-b)=0, 所以 =b- 1 2 a, 又因为在四边形 ADMN 中有 + + + =0, 所以 b+ 1 4 a+ + - 1 2 =0, 所以 = 1 4 a-b. 3-2 设 O 为△ABC 内任意一点,且满足 +2 +3 =0,若 D,E 分别是 BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求 △ △ 的值. 解析 (1)证明:如图, + =2 , + =2 , ∴ +2 +3 =( + )+2( + )=2(2 + )=0, ∴2 + =0,∴ 与 共线, 又 与 有公共点 O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知 2| |=| |, ∴S△AOC=2S△COE=2× 2 3 S△CDE=2× 2 3 × 1 4 ×S△ABC= 1 3 S△ABC, ∴ △ △ =3. 1.已知非零向量 a,b 满足 a=4b,则( ) A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反 答案 C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与 b 的方向相同, ∴a 与 b 的方向相同. 2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是( ) A.a=2e,b=-2e B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2 C.a=4e1- 2 5 e2,b=e1- 1 10 e2 D.a=e1+e2,b=2e1-2e2 答案 ABC A 中,b=-a,则 a,b 共线;B 中,b=-2a,则 a,b 共线;C 中,a=4b,则 a,b 共线;D 中,a,b 不共线. 3.已知向量 a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若 a∥b,则( ) A.e1=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2 或 e1=0 或 e2=0 答案 D 4.已知 x,y 是实数,向量 a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则 x= ,y= . 答案 1 2 ; 1 2解析 由已知得 + -1 = 0, - = 0, 解得 x=y= 1 2 . 5.已知两个非零向量 e1、e2 不共线,若 =2e1+3e2, =6e1+23e2, =4e1-8e2.求证:A、B、D 三点共线. 证明 ∵ = + + =2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2 =12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6 , ∴ , 共线. 又∵ 和 有公共点 A, ∴A、B、D 三点共线. 数学运算——在几何图形中进行向量线性运算 如图所示,已知▱ABCD 的边 BC,CD 上的中点分别为 K,L,且 =e1, =e2,试用 e1,e2 表示 , . 审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设 =a,则 =① , = + =e1- 1 2 a, = 1 2 e1- 1 4 a. 又 = =a,由 + = ,得 a+ 1 2 e1- 1 4 a=e2, 解得 a=② . 由 =- , =e1- 1 2 a,得 =③ . 解法二:设 =m, =n,则 = 1 2 m, =- 1 2 n. 由 + = , + = , 得④ , 得 m= 2 3 (2e2-e1),n=⑤ , 即 = 4 3 e2- 2 3 e1, =- 4 3 e1+ 2 3 e2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与 AL 的延长线交于点 E,则△DLA≌△CLE. 从而 =2 , = = , = 3 2 , 由 = - ,得 3 2 =2e2-e1, 即 =⑥ . 同理可得 =⑦ . 思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算, 然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养. 答案 ① 1 2 a ② 4 3 e2- 2 3 e1, 即 = 4 3 e2- 2 3 e1 ③- 4 3 e1+ 2 3 e2 ④ - + 1 2 = 1 - 1 2 = 2 ⑤ 2 3 (-2e1+e2) ⑥ 4 3 e2- 2 3 e1 ⑦- 4 3 e1+ 2 3 e2 如图所示,四边形 OADB 是以向量 =a, =b 为邻边的平行四边形,又 BM= 1 3 BC,CN= 1 3 CD,试 用 a,b 表示 、 、 . 解析 = 1 3 = 1 6 = 1 6 ( - )= 1 6 (a-b)= 1 6 a- 1 6 b, ∴ = + =b+ 1 6 a- 1 6 b= 1 6 a+ 5 6 b. ∵ = 1 3 = 1 6 , ∴ = + = 1 2 + 1 6 = 2 3 = 2 3 ( + )= 2 3 a+ 2 3 b, = - = 2 3 a+ 2 3 b- 1 6 a- 5 6 b= 1 2 a- 1 6 b. 1.将 1 12 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为( ) A.2a-bB.2b-a C.a-b D.b-a 答案 B 2.在△ABC 中,如果 AD,BE 分别为 BC,AC 上的中线,且 =a, =b,那么 =( ) A. 2 3 a+ 4 3 b B. 2 3 a- 2 3 b C. 2 3 a- 4 3 b D.- 2 3 a+ 4 3 b 答案 A 3.已知 =a+4b, =2b-a, =2(a+b),则( ) A.A、B、C 三点共线 B.A、B、D 三点共线 C.A、C、D 三点共线 D.B、C、D 三点共线 答案 B 4.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 =2 , = 1 3 +λ ,则λ等于( ) A. 2 3 B. 1 3 C.- 1 3 D.- 2 3答案 A 解法一:由 =2 , 可得 - =2( - )⇒ = 1 3 + 2 3 ,所以λ= 2 3 . 解法二: = + = + 2 3 = + 2 3 ( - )= 1 3 + 2 3 ,所以λ= 2 3 . 5.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C),则 =( ) A.λ( + ),λ∈(0,1) B.λ( + ),λ∈ 0, 2 2C.λ( - ),λ∈(0,1) D.λ( - ),λ∈ 0, 2 2答案 A 因为 P 是对角线 AC 上的一点(不包括端点 A、C),所以存在λ∈(0,1),使得 =λ ,于是 =λ( + ),λ∈(0,1). 6.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足向量等式 5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则 x= ,y= . 答案 3;-4 解析 因为 a 与 b 不共线,所以 5 = 3 + 27, 8- = 4, 解得 = 3, = -4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与 a 反向,则 a= b. 答案 - 3 2解析 因为 b 与 a 反向,所以 a=λb,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b|=|λ|, 所以λ=- 3 2 ,所以 a=- 3 2 b. 8.如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形 EFGH 为平行 四边形. 证明 ∵F,G 分别是 AB,AC 的中点, ∴ = 1 2 .同理, = 1 2 . ∴ = . ∴FG=EH,FG∥EH, ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 9.已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使得 + =m 成立,则 m=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B 由 + + =0 可知,M 为△ABC 的重心,故 = 2 3 × 1 2 ( + )= 1 3 ( + ),所以 + =3 ,即 m=3. 10.(多选题)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 =3 ,点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合),若 =x +(1-x) ,则 x 可以是( ) A.- 1 3 B.- 1 4 C.0 D.- 2 6答案 BD 当点 O 与点 C 重合时, =0 +(1-0)· ,此时 x=0;当点 O 与点 D 重合 时, =- 1 3 + 4 3 , 此时 x=- 1 3 .因为点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合),所以- 1 3 | |(如图所示), 所以λ>1. 14.平面内有一个△ABC 和一点 O(如图),线段 OA,OB,OC 的中点分别为 E,F,G,线段 BC,CA,AB 的中点分别为 L,M,N,设 =a, =b, =c. (1)试用 a,b,c 表示向量 , , ; (2)证明:线段 EL,FM,GN 交于一点且互相平分. 解析 (1)因为 = 1 2 a, = 1 2 (b+c),所以 = - = 1 2 (b+c-a). 同理可得 = 1 2 (a+c-b), = 1 2 (a+b-c). (2)证明:设线段 EL 的中点为 P1, 则 1 = 1 2 ( + )= 1 4 (a+b+c). 设 FM,GN 的中点分别为 P2,P3, 同理可求得 2 = 1 4 (a+b+c), 3 = 1 4 (a+b+c),所以 1 = 2 = 3 , 即线段 EL,FM,GN 交于一点且互相平分.