【数学】2019届一轮复习人教A版第11章计数原理随机变量及分布列第1课时分类计数原理与分步计数原理学案
理、随机变量及分布列
第1课时 分类计数原理与分步计数原理
近几年高考中两个基本计数原理在理 加试部分考查，预测以后高考将会结合概率统计进行命题，考查对两个基本计数原理的灵活运用，以实际问题为背景，考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大.
① 理解两个基本计数原理.
② 能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题.
1. （选修23P9习题4改编）一件工作可以用两种方法完成，有18人会用第一种方法完成，有10人会用第二种方法完成.从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是 Ｗ.
答案：28
解析：由分类计数原理知不同选法的总数共有18＋10＝28（种）.
2. （选修23P9习题8改编）从1到10的正整数中，任意抽取两个数相加所得和为奇数的不同情形的种数是 Ｗ.
答案：25
解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25（种）.
3. （改编题）一只袋中有大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.从袋中随机取出（一次性）2个球，则这2个球为同色球的种数为 Ｗ.
答案：7
解析：2个球为红色共3种，2个球为白色共3种，2个球为黑色共1种，由分类计数原理得共7种.
4. （选修23P10习题12改编）以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出不相等的向量个数为 Ｗ.
答案：8
解析：起点有4个，每一个起点都可选另外三个顶点中的某一个为终点，但正方形相对边且方向相同的向量为同一向量，故共有不相等的向量个数为4×3－4＝8.
5. （选修23P10习题16改编）现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 种.
答案：
解析：设两种不同颜色为a，b，则所有可能为（a，a，a），（a，a，b），（a，b，a），（a，b，b），（b，a，a），（b，a，b），（b，b，a），（b，b，b），共8种.其中满足条件的有（a，b，a），（b，a，b），共2种，∴ 所求概率为.
2. （必修3P100例1改编）一个不透明的盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5个除序号外都相同的球，同时取出两个球，则两个球上的数字为相邻整数的概率为 Ｗ.
答案：
解析：从5个球中同时取出2个球的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个.记“两个球上的数字为相邻整数”为事件A，则事件A中含有4个基本事件：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）.所以P（A）＝＝.
3. （必修3P103练习2改编）小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序排列构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，能打开锁的概率是 Ｗ.
答案：
解析：四位数密码共有24种等可能的结果，恰好能打开锁的密码只有1种，故所求事件的概率为.
4. （必修3P101例3改编）连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P（A）最大时，m＝ Ｗ.
答案：7
解析：m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的基本事件个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大.
5. （必修3P103练习4改编）已知一个不透明的袋中有3个白球，2个黑球，第一次摸出一个球，然后放回，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是黑球的概率为 Ｗ.
答案：
解析：把它们编号，白为1，2，3，黑为4，5.用（x，y）记录摸球结果，x表示第一次摸到球号数，y表示第二次摸到球号数.所有可能的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，两次摸到的都是黑球的情况为（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），共4种，故所求概率P＝.
1. 概率的取值范围是0≤P（A）≤1.当A是必然发生的事件时，P（A）＝1；当A是不可能发生的事件时，P（A）＝0；当A是随机事件时，0
2a.
∵ 总事件数共36个，满足b>2a的事件有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），共6个，
∴ P（B）＝＝.
若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，求：
（1） 点P（m，n）在直线x＋y＝4上的概率；
（2） 点P（m，n）落在区域|x－2|＋|y－2|≤2内的概率.
解：（1） 由题意可知，（m，n）的取值情况有（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），共36种.而满足点P（m，n）在直线x＋y＝4上的取值情况有（1，3），（2，2），（3，1），共3种，故所求概率为＝ .
（2） 由题意可得，基本事件n＝36.当m＝1时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m＝2 时，1≤n≤4，故符合条件的基本事件有4个；当m＝3时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m＝4时，n＝2，故符合条件的基本事件有1个.故符合条件的基本事件共11个，所以所求概率为.
3 用概率解决生活中的决策问题)
3) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.
（1） 用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2） 有人认为：两个箱子中的红球总数比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.
解：（1） 所有可能的摸出结果是（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2）， （A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.
（2） 不正确，理由如下：
由（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确.
变式训练
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
① 若xy≤3，则奖励玩具一个；② 若xy≥8，则奖励水杯一个；③ 其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（1） 求小亮获得玩具的概率；
（2） 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解：用数对（x，y）表示儿童参加活动两次记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应，因为S中元素个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.
（1） 记“xy≤3”为事件A.
则事件A包含的基本事件共有5个，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.所以P（A）＝，即小亮获得玩具的概率为.
（2） 记“xy≥8”为事件B，“3，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
1. （2017·苏北四市期末）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取出2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为 Ｗ.
答案：
解析：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取出2个数，基本事件总数n＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P＝＝.
2. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为 Ｗ.
答案：
解析：从5名学生中随机选出3名学生共有10种选法，男女生都有的共9种（即去掉选的是3名女生的情况），则所求的概率为.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题.
3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色不同的概率为 Ｗ.
答案：
解析：从5只球中一次摸出2只球，共有10种摸法，摸到的2只球颜色不同的摸法共有6种，则所求的概率为.
4. （2016·新课标Ⅰ文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 Ｗ.
答案：
解析：将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有4种，故概率为.
5. （2017·全国卷Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 Ｗ.
答案：
解析：将第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，先后两次抽取的卡片上的数记为（a，b），则有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，所以所求概率P＝＝.
1. （2017·扬州期末）已知A，B∈{－3，－1，1，2}且A≠B，则直线Ax＋By＋1＝0的斜率小于0的概率为 Ｗ.
答案：
解析：所有的基本事件（A，B）为（－3，－1），（－3，1），（－3，2），（－1，1），（－1，2），（1，2），（－1，－3），（1，－3），（2，－3），（1，－1），（2，－1），（2，1）共12种，其中（－3，－1），（1，2），（－1，－3），（2，1）这4种能使直线Ax＋By＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P＝＝.
2. （2016·上海卷文）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 Ｗ.
答案：
解析：将四种水果每两种分为一组，有6种方法，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.
3. （2017·山东卷）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 Ｗ.
答案：
解析：每次抽取1张，抽取2次，共有9×8＝72（种）情况，其中满足题意的情况有2×5×4＝40（种），所以所求概率P＝＝.
4. （2016·新课标Ⅲ文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 Ｗ.
答案：
解析：开机密码的前两位可能是M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.
1. 解以代数、几何等数学知识为背景的概率题的策略是：读懂题意，理解内涵，寻求关系，突破入口；尽力脱去背景外衣，回首重温概率定义；细心诊断事件类型，正确运用概率公式.
2. 解较复杂的概率问题的关键是理解题目的实际含义，把问题转化为概率模型.必要时可考虑分类讨论、数形结合、正难则反等思想方法.[备课札记]
