【数学】2019届一轮复习人教A版离散性随机变量的分布列、数学期望学案（理）

【数学】2019届一轮复习人教A版离散性随机变量的分布列、数学期望学案（理）

母题十六 离散性随机变量的分布列、数学期望 ‎【母题原题1】【2018天津，理16】‎ 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．‎ ‎（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．‎ ‎（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．‎ ‎【考点分析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．‎ ‎【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，‎ 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（Ⅱ）（i）随机变量的所有可能取值为．‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望．‎ ‎【名师点睛】本题主要在考查超几何分布和分层抽样．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1） ；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理16】‎ 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． ‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 试题解析：（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望．‎ ‎（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎．∴这2辆车共遇到1个红灯的概率为．‎ ‎【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望 ‎【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望．；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理 高考数学必考问题．‎ ‎【母题原题2】【2016天津，理16】‎ 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．‎ 试题解析：解：由已知，有所以事件发生的概率为．‎ 随机变量的所有可能取值为，，．所以随机变量分布列为 随机变量的数学期望．‎ 考点：概率，概率分布与数学期望 ‎【名师点睛】求均值、方差的方法 ‎1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；‎ ‎3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．学 ‎ ‎【母题原题3】【2015天津，理16】‎ 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．‎ ‎(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；‎ ‎(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(I) ； (II) 随机变量的分布列为 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望．‎ ‎ 【命题意图】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，主要考查学生对取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的理解，要求学生能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ ‎ 【命题规律】离散型随机变量的均值与方差如单独考查一般以客观题形式出现，主要考查利用公式进行计算，难度不大，若以解答题形式出现，一般不单独考查，常见命题方式有两种：一是与概率、分布列计算结合在一起进行考查，二是与统计结合在一起进行考查，难度中等．‎ ‎ 【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：‎ 第一步：确定概率求期望 抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．因此 ‎．‎ 的数学期望为；‎ ‎ 第二步：根据概率判断合理性 如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．学 ‎ ‎ 第三步：剔除值，求估计值 由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10．02．，剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；‎ ‎(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；‎ ‎(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．‎ ‎2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎3．解答题中对期望与方差的考查常与分布列结合在一起进行考查，求解此类问题要先根据随机变量的定义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量的取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据均值与方差的公式计算，若随机变量服从二项分布，可直接利用公式求解．‎ ‎4．均值与方差的实际应用 对于均值与方差的实际应用，命题模式通常是已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．求解这类问题要用到均值与方差．‎ ‎(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度．‎ ‎(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，‎ 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．‎ ‎1．【2018天津南开中学模拟】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）．‎ ‎（2）分布列见解析；．‎ ‎【解析】分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为．‎ 设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则，‎ ‎（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率为；‎ ‎（2）的所有可能取值为0，2，4．‎ 由于与互斥，与互斥，所以 ‎，，，所以的分布列是 所以随机变量的数学期望．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列及其期望，在解题的过程中，需要认真审题，正确使用公式计算结果．‎ ‎2．【2018天津部分区二模】某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有．‎ ‎（1）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；‎ ‎（2）记选出的4名大学生中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】分析：（1）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，选法种数是种，选出的4名大学生仅有1名女生的选法有2种选法：从智慧队中选取1女生的选法共有种，从理想队中选取1女生的选法共有种，由此能求出选出的4名大学生仅有1名女生的概率． （II）随机变量X的取值可为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和．‎ 详解：‎ 所以，选出的4名大学生仅有1名女生的概率为 ‎（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，则，‎ ‎，，‎ ‎，所以随机变量的分布列为 ‎．‎ ‎【名师点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档．‎ ‎3．【2018天津河东区二模】某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．‎ ‎（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；学 ； ‎ ‎（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数的分布列与期望．‎ ‎【答案】（1） ；（2）分布列见解析，．‎ ‎（2）的取值为0、1、2，则 分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ‎【名师点睛】（1）本题主要考查古典概型、对立事件的概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力．（2） 计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式．‎ ‎4．【2018天津河北区二模】某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抛取3个问题，已知这6个问中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．‎ ‎（I）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；‎ ‎（II）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎，，，‎ ‎，∴X得分布列为：‎ ‎ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关．‎ ‎5．【2018天津十二校二模】某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．‎ ‎（Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；‎ ‎（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1） （2）见解析．‎ 件“3个人来自于三个不同专业”， ， ‎ 则由古典概型的概率公式有；‎ ‎（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则 ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．‎ 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关．‎ ‎6．【2018天津十二校模拟一】2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界．我们学校为了让我们更好的了解奥运，了解新时代祖国的 技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛．比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得分别为1、2、3分的积分奖励，高二、一班对三关中每个问题回答正确的概率依次为，且每个问题回答正确与否相互独立．‎ ‎（1）记表示事件“高二、一班未闯到第三关”，求的值；‎ ‎（2）记表示高二、一班所获得的积分总数，求的分布列和期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎， ‎ 则； ‎ 方法二、．‎ ‎（2）随机变量X的取值为：0，1，3，6，则 ‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎∴．‎ ‎7．【2018天津部分区上学期期末考】某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作．‎ ‎（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率；‎ ‎（2）设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）．学 // ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据组合数公式和古典概型概率公式计算；‎ ‎（2）利用超几何分布的概率公式求出概率卖得出分布列，再计算数学期望．‎ ‎ ‎ 因此的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 的数学期望是 ‎ =‎ ‎【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是：“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．‎ ‎8．【2018天津一中月考五】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；‎ ‎（2）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案见解析．‎ ‎【解析】分析：（1）间接法计算中奖概率； （2）根据二项分布的概率公式计算X的各种取值对应的概率，得出分布列即数学期望．‎ 详解：‎ ‎（1）设顾客抽奖次能中奖的概率为，‎ ‎．‎ 故的分布列为 数学期望．‎ ‎【名师点睛】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，对二项分布的正确判断是解该题的关键，属于中档题．‎ ‎9．【2018天津耀华中学月考三】某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累积答对3题或打错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入初赛，打错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．‎ ‎（1）求选手甲可进入决赛的概率．‎ ‎（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列，并求的数学期望．‎ ‎【答案】（1）P（2）见解析 ‎【解析】试题分析： 设选手甲任答一题，正确的概率为，根据甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次打错的概率为，列出关于的方程，得到甲答对题目的概率，选手甲能够进入决赛包括两种情况，这两种情况是互斥的，由互斥事件的概率公式计算得到答案；‎ 的取值为，，，对应的事件分别是前三个题全部答对，前四个题答对了三个，其中第四题一定对，前五个题答对了三个，第五个一定答对，分别求出它们的概率，列出分布列，求出期望；‎ ‎ ，‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎．‎ ‎10．【2018辽宁葫芦岛二模】海水养殖场使用 箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个 箱，测量各箱水产品的产量(单位：)，其频率分布直方图如图：‎ 定义箱产量在(单位：)的 箱为“稳产 箱”，箱产量在区间之外的 箱为“非稳产 箱”．‎ ‎（1）从该养殖场（该养殖场中的 箱数量是巨大的）中随机抽取3个 箱．将频率视为概率，设其中稳产 箱的个数为，求的分布列与期望；‎ ‎（2）从样本中随机抽取3个 箱，设其中稳产 箱的个数为，试比较的期望与的大小．‎ ‎【答案】（1） E(X)=（2）相等 ‎，易知则 P(X= )=C () ·()3− = ( =0，1，2，3)，故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的期望E(X)=3´=．‎ ‎（2）稳产 箱的频数为100·=60，依题意Y H(100，60，3)，故E(Y)= ==E(X)．‎ ‎【名师点睛】本题考查了频率分布直方图与二项分布列的应用问题，是基础题．学 ‎ ‎11．【2018四川南充高中模拟】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．‎ ‎（1）求男生闯过四关的概率；‎ ‎（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；‎ ‎（2）记女生四关都闯过为事件，则，的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独 ‎，，‎ 所以的分布如下：‎ ‎．‎ ‎【名师点睛】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力．‎ ‎12．【2018四川成都七中三模】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们 对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从 上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ 年龄 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ ‎（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 不支持 总计 ‎（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人 学 ‎ ‎①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．‎ ‎②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 参考数据：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎，其中 ‎【答案】（1）能（2）①②见解析 ‎【解析】分析：（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）①求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率， ②根据题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量的分布列，计算数学期望值．‎ 详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为的观测值，‎ 值为0，1，2．，，．‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．‎ ‎13．【2018江苏盐城模拟】袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为．‎ ‎(I)求随机变量的概率分布及数学期望；学 ； ‎ ‎(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式．‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可得出答案；‎ ‎（2）设，，则则 ， ，再把、……、用 表示，得到，从而说明为等比数列，由等比数列的通项公式得答案．‎ 所以随机变量的概率分布如下表：‎ ‎(一个概率得一分不列表不扣分)‎ 数学期望 ．‎ ‎(Ⅱ)设，．‎ 则 ， ．‎ ‎，，，，‎ ‎，．‎ 所以，．‎ ‎．‎ 由此可知，．‎ 又，所以．‎ ‎【名师点睛】求随机变量及其分布列的一般步骤 ‎（1）明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．‎ ‎（2）利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；‎ ‎（3）按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．‎ ‎14．【2018安徽安庆一中模拟】为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标)、推理(能力指标)、建模(能力指标)的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下：‎ ‎（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；学 + ‎ ‎（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望．‎ ‎【答案】（1）．‎ ‎（2）分布列见解析，．‎ 学生编号 综合指标 ‎7‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ 核心素养等级 一级 一级 一级 二级 一级 一级 二级 一级 三级 二级 分别计算当时，的值，进而可得随机变量的分布列及其数学期望 详解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是．‎ 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，则．‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】离散型随机变量分布列的求解步骤：‎ ‎（1）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的含义；‎ ‎（2）求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；‎ ‎（3）画表格：按规范要求形式写出分布列；‎ ‎（4）做检查：利用分布列的的性质检验分布列是否正确．‎ ‎15．【2018北京十一学校三模】由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：‎ ‎5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754‎ ‎7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850‎ 对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：‎ 步数分组统计表（设步数为）‎ 组别 步数分组 频数 ‎2‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）写出的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；‎ ‎（Ⅱ）记组步数数据的平均数与方差分别为组步数数据的平均数与方差分别为，，试分别比较与以，与的大小；(只需写出结论)‎ ‎（Ⅲ）从上述两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1），，；（2），；（3）见解析 ‎（Ⅲ）的可能取值为 0，600，3400，4000，‎ ‎0‎ ‎600‎ ‎3400‎ ‎4000‎ 的数学期望为 ‎【名师点睛】求随机变量及其分布列的一般步骤 ‎（1）明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．‎ ‎（2）利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；‎ ‎（3）按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．‎