【数学】2019届一轮复习人教A版数系的扩充和复数的概念学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数系的扩充和复数的概念学案

‎2019届一轮复习人教A版 数系的扩充和复数的概念 学案 考试目标：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)‎ 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．‎ ‎2．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.‎ ‎3．复数的分类 z＝a＋bi(a，b∈R) 思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？‎ ‎[提示]‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　)‎ ‎(2)复数i的实部不存在，虚部为0. (　　)‎ ‎(3)bi是纯虚数． (　　)‎ ‎(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．复数i－2的虚部是(　　) ‎ ‎【导学号：48662114】‎ A．i　　　　　　　 B．－2‎ C．1 D．2‎ C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]‎ ‎3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　)‎ A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1‎ C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0‎ A　[∵(x＋y)i＝x－1，‎ ‎∴∴x＝1，y＝－1.]‎ ‎4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________. ‎ ‎【导学号：48662115】‎ ‎0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.‎ ‎1＋i，πi，＋2i，－ i，i　πi，i　[根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 复数的概念及分类 ‎　(1)给出下列三个命题：‎ ‎①若z∈C，则z2≥0；‎ ‎②2i－1虚部是2i；‎ ‎③2i的实部是0.‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．0　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？‎ ‎ 【导学号：48662116】‎ ‎(1)[解析]　(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；‎ 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；‎ 对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．‎ ‎[答案]　B ‎(2)①当x满足即x＝5时，z是实数．‎ ‎②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．‎ ‎③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．‎ ‎[规律方法]　复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.‎ (2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________________．‎ ‎(2)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．‎ ‎(1)1或－3　[由条件知a2－3＋‎2a＝0，‎ ‎∴a＝1或a＝－3.]‎ ‎(2)由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.‎ ‎①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.‎ ‎②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.‎ ‎③当时，z是纯虚数，解得k＝4.‎ ‎④当时，z＝0，解得k＝－1.‎ 复数相等的充要条件 ‎[探究问题]‎ ‎1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？‎ 提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．‎ ‎2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？‎ 提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0. ‎ ‎　(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于_______．‎ ‎(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(‎3m－i)＝0有实数根，求实数m的值. ‎ ‎【导学号：48662117】‎ 思路探究　(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；‎ ‎(2)根据复数相等的充要条件求解．‎ ‎(1)－3　[(1)∵z<0，∴，∴m＝－3.]‎ ‎(2)设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(‎3m－i)＝0，即(a2＋a＋‎3m)－(‎2a＋1)i＝0＋0i，‎ 所以a2＋a＋‎3m＝0且‎2a＋1＝0，‎ 所以a＝－且－＋‎3m＝0，所以m＝.‎ 母题探究：1.若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(‎3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．‎ ‎[解]　由题意可知，1＋1－2i ＋‎3m－i＝0，‎ 即m＝－＋i.‎ ‎2．若x2＋(1－2i)x＋(‎3m－i)>0，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(‎3m－i)＝ x2＋x＋‎3m－(2x＋1)i>0, 故，解得.‎ 所以实数m的取值范围为m>.‎ ‎[规律方法]　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.‎ (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.‎ 提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　) ‎ ‎【导学号：48662118】‎ A．，1　　　　　　 B．，5‎ C．±，5 D．±，1‎ C　[令，得a＝±，b＝5.]‎ ‎2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．0‎ A　[(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2，所以a＋b＝1，故选A.]‎ ‎3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________. ‎ ‎【导学号：48662119】‎ ‎－1　－1　[∵x2－y2＋2xyi＝2i，‎ ‎∴解得或]‎ ‎4．如果(m2－1)＋(m2－‎2m)i＞1则实数m的值为________．‎ ‎2　[由题意得解得m＝2.]‎ ‎5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋‎5m＋6)＋(m2－‎2m－15)i ‎(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. ‎ ‎【导学号：48662120】‎ ‎[解]　由m2＋‎5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－‎2m－15＝0得m＝5或m＝－3.‎ ‎(1)当m2－‎2m－15＝0时，复数z为实数，‎ ‎∴m＝5或－3；‎ ‎(2)当m2－‎2m－15≠0时，复数z为虚数，‎ ‎∴m≠5且m≠－3.‎ ‎(3)当时，复数z是纯虚数，‎ ‎∴m＝－2.‎ ‎(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.‎