四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题4理

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四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题4理

- 1 - 四川省广元市苍溪县实验中学校 2020 届高三数学下学期适应性考试 试题(4)理 第 I 卷 选择题(60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合  2 3 2 0A x x x    ,  = 2 3 0B x x   ,则 A B  A. 33, 2      B. 33, 2     C. 31 2      , D. 3 ,22      2.复数 iz 21 ,则 z 的模为 A. 21 B. 3 C. 21 D. 5 3.已知向量 (2, 4)m   , (10, 8 3 )n x   ,若 //m n  ,则 x  A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 4.随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全 年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发 生了变化,现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例,得到了如下折线 图: 则下列结论中正确的是 - 2 - A.该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半 B.该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍 C.该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍 D.该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当 5.在 ABC 中, D 是 BC 上一点,且 1 3BD BC ,则 AD  A. 1 3AB AC  B. 1 3AB AC  C. 2 1 3 3AB AC  D. 1 2 3 3AB AC  6.某地区有 10000 名高三学生参加了网上模拟考试,其中数学分数服从正态分布  120,9N , 成绩在(117,126]之外的人数估计有 (附:若 X 服从 2( , )N   ,则   0.6827P X        ,  2 2 0.9545P X        ) A.1814 人 B.3173 人 C.5228 人 D.5907 人 7.已知 0.2 3 0.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c   ,则 A. a b c  B. a c b  C.b c a  D. c a b  8.已知 ,a b 为两条不同的直线, ,  为两个不同的平面,且 a  ,b  ,则下列命题中 的假命题是 A.若 a ∥b ,则 ∥  B.若  ,则 a b r r C.若 ,a b 相交,则 ,  相交 D.若 ,  相交,则 ,a b 相交 9.已知抛物线 2y x 上的点 M 到其焦点的距离为 2,则 M 的横坐标是 - 3 - A. 3 2 B. 5 2 C. 7 4 D. 9 4 10.已知 1sin( )3 3    ,则sin( 2 )6    A. 7 9 B. 7 9  C. 7 9  D. 2 9  11.若存在 *, ,x y z R ,满足 2 xzy e z  ,且 2x z xe   ,则 ln lny x 的取值范围是 A. 1[ ,1]2 B.[ ln 2, 1 ln 2]e   C. 1[1 ln 2, ]2  D.[1 ln 2, 1 ln 2]e   12.已知点 P 是椭圆 2 2 : 116 4 x yM + = 上的动点,过 P 作圆 2 2 1N x y: = 的两条切线分别为切 于点 A B、 ,直线 AB 与 x y, 轴分别相交于 C D, 两点,则 COD△ (O 为坐标原点)的最小 面积为( ) A.1 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 8 第 II 卷 非选择题(90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.在 9 2 1x x     的展开式中,常数项的值为______. 14.以抛物线 2 6y x  的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是________ 15.函数 ( 是正实数)只有一个零点,则 的最大值为 . 16.在数列{an}中,已知 2 1 1 23 2 , 1, 3n n na a a a a     ,则数列{an}的通项公式 an=________ . 三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 - 4 - (一)必考题:共 60 分 17.(12 分)如图,在梯形 ABCD 中, 1/ / , 2 , 2, 6,cos 3AB CD BCD BAD BD AB BCD        . (1)求 AD 的长; (2)求梯形 ABCD 的面积. 18.(12 分)某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研,考察试卷中某道填空题的 得分情况.已知该题有两空,第一空答对得 3分,答错或不答得 0 分;第二空答对得 2 分,答 错或不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校1468 份试卷中随机 抽取1000份试卷,其中该题的得分组成容量为1000的样本,统计结果如下表: 第一空得分情况 第二空得分情况 得分 0 3 得分 0 2 人数 198 802 人数 698 302 (1)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计该校高三学生该题的平均分; (2)该校的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况 的频率(精确到 0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率,试求该同学这道题得分 的数 - 5 - 学期望. 19.(12 分)如图,已知四棱锥 P ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA  平面 ABCD , ABC 60   , ,E F 分别是 ,BC PC 的中点. ( 1 ) 证明: AE PD ; ( 2 ) 若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角 的正切值为 6 2 ,求二面角 E AF C  的余弦值. 20.(12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别是 1 2F F, , ,A B 是其左 右顶点,点 P 是椭圆C 上任一点,且 1 2PF F 的周长为 6,若 1 2PF F 面积的最大值为 3 . (1)求椭圆C 的方程; (2)若过点 2F 且斜率不为 0 的直线交椭圆C 于 ,M N 两个不同点,证明:直线 AM 于 BN 的 交点在一条定直线上. 21.(12 分)已知函数  f x 的导函数为  f x ,且 1 4( ) (2) (13ln )2xf x f x f   . (1)求函数  f x 的解析式; (2)若函数 21( ) ( ) 2h x xf x x ax b    区间 (1, ) 上存在非负的极值,求 1 b a  的最大值. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) - 6 - 在直角坐标系中,直线l 过定点 1,0 ,且倾斜角为  0    ,以坐标原点O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为  cos cos 8     . (1)写出l 的参数方程和C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点,且 8 10AB  ,求 的值. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 设函数   3 1f x x x    . (1)求不等式   2 3f x x  的解集; (2)若函数  f x 的最大值为 m ,且正实数 a 、b 满足 a b m  ,求 1 1 1 1a b   的最小值. 理科数学参考答案 1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.D - 7 - 13.84 14. 2 23 92x y      15. 16. 2 1n  17.解:(1)因为 12 ,cos 3BCD BAD BCD      , 所以 2cos 2cos 1BCD BAD    ,即 2 1cos 3BAD  . 因为 (0, )BCD   ,所以 0, 2BAD      ,所以 3cos 3BAD  . 在 ABD△ 中,由余弦定理得, 2 2 2 2 cosBD AD AB AD AB BAD      , 即 2 34 6 2 6 3AD AD     ,解得 2AD  . (2)由(1)可得 2 2 2AD BD AB  ,所以 2ADB   ,所以 3sin 3ABD  . 因为 / /AB CD 且 ABD 为锐角,所以 BDC ABD   , 所以 23 6sin sin ,cos 1 sin3 3BDC ABD BDC BDC         . 由 1cos 3BCD   ,得 2 2sin 3BCD  . 2 2 6 1 3 3sin sin( ) sin cos cos sin 3 3 3 3 3CBD BCD BDC BCD BDC BCD BDC                     . 在 BCD 中,由正弦定理得, sin sin DC BD CBD BCD   ,所以 sin 6 sin 2 BD CBDDC BCD    , 所以梯形 ABCD 的面积 - 8 - 1 1 3 2sin2 2 2ABD BCDS S S AD BD BD CD BDC            . 18.(1)设样本试卷中该题的平均分为 x ,则由表中数据可得: 0 198 3 802 0 698 2 302 3.011000x         , 据此可估计该校高三学生该题的平均分为 3.01分. (2)依题意,第一空答对的概率为 0.8,第二空答对的概率为 0.3,  的可能取值为 0,2,3,5 . ( 0) (1 0.8) (1 0.3) 0.14P        ; ( 2) (1 0.8) 0.3 0.06P       ; ( 3) 0.8 (1 0.3) 0.56P       ; ( 5) 0.8 0.3 0.24P      . 该同学这道题得分 的分布列如下:  0 2 3 5 P 0.14 0.06 0.56 0.24 所以该同学这道题得分 的数学期望为: 0 0.14 2 0.06 3 0.56 5 0.24 3E          . 19. ( 1 ) 证明:由四边形 ABCD 为菱形, ABC 60   ,可得 ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE BC . 又 BC / /AD ,因此 AE AD . 因为 PA  平面 ABCD, AE  平面 ABCD,所以 PA AE . - 9 - 而 PA  平面 PAD, AD  平面 PAD 且 PA AD A  , 所以 AE  平面 PAD. 又 PD  平面 PAD, 所以 AE PD . ( 2 ) 设 AB 2 ,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由 ( 1 ) 知 AE  平面 PAD, 则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角.在 Rt EAH 中, AE 3 , 所以当 AH 最短时, EHA 最大,即当 AH PD 时, EHA 最大. 此时 AE 3 6tan EHA AH AH 2     , AH 2. 又 AD 2 ,所以 ADH 45   , 所以 PA 2 .因为 PA  平面 ABCD, PA  平面 PAC,所以平面 PAC  平面 ABCD. 过 E 作 EO AC 于 O,则 EO  平面 PAC, 过 O 作 OS AF 于 S,连接 ES,则 ESO 为二面角 E AF C  的平面角, 在 Rt AOE 中, 3EO AE sin30 2    , 3AO AE cos30 2    , 又 F 是 PC 的中点,在 Rt ASO 中, 3 2SO AO sin45 4    , 又 2 2 3 9 30SE EO SO 4 8 4      , 在 Rt ESO 中, 3 2 SO 154cos ESO SE 530 4     ,即所求二面角的余弦值为 15 5 . - 10 - 20.解:(1)由题意得 2 2 2 2 2 6, 1 2 3,2 , a c bc a b c         1, 3, 2, c b a      椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ; (2)由(1)得  2,0A  ,  2,0B ,  2 1,0F ,设直线 MN 的方程为 1x my  ,  1 1,M x y ,  2 2,N x y ,由 2 2 1 14 3 x mx x y     ,得 2 24 3 6 9 0m y my    , 1 2 2 6 4 3 my y m      , 1 2 2 9 4 3y y m    ,  1 2 1 2 3 2my y y y   , 直线 AM 的方程为  1 1 22 yy xx   ,直线 BN 的方程为  2 2 22 yy xx   ,    1 2 1 2 2 22 2 y yx xx x      ,     2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 32 32 2 y x my y yx x y x my y y        , 4x  ,直线 AM 与 BN 的交点在直线 4x  上. 21.(1)令 1x  , 4 1(1) (1)3 2f f  ,∴ 3(1) 2f   ,∴ 1( ) (2)l 22n xf x f x   , ∴ (2) 1( ) 2 ff x x    ,代入 2x  可得 (2) 1(2) 2 2 ff    ,∴ ( )2 1f ¢ = , ∴ 1( ) ln 22f x x x   . (2)由题意 21( ) ( ) l 2n2h x xf x x ax b x x ax bx        , ∴    ln 1 2 ln 1x ah x x a      , 当1 0a  即 1a   时,   0h x  在 (1, ) 上恒成立, ∴  h x 在区间 (1, ) 上单调递增,  h x 无极值,不合题意; - 11 - 当1 0a  即 1a   时,令   0h x  ,则 1ax e  , ∴当  11, ax e  ,   0h x  ,函数  h x 单调递减;  1,ax e   ,   0h x  ,函数  h x 单调递增; ∴  h x 在 (1, ) 存在唯一极值  1ah e  ,又函数 ( )h x 区间 (1, ) 上存在非负的极值, ∴存在  1 1 1 1 1 1ln 2 0a a a a a ah e e e e ae b e b             , ∴存在 1ab e   即 1 1 1 ab e a a     ,令 ( ) ( 0) xex xx     ,∴ 2 ( 1)( ) xx ex x     , ∴当  0,1x 时,   0x  ,  x 单调递增;当 (1, )x  时,   0x  ,  x 单调递 减; ∴ max( ) (1)x e    ,∴当 1 1a   即 0a  时, 1 1 ae a    取最大值 e ,∴ 1 b a  的最大值 为 e . 22.解:(1) 1l:{x tcos y tsin       2C: y 8x (2)把直线方程代入抛物线方程得: 2 2t sin α 8tcosα 8 0   1 2 1 22 2 8cosα 8t t ,t tsin α sin α      22 1 2 1 2 1 2 2 4 4 6sin αAB t t t t 4t t 8 10sin α        4 2 2 1 1 π 5π20sin α 3sin α 2 0, sin α sinα α α4 2 6 6 , 或           23.(1)因为   4, 3 2 2, 3 1 4, 1 x f x x x x           , 当 3x   时,由   2 3f x x  可得出 2 3 4x   ,解得 2x  ,此时 x ; - 12 - 当 3 1x   时,由   2 3f x x  可得出 2 2 2 3x x   ,解得 0x  ,此时 0 1x  ; 当 1x  时,由   2 3f x x  可得出 2 3 4x  ,解得 2 3x   ,此时 1x  . 所以不等式   2 3f x x  的解集为 0, ; (2)根据(1)可知,函数  y f x 的最大值为 4 ,即 4a b  ,所以    1 1 16 a b    .    1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 6 1 1 6 1 1 b aa ba b a b a b                            1 1 12 26 1 1 b a a b           1 22 26 3    ,当且仅当 2a b  时,等号成立,所以 1 1 1 1a b   的最小值为 2 3 .
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