【数学】2019届一轮复习全国通用版第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
2017·全国卷Ⅰ，3
2017·天津卷，4
2017·北京卷，6
2016·四川卷，7
2016·浙江卷，4
1.判断命题的真假．
2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．
3．常以函数、不等式等其他知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．
4．考题多以选择题、填空题形式出现．
分值：5分
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
若原命题为：若p则q，则逆命题为__若q，则p__，否命题为__若綈p，则綈q__，逆否命题为__若綈q，则綈p__.
(2)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有__相同__的真假性；
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__无关__.
3．充分条件与必要条件
(1)若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．
(2)若p⇒q，且qp，则p是q的__充分不必要__条件．
(3)若pq，且q⇒p，则p是q的__必要不充分__条件．
(4)若p⇔q，则p是q的__充要__条件．
(5)若pq，且qp，则p是q的__既不充分也不必要__条件．
(6)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的__充分不必要__条件．
4．用集合关系判断充分条件、必要条件
以p：x∈A，q：x∈B的形式出现．
(1)若p是q的充分条件，则A__⊆__B.
(2)若p是q的必要条件，则B__⊆__A.
(3)若p是q的充分不必要条件，则A__?__B.
(4)若p是q的必要不充分条件，则B__?__A.
(5)若p是q的充要条件，则A__＝__B.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“?”)．
(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．( ? )
(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系．( ? )
(3)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． ( √ )
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同．( ? )
解析 (1)错误．无法判断真假，故不是命题．
(2)错误．一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题 ，它们的真假性相同．
(3)正确．一个命题与其逆否命题等价．
(4)错误．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”，“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq ”.
2．下列命题为真命题的是( A )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x
b，则a－1>b－1”的否命题是( C )
A．若a>b，则a－1≤b－1 B．若a>b，则a－11，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
(4)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( D )
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
解析 (1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
(3)对于A项，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故A项为假命题；对于B项，逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知B项为真命题；对于选项C，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故C项为假命题；对于D项，逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故D项为假命题．
(4)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1，∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，∴其逆否命题是真命题．
二 充分、必要条件的判断
充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．
①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件．
【例2】 (1)“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设θ∈R，则“|θ－<”是“sin θ<”的( A )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 (1)“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．
(2)由|θ－<，得0<θ<，故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z.得不到|θ－<.
三 根据充分、必要条件求参数的取值范围
根据充分、必要条件求参数取值范围的注意点
解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得决定着端点的取值．
【例3】 (1)(2018·江西南昌高三模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( B )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为__[0,3]__.
解析 (1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又p是q的充分不必要条件，故有解得m≥9.
(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，又集合S非空．
则∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
1．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“00)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__(0,2]__.
解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.∵p是q的充分不必要条件，又m>0，∴≤，∴03，即m>2.
易错点2 不会“正难则反”
错因分析：以否定形式给出的命题不易直接解决时，不要忘记了判断与之等价的逆否命题．
【例2】 已知条件甲：“a＋b≠4”，条件乙：“a≠1且b≠3”，则甲是乙的________条件．
解析 直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误．由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a＝1或b＝3”是“a＋b＝4”的什么条件．易知应为既不充分也不必要条件．
答案 既不充分也不必要
【跟踪训练2】 (2018·福建南平一模)“tan α≠”是“α≠”的( D )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分不必要条件
解析 tan α≠⇔α≠＋kπ(k∈Z)，故“tan α≠”是“α≠”的充分不必要条件，故选D．
课时达标 第2讲
[解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置．
一、选择题
1．(2018·湖南衡阳五校联考)命题“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”的逆命题是( D )
A．若x0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
C．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，故A项正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，由Δ＝1＋4m≥0， 解得m≥－，是假命题，故B项错误；x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件，故C项正确；命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D项正确，故选B．
3．(2018·山东淄博期中)“x(x－5)<0成立”是“|x－1|<4成立”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 ∵x(x－5)<0⇔02 018且a>－b”的逆否命题是__若a＋b≤2018或a≤－b，则a＜b__.
解析 若a＋b≤2 018或a≤－b，则a9__.
解析 设f(x)＝x2－mx＋2m，
由f(x)＝0有一根大于3一根小于3，及f(x)的图象得f(3)<0，解得m>9，即方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.
9．已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0成立”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为__(－∞，－7]∪[1，＋∞)__.
解析 由(x－m)2>3(x－m)，得(x－m)(x－m－3)>0，解得xm＋3.由x2＋3x－4<0，得(x－1)·(x＋4)<0，解得－4m＋3}，所以m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1.所以m的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
三、解答题
10．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有实数解，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析 (1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有实数解，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有实数解，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有实数解，为真命题．
11．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B
”的充分条件，求实数m的取值范围．
解析 y＝x2－x＋1＝2＋，
∵≤x≤2，∴≤y≤2，
∴A＝≤y≤2.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
12．已知p：x2－8x－20≤0；q：x2－2x＋1－m4≤0.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求m的取值范围．
解析 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则[1－m2,1＋m2]⊆[－2,10]，
所以即即m2≤3，解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．
即即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
