【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换学案

【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换学案

第6课时　简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)61 63页)‎ 灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明．‎ ‎　　能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题．‎ ‎1. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos 2α＝__________．‎ 答案：－ 解析：根据三角函数的定义知，sin α＝＝＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝1－＝－.‎ ‎2. (必修4P123习题3.2题5改编)已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为________．‎ 答案：－ 解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.‎ ‎3. (必修4P118习题3.1(3)题7改编)已知tan α，tan β是方程3x2－7x＋2＝0的两根，则的值为________．‎ 答案： 解析：由已知得tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，所以＝＝＝.‎ ‎4. 计算：的值为________．‎ 答案： 解析：＝＝＝＝.‎ ‎5. (必修4P112习题3.1(2)题12改编)在△ABC中，已知cos＝，则cos ‎2A的值为________．‎ 答案： 解析：cos＝coscos A－sinsin A＝(cos A－sin A)＝，‎ ‎∴ cos A－sin A＝＞0　①.‎ ‎∴ 0＜A＜，∴ 0＜‎2A＜.‎ 由①得(cos A－sin A)2＝，即1－sin ‎2A＝，‎ ‎∴ sin ‎2A＝.‎ ‎∴ cos ‎2A＝＝.‎ 三角函数的最值问题 ‎(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ‎① y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ .‎ ‎② y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．‎ ‎③ y＝可转化为只有分母含sin x或cos x的函数式或sin x＝f(y)(或cos x＝f(y))的形式，利用正、余弦函数的有界性求解．‎ ‎(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ‎① y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为cos x的二次函数式．‎ ‎② y＝asin x＋(a，b，c>0)，令sin x＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　三角形中的恒等变换)‎ ‎,　　　　　1)　(2017·启东中学模拟)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin＝2cos A.‎ ‎(1) 求角A的值；‎ ‎(2) 若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.‎ 解：(1) 由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A．因为A∈(0，π)，且cos A≠0，所以tan A＝，所以A＝. ‎ ‎(2) 因为B∈，所以A－B＝－B∈.‎ 因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，cos(A－B)＝，‎ 所以sin(A－B)＝，‎ 所以sin B＝sin[A－(A－B)]＝sin Acos(A－B)－cos A·sin(A－B)＝.‎ 变式训练 在三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan Btan C＝1－，则角A的值为__________．‎ 答案： 解析：由题意知，sin A＝－cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，等式两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝－.又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，即tan A＝1，所以A＝.‎ ‎,　　　　　　　　　2　角的构造技巧与公式的灵活运用)‎ ‎,　　　　　2)　化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.‎ 解：(解法1)(从“角”入手，复角化单角)‎ 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)‎ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ‎＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.‎ ‎(解法2)(从“名”入手，异名化同名)‎ 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β ‎＝cos2β－cos 2β ‎＝－cos 2β＝.‎ ‎(解法3)(从“幂”入手，利用降幂公式先降幂)‎ 原式＝·＋·－cos 2αcos 2β ‎＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝.‎ ‎(解法4)(从“形”入手，利用配方法，先对二次项进行配方)‎ 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2(α＋β)＋sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)‎ ‎＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.‎ 求sin210°＋cos240°－sin 10°cos 140°的值．‎ 解：(解法1)原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°‎ ‎＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin 10°cos(30°＋10°)‎ ‎＝sin210°＋＋sin 10°(cos 10°－sin 10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.‎ ‎(解法2)设x＝原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos 10°sin 40°，‎ 则x＋y＝1＋1＋sin 10°cos 40°＋cos 10°sin 40°＝2＋sin 50°，‎ x－y＝cos 80°－cos 20°－＝cos(50°＋30°)－cos(50°－30°)－＝－sin 50°－，‎ 上述两式相加得2x＝，即x＝，‎ 故原式＝.‎ ‎,　　　　　　　　　3　三角恒等变换与三角函数性质的综合问题)‎ ‎●典型示例 ‎,　　　　　3)　如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1) 若x1＝，求x2；‎ ‎(2) 分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D.记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.若S1＝S2，求角α的值．‎ ‎【思维导图】‎ ‎【规范解答】解：(1) 由三角函数定义，得x1＝cos α，x2＝cos，‎ 因为α∈，cos α＝，所以sin α＝＝＝.‎ 所以x2＝cos＝cos α－sin α＝.‎ ‎(2) 依题意得y1＝sin α，y2＝sin.‎ 所以S1＝x1y1＝cos αsin α＝sin 2α，‎ S2＝|x2|y2＝sin|cos|＝－sin.‎ 依题意得sin 2α＝－sin＝－sin 2αcos －cos 2αsin ，整理得tan 2α＝－.‎ 因为＜α＜，所以＜2α＜π，所以2α＝，故α＝.‎ ‎●总结归纳 这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义将问题转化为三角函数问题，灵活运用三角恒等变换解决问题．‎ ‎●题组练透 ‎1. 如图，角α终边上一点P的坐标是(3，4)，将OP绕原点旋转45°到OP′的位置，则点P′的坐标为__________．‎ 答案： ‎ 解析：设P′(x，y)，sin α＝，cos α＝，∴ sin(α＋45°)＝，cos(α＋45°)＝－.‎ ‎∴ x＝5cos(α＋45°)＝－，y＝5sin(α＋45°)＝.∴ P′.‎ ‎2. (原创)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan 2α＝__________．‎ 答案： 解析：因为点A的纵坐标为yA＝，且点A在第二象限，又圆O为单位圆，所以点A的横坐标xA＝－.由三角函数的定义可得cos α＝－.因为α的终边在第二象限，所以sin α＝‎ eq (1－cos2α)＝.所以tan α＝＝－，故tan 2α＝＝.‎ ‎3. 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若BC＝1，则cos2 －sin cos －的值为________．‎ 答案： 解析：由题意得OB＝BC＝1，从而△OBC为等边三角形，∴ sin ∠AOB＝sin＝，cos2－sin cos －＝·－－＝－sin α＋cos α＝sin＝sin＝sin＝.‎ ‎4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上．已知点A在第一象限且横坐标是，点B在第二象限，点C(1，0). 设∠COA＝θ，‎ ‎(1) 求sin 2θ的值；‎ ‎(2) 若△AOB为正三角形，求点B的坐标．‎ 解：(1) 由题设得cos θ＝，因为点A在单位圆上且在第一象限，所以sin θ＝，‎ 从而sin 2θ＝2sin θcos θ＝.‎ ‎(2) 因为△AOB为正三角形，所以∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，‎ 所以cos ∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cos θcos 60°－sin θsin 60°＝，sin ∠BOC＝sin(θ＋60°)＝sin θcos 60°＋cos θsin 60°＝，因此点B的坐标为.‎ ‎1. 若x为锐角，且cos＝－，则sin的值为________．‎ 答案： 解析：因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝＝.因为x为锐角，所以sin＝.‎ ‎2. 已知A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点O，半径为1)上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B(xB，yB)．已知m>0，若myA－2yB的最大值为3，则m＝________．‎ 答案：＋1‎ 解析：设OA与x轴正半轴的夹角为θ，myA－2yB＝msin θ－2sin(θ＋60°)＝(m－1)sin θ－cos θ，则(m－1)2＋3＝9，而m>0，故m＝＋1.‎ ‎3. 设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为____________．‎ 答案：c

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