高中数学人教a版选修4-1学业分层测评8圆的切线的性质及判定定理word版含解析

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高中数学人教a版选修4-1学业分层测评8圆的切线的性质及判定定理word版含解析

学业分层测评(八) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.AB 是⊙O 的切线,在下列给出的条件中,能判定 AB⊥CD 的是( ) A.AB 与⊙O 相切于直线 CD 上的点 C B.CD 经过圆心 O C.CD 是直径 D.AB 与⊙O 相切于 C,CD 过圆心 O 【解析】 圆的切线垂直于过切点的半径或直径. 【答案】 D 2.已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30°,过 C 点的切线 PC 与 AB 的 延长线交于 P,PC=5,则⊙O 的半径是( ) A.5 3 3 B.5 3 6 C.10 D.5 【解析】 如图,连接 OC, ∠PAC=30°, 由圆周角定理知, ∠POC=2∠PAC=60°, 由切线性质知∠OCP=90°. ∴在 Rt△OCP 中,tan∠POC=PC OC. ∴OC= PC tan∠POC = 5 tan 60° =5 3 3 . 【答案】 A 3.如图 2313,CD 切⊙O 于 B,CO 的延长线交⊙O 于 A,若∠C=36°, 则∠ABD 的度数是( ) 图 2313 A.72° B.63° C.54° D.36° 【解析】 连接 O B. ∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OBC=90°. ∵∠C=36°,∴∠BOC=54°. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27°, ∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°. 【答案】 B 4.如图 2314 所示,⊙O 是正△ABC 的内切圆,切点分别为 E,F,G,点 P 是弧 EG 上的任意一点,则∠EPF=( ) 图 2314 A.120° B.90° C.60° D.30° 【解析】 如图所示,连接 OE,OF. ∵OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠BEO=∠BFO=90°, ∴∠EOF+∠ABC=180°, ∴∠EOF=120°,∴∠EPF=1 2 ∠EOF=60°. 【答案】 C 5.如图 2315 所示,AC 切⊙O 于 D,AO 的延长线交⊙O 于 B,且 AB⊥ BC,若 AD∶AC=1∶2,则 AO∶OB=( ) 图 2315 A.2∶1 B.1∶1 C.1∶2 D.1∶1.5 【解析】 如图所示,连接 OD,OC,则 OD⊥AC. ∵AB⊥BC,∴∠ODC=∠OBC=90°. ∵OB=OD,OC=OC, ∴△CDO≌△CBO,∴BC=DC. ∵AD AC =1 2 ,∴AD=DC, ∴BC=1 2AC. 又 OB⊥BC,∴∠A=30°, ∴OB=OD=1 2AO,∴AO OB =2 1. 【答案】 A 二、填空题 6.如图 2316,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,⊙O 分别 与边 AB,AC 相切,切点分别为 E,C.则⊙O 的半径是________. 图 2316 【解析】 连接 OE,设 OE=r, ∵OC=OE=r,BC=12, 则 BO=12-r,AB= 122+52=13, 由△BEO∽△BCA,得BO AB =OE AC , 即12-r 13 =r 5 ,解得 r=10 3 . 【答案】 10 3 7.如图 2317,在半径分别为 5 cm 和 3 cm 的两个同心圆中,大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C,则弦 AB 的长为______cm. 图 2317 【解析】 连接 OA,OC, ∵AB 是小圆的切线, ∴OC⊥AB,∴AC=1 2A B. ∵在 Rt△AOC 中, AC= 52-32=4(cm), ∴AB=8 cm. 【答案】 8 8.如图 2318 所示,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足∠ ABC=30°,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=________. 图 2318 【解析】 连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线, ∴OA⊥AP. 又∠ABC=30°,∴∠AOC=60°. ∴在 Rt△AOP 中,OA=1,PA=OA·tan 60°= 3. 【答案】 3 三、解答题 9.如图 2319,已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点,AD∶DC=2∶1,∠C =45°,∠ADB=60°,求证:AB 是△BCD 的外接圆的切线. 【导学号:07370040】 图 2319 【证明】 如图,连接 OB,OC,OD,设 OD 交 BC 于 E. 因为∠DCB 是 所对的圆周角, ∠BOD 是 所对的圆心角, ∠BCD=45°, 所以∠BOD=90°. 因为∠ADB 是△BCD 的一个外角, 所以∠DBC=∠ADB-∠ACB=60°-45°=15°, 所以∠DOC=2∠DBC=30°, 从而∠BOC=120°. 因为 OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=30°. 在△OEC 中, 因为∠EOC=∠ECO=30°, 所以 OE=EC. 在△BOE 中,因为∠BOE=90°,∠EBO=30°,所以 BE=2OE=2EC, 所以CE BE =CD DA =1 2 , 所以 AB∥OD,所以∠ABO=90°, 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线. 10.如图 2320,AB 是⊙O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,弦 CD⊥AB 于 E,∠POC=∠PCE. 图 2320 (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)若 OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O 半径. 【解】 (1)证明:在△OCP 与△CEP 中, ∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE, ∴∠OCP=∠CEP. ∵CD⊥AB,∴∠CEP=90°, ∴∠OCP=90°. 又∵C 点在圆上,∴PC 是⊙O 的切线. (2)法一:设 OE=x,则 EA=2x,OC=OA=3x. ∵∠COE=∠AOC,∠OEC=∠OCP=90°, ∴△OCE∽△OPC, ∴OC OE =OP OC , 即(3x)2=x(3x+6),∴x=1, ∴OA=3x=3,即圆的半径为 3. 法二:由(1)知 PC 是⊙O 的切线, ∴∠OCP=90°. 又∵CD⊥OP,由射影定理知 OC2=OE·OP,以下同法一. [能力提升] 1.如图 2321,在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦,过 B 点的切线与 AD 的 延长线交于 C,若 AD=DC,则 sin∠ACO 等于( ) 图 2321 A. 10 10 B. 2 10 C. 5 5 D. 2 4 【解析】 连接 BD,则 BD⊥AC. ∵AD=DC,∴BA=BC, ∴∠BCA=45°. ∵BC 是⊙O 的切线,切点为 B, ∴∠OBC=90°. ∴sin∠BCO=OB OC = OB 5OB = 5 5 , cos ∠BCO=BC OC = 2OB 5OB =2 5 5 . ∴sin∠ACO=sin(45°-∠BCO) =sin45°cos ∠BCO-cos 45°sin ∠BCO = 2 2 ×2 5 5 - 2 2 × 5 5 = 10 10 . 【答案】 A 2.如图 2322 所示,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于 B 点,PB=1,则圆 O 的半径 R=__________. 图 2322 【解析】 AB= AP2-PB2= 3. 由 AB2=PB·BC, ∴BC=3,Rt△ABC 中, AC= AB2+BC2=2 3, ∴R= 3. 【答案】 3 3.圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l,圆交于点 D,E,则∠DAC=__________, DC=__________. 【解析】 连接 OC, ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC. 又∠DCA+∠ACO=90°, ∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠DCA=∠OCB. ∵OC=3,BC=3, ∴△OCB 是正三角形, ∴∠OBC=60°,即∠DCA=60°, ∴∠DAC=30°. 在 Rt△ACB 中,AC= AB2-BC2=3 3, DC=ACsin 30°=3 2 3. 【答案】 30° 3 3 2 4.如图 2323,AD 是⊙O 的直径,BC 切⊙O 于点 D,AB,AC 与圆分别 相交于点 E,F. 【导学号:07370041】 图 2323 (1)AE·AB 与 AF·AC 有何关系?请给予证明; (2)在图中,如果把直线 BC 向上或向下平移,得到图 2324(1)或图(2),在 此条件下,(1)题的结论是否仍成立?为什么? 图 2324 【解】 (1)AE·AB=AF·AC. 证明:连接 DE. ∵AD 为⊙O 的直径,∴∠DEA=90°. 又∵BC 与⊙O 相切于点 D, ∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,∴∠ADB=∠DEA. 又∵∠BAD=∠DAE,∴△BAD∽△DAE, ∴AB AD =AD AE ,即 AD2=AB·AE. 同理 AD2=AF·AC,∴AE·AB=AF·AC. (2)(1)中的结论仍成立. 因为 BC 在平移时始终与 AD 垂直,设垂足为 D′, 则∠AD′B=90°. ∵AD 为圆的直径, ∴∠AED=∠AD′B=90°. 又∵∠DAE=∠BAD′,∴△ABD′∽△ADE, ∴AB AD =AD′ AE ,∴AB·AE=AD·AD′. 同理 AF·AC=AD·AD′,故 AE·AB=AF·AC.
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