高二数学人教a版选修4-5学业分层测评11word版含答案

2021-06-16 发布 |
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文档介绍

学业分层测评（十一） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设 a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则 P 与 Q 的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P0，∴a2≥b2>0. 因此 a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，则 P≥Q. 【答案】 B 2．设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( ) A．反序和≥乱序和≥顺序和 B．反序和＝乱序和＝顺序和 C．反序和≤乱序和≤顺序和 D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定【答案】 C 3．设正实数 a1，a2，a3 的任一排列为 a′1，a′2，a′3，则 a1 a′1 ＋ a2 a′2 ＋ a3 a′3 的最小值为( ) A．3 B．6 C．9 D.12 【解析】设 a1≥a2≥a3＞0，则1 a3 ≥ 1 a2 ≥ 1 a1 ＞0，由乱序和不小于反序和知， a1 a′1 ＋ a2 a′2 ＋ a3 a′3 ≥a1 a1 ＋a2 a2 ＋a3 a3 ＝3， ∴ a1 a′1 ＋ a2 a′2 ＋ a3 a′3 的最小值为 3，故选 A. 【答案】 A 4．若 A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中 x1，x2，…， xn 都是正数，则 A 与 B 的大小关系为( ) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D.A≤B 【解析】依序列{xn}的各项都是正数，不妨设 0＜x1≤x2≤…≤xn，则 x2， x3，…，xn，x1 为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得 x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2 ＋x2x3＋…＋xnx1，即 x21＋x22＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选 C. 【答案】 C 5．已知 a，b，c 为正实数，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( ) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D.小于等于零【解析】设 a≥b≥c>0，所以 a3≥b3≥c3，根据排序原理，得 a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， ∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 【答案】 B 二、填空题 6．若 a，b，c∈R＋，则bc a ＋ca b ＋ab c ________a＋b＋c. 【解析】不妨设 a≥b≥c＞0，则 bc≤ca≤ab，1 a ≤1 b ≤1 c ， ∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ac c ＋ab a ＋bc b ＝a＋b＋c. 【答案】 ≥ 7．有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s. 【解析】等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．【答案】 41 8．设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1，则a1a2 a3 ＋a2a3 a1 ＋a3a1 a2 的最小值为 ________. 【导学号：32750058】【解析】不妨设 a3>a1>a2>0，则 1 a3 < 1 a1 < 1 a2 ，所以 a1a20，则 a2≥b2≥c2>0， ∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a， ∴a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知，同理 b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以 1 a3＋b3＋abc ＋ 1 b3＋c3＋abc ＋ 1 c3＋a3＋abc ≤ 1 aba＋b＋abc ＋ 1 bcb＋c＋abc ＋ 1 aca＋c＋abc ＝ 1 a＋b＋c 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ca ＝ 1 a＋b＋c·c＋a＋b abc ＝ 1 abc. 故原不等式得证． 10．已知 a，b，c 都是正数，求 a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b 的最小值．【解】由对称性，不妨设 0＜c≤b≤a，则有 a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以 0＜ 1 a＋b ≤ 1 a＋c ≤ 1 b＋c. 由排序不等式得 a b＋c ＋ b a＋c ＋ c a＋b ≥ a a＋c ＋ b a＋b ＋ c b＋c ，① a b＋c ＋ b a＋c ＋ c a＋b ≥ c a＋c ＋ a a＋b ＋ b b＋c.② 由①②知 2 a b＋c ＋ b a＋c ＋ c a＋b ≥3， ∴ a b＋c ＋ b a＋c ＋ c a＋b ≥3 2. 当且仅当 a＝b＝c 时， a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b 取最小值3 2. [能力提升] 1．锐角三角形中，设 P＝a＋b＋c 2 ，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则 P，Q 的关系为( ) A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D.不能确定【解析】不妨设 A≥B≥C，则 a≥b≥c， cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有 Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝a＋b＋c 2 ＝P. 【答案】 C 2．已知 a＋b＋c＝1，a，b，c 为正数，则 1 b＋c ＋ 1 c＋a ＋ 1 a＋b 的最小值是 ________．【解析】不妨设 a≥b≥c，∴ 1 b＋c ≥ 1 c＋a ≥ 1 a＋b ， ∴ a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥ b b＋c ＋ c c＋a ＋ a a＋b ，① a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥ c b＋c ＋ a c＋a ＋ b a＋b ，② ①＋②得 a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥3 2 ， ∴ 1 b＋c ＋ 1 c＋a ＋ 1 a＋b ≥9 2. 【答案】 9 2 3．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，A，B 所对的边分别为 a，b，则 aA＋bB 与π 4(a＋b)的大小关系为________. 【导学号：32750059】【解析】不妨设 a≥b＞0，则 A≥B＞0，由排序不等式 aA＋bB≥aB＋bA aA＋bB＝aA＋bB ⇒2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B) ＝π 2(a＋b)， ∴aA＋bB≥π 4(a＋b)．【答案】 aA＋bB≥π 4(a＋b) 4．已知 0<α<β<γ<π 2 ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>1 2(sin 2α＋sin 2β ＋sin 2γ)．【证明】 ∵0<α<β<γ<π 2 ，且 y＝sin x 在 0，π 2 上为增函数，y＝cos x 在 0，π 2 上为减函数， ∴0cos β>cos γ>0. 根据排序不等式得：乱序和>反序和． ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝1 2(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．故原不等式得证．

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