云南省昆明市第一中学2021届高三第二次双基检测数学（文）试题

云南省昆明市第一中学2021届高三第二次双基检测数学（文）试题

昆明市第一中学 2021 届高中新课标高三第二次双基检测 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 3 4 0A x x x    ，集合  2 4B x Z x     ，则 A B  （ ） A.  2,1,0,1 B.  1,0,1,2,3 C.  0,1 D.  1 2. 设 1 1i x yi   （i 是虚数单位， xR ， y R ）则 x yi  （ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一 种模型，它的侧视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 1tan 2    ， cos2  （ ） A. 4 5 B. 4 5  C. 3 5 D. 3 5- 5. 把分别写有 1，2，3，4 的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一 张，则必须是连号，那么 2，3 连号的概率为（ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 3 5 D. 1 4 6. 函数 sin 23y x     的最小正周期是（ ） A. 3  B.  C. 2  D. 2 7. 已知函数  f x 是奇函数，当 0x  时   22xf x x  ，则    1 2f f   （ ） A. 8 B. 4 C. 5 D. 11 8. 已知抛物线 2: 4C y x ，以 1,1 为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A. 2 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 3 0x y   D. 2 3 0x y   9. 已知函数   lnf x x x ，若直线 l 过点 0, e ，且与曲线  y f x 相切，则直线 l 的斜率为（ ） A. 2 B. 2 C. e D. e 10. 过圆 2 2 4x y  上一点 P 作圆  2 2 2: 0O x y m m   的两条切线，切点分别为 A ，B ，若 3APB   ， 则实数 m  （ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 D. 2 11. 设 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2: 1yC x b   的两个焦点， P 是C 上一点，若 1 2 6PF PF  ，且 1 2PF F△ 的最 小内角为30 ，则双曲线C 的焦距为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 12. 记函数    ln 1 1f x x x    的定义域为 A ，函数   sin 1x xg x e e x    ，若不等式    22 1 2g x a g x    对 x A 恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A.  2, B.  2, C.  2,  D.  2,  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 向量  1,0a  ，  21,b m r ，若  a ma b    ，则 m  _________. 14. 设 x ， y 满足约束条件 2 4, 1, 0 x y x y y        则 4z x y  的取值范围是__________. 15. 在 ABC 中， 3a  ， 60A   ，求3 2b c 的最大值_________. 16. 函数         sin , 0,2 1 2 , 2,2 x x f x f x x       .若关于 x 的方程    0f x m m  有且只有两个不相等的实 根 1x ， 2x ，则 1 2x x 的值是_________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分. 17. 已知 na 为等差数列， 1 1a  且公差 0d  ， 4a 是 2a 和 8a 的等比中项. （1）若数列 na 的前 m 项和 66mS  ，求 m 的值； （2）若 1a 、 2a 、 1ka 、 2ka 、 、 nka 成等比数列，求数列 nk 的通项公式. 18. 学校食堂统计了最近5 天到餐厅就餐的人数 x（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数 量 y （袋），得到如下统计表： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 就餐人数 x （百人） 13 9 8 10 12 原材料 y （袋） 32 23 18 24 28 （1）根据所给的5 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （2）已知购买食材的费用C （元）与数量 y （袋）的关系为     400 20,0 36 380 , 36 y y x NC y y y N         ，投入使 用的每袋食材相应的销售单价为 700 元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500 人到 食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大 利润是多少？（注：利润 L =销售收入-原材料费用） 参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 ， a y bx $ $ 参考数据： 5 1 1343i i i x y   ， 5 2 1 558i i x   ， 5 2 1 3237i i y   19. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面 ABC 为直角三角形， AC BC ，侧棱 1CC  底面 ABC ， 1AC CC （1）证明：平面 1A BC  平面 1ABC ； （2）若点 E 为侧棱 1AA 的中点，点 F 为棱 BC 上的一点，且 3BC BF ，证明： 1 / /A B 平面 1C EF . 20. 已知曲线 2 2 : 15 2 x yC m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆. （1）求 m 的取值范围； （2）设 3m  ，过点  0,2P 的直线l 交椭圆于不同的两点 A ，B（ B 在 A ，P 之间），且满足 PB PA  ， 求  的取值范围. 21. 已知函数   xf x e ax  ，   1 lng x x x  . （1）讨论函数  f x 的单调性；（2）若当 0x  时，方程    f x g x 有实数解，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22. 已知平面直角坐标系 xOy 中，将曲线 1 2 2cos ,: 2sin xC y       （ 为参数）绕原点逆时针旋转 2  得到曲线 2C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 2C 的极坐标方程； （2）射线 6   分别与曲线 1C ， 2C 交于异于点O 的 A ， B 两点，求 AB . 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知函数   1 2f x x x    . （1）求不等式   4f x  的解集； （2）若   4f x m m   对任意 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围. 昆明市第一中学 2021 届高中新课标高三第二次双基检测 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 3 4 0A x x x    ，集合  2 4B x Z x     ，则 A B  （ ） A.  2,1,0,1 B.  1,0,1,2,3 C.  0,1 D.  1 【答案】A 2. 设 1 1i x yi   （i 是虚数单位， xR ， y R ）则 x yi  （ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】B 3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一 种模型，它的侧视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 已知 1tan 2    ， cos2  （ ） A. 4 5 B. 4 5  C. 3 5 D. 3 5- 【答案】C 5. 把分别写有 1，2，3，4 的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一 张，则必须是连号，那么 2，3 连号的概率为（ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 3 5 D. 1 4 【答案】B 6. 函数 sin 23y x     的最小正周期是（ ） A. 3  B.  C. 2  D. 2 【答案】B 7. 已知函数  f x 是奇函数，当 0x  时   22xf x x  ，则    1 2f f   （ ） A. 8 B. 4 C. 5 D. 11 【答案】C 8. 已知抛物线 2: 4C y x ，以 1,1 为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A. 2 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 3 0x y   D. 2 3 0x y   【答案】A 9. 已知函数   lnf x x x ，若直线 l 过点 0, e ，且与曲线  y f x 相切，则直线 l 的斜率为（ ） A. 2 B. 2 C. e D. e 【答案】B 10. 过圆 2 2 4x y  上一点 P 作圆  2 2 2: 0O x y m m   的两条切线，切点分别为 A ，B ，若 3APB   ， 则实数 m  （ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】C 11. 设 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2: 1yC x b   的两个焦点， P 是C 上一点，若 1 2 6PF PF  ，且 1 2PF F△ 的最 小内角为30 ，则双曲线C 的焦距为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 【答案】D 12. 记函数    ln 1 1f x x x    的定义域为 A ，函数   sin 1x xg x e e x    ，若不等式    22 1 2g x a g x    对 x A 恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A.  2, B.  2, C.  2,  D.  2,  【答案】A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 向量  1,0a  ，  21,b m r ，若  a ma b    ，则 m  _________. 【答案】1 14. 设 x ， y 满足约束条件 2 4, 1, 0 x y x y y        则 4z x y  的取值范围是__________. 【答案】[1,6] 15. 在 ABC 中， 3a  ， 60A   ，求3 2b c 的最大值_________. 【答案】 2 19 16. 函数         sin , 0,2 1 2 , 2,2 x x f x f x x       .若关于 x 的方程    0f x m m  有且只有两个不相等的实 根 1x ， 2x ，则 1 2x x 的值是_________. 【答案】 3 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分. 17. 已知 na 为等差数列， 1 1a  且公差 0d  ， 4a 是 2a 和 8a 的等比中项. （1）若数列 na 的前 m 项和 66mS  ，求 m 的值； （2）若 1a 、 2a 、 1ka 、 2ka 、 、 nka 成等比数列，求数列 nk 的通项公式. 【答案】（1） 11m  ；（2） 12n nk  . 18. 学校食堂统计了最近5 天到餐厅就餐的人数 x（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数 量 y （袋），得到如下统计表： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 就餐人数 x （百人） 13 9 8 10 12 原材料 y （袋） 32 23 18 24 28 （1）根据所给的5 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （2）已知购买食材的费用C （元）与数量 y （袋）的关系为     400 20,0 36 380 , 36 y y x NC y y y N         ，投入使 用的每袋食材相应的销售单价为 700 元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500 人到 食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大 利润是多少？（注：利润 L =销售收入-原材料费用） 参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 ， a y bx $ $ 参考数据： 5 1 1343i i i x y   ， 5 2 1 558i i x   ， 5 2 1 3237i i y   【答案】（1）  2.5 1y x  ；（2）食堂购买 36袋食，能获得最大利润，最大利润为11520元. 19. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面 ABC 为直角三角形， AC BC ，侧棱 1CC  底面 ABC ， 1AC CC （1）证明：平面 1A BC  平面 1ABC ； （2）若点 E 为侧棱 1AA 的中点，点 F 为棱 BC 上的一点，且 3BC BF ，证明： 1 / /A B 平面 1C EF . 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 20. 已知曲线 2 2 : 15 2 x yC m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆. （1）求 m 的取值范围； （2）设 3m  ，过点  0,2P 的直线l 交椭圆于不同的两点 A ，B（ B 在 A ，P 之间），且满足 PB PA  ， 求  的取值范围. 【答案】（1） 72, 2      ；（2） 1 ,13     . 21. 已知函数   xf x e ax  ，   1 lng x x x  . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）若当 0x  时，方程    f x g x 有实数解，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）[e 1, )  . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22. 已知平面直角坐标系 xOy 中，将曲线 1 2 2cos ,: 2sin xC y       （ 为参数）绕原点逆时针旋转 2  得到曲线 2C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 2C 的极坐标方程； （2）射线 6   分别与曲线 1C ， 2C 交于异于点O 的 A ， B 两点，求 AB . 【答案】（1） 4sin  ；（2） 2 3 2 ． 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知函数   1 2f x x x    . （1）求不等式   4f x  的解集； （2）若   4f x m m   对任意 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 5 3, ,2 2            ；（2）   , 1 0,4   .