2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷（理科）（4月份）

2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷（理科）（4月份）

‎2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷（理科）（4月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎ ‎ ‎1. 设集合A＝‎{x∈N|−1≤x≤3}‎，B＝‎{y|y＝x‎3‎, x∈R}‎，则A∩B＝（ ） ‎ A.‎{0, 1, 2, 3}‎ B.‎{1, 2, 3}‎ C.‎[1, 3]‎ D.‎‎{−1, 0, 3}‎ ‎ ‎ ‎2. 若复数z＝‎4−i，则z⋅z‎¯‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎15‎ B.‎16‎ C.‎17‎ D.‎‎18‎ ‎ ‎ ‎3. 总体由编号为‎01‎，‎02‎，…，‎49‎，‎50‎的‎50‎个个体组成，利用下面的随机数表选取‎6‎个个体，选取方法是从随机数表第‎6‎行的第‎9‎列和第‎10‎列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第‎4‎个个体的编号为（ ） 附：第‎6‎行至第‎9‎行的随机数表 ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ ‎3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732‎ ‎2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950‎ ‎ A.‎3‎ B.‎19‎ C.‎38‎ D.‎‎20‎ ‎ ‎ ‎4. 程序框图如图所示，若输出的y＝‎0‎，那么输入的x为（ ） ‎ A.‎−3‎或‎0‎ B.‎−3‎或‎−5‎ C.‎−5‎或‎0‎ D.‎−5‎或‎−3‎或‎0‎ ‎ ‎ ‎5. ‎1‎‎2‎‎2‎‎−1‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎‎−1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎−1‎+⋯+‎‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎的值为（ ） ‎ A.n+1‎‎2(n+2)‎ B.‎3‎‎4‎‎−‎n+1‎‎2(n+2)‎ C.‎3‎‎4‎‎−‎1‎‎2‎(‎1‎n+1‎+‎1‎n+2‎)‎ D.‎3‎‎2‎‎−‎1‎n+1‎+‎‎1‎n+2‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 双曲线x‎2‎‎4‎‎−y‎2‎=1‎的离心率等于（ ） ‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎5‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎7. 函数y=‎sinx+cosx‎|x|‎在区间‎[−2π, 2π]‎的图象大致是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题： ①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α； ②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB； ③若l⊄α，A∈l，则A≠α； ④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α与β重合． 其中，正确的有（ ） ‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 ‎ ‎ ‎9. ‎(1+2x‎2‎)(x−‎‎1‎x‎)‎‎6‎的展开式中，含x‎2‎的项的系数是（ ） ‎ A.‎−40‎ B.‎−25‎ C.‎25‎ D.‎‎55‎ ‎ ‎ ‎10. 设函数f(x)‎＝alnx+bx‎2‎(a>0, b>0)‎，若函数f(x)‎的图象在x＝‎1‎处的切线与直线x+y−2e＝‎0‎垂直，则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为（ ） ‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3−2‎‎2‎ D.‎‎3+2‎‎2‎ ‎ ‎ ‎11. 下列叙述中正确的是（ ） ①集合A＝‎{(x, y)|x+y＝5}‎，B＝‎{(x, y)|(x−1‎)‎‎2‎+y‎2‎＝9}‎，则A∩B＝‎⌀‎； ②若函数f(x)=‎‎4−xax‎2‎+x−3‎的定义域为R，则实数a<−‎‎1‎‎12‎； ③函数f(x)=‎‎9−‎x‎2‎‎|x−4|−4‎是偶函数； ④函数f(x)‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎＝x−xsin‎2‎x，x∈(−2π, 2π)‎有‎5‎个零点． ‎ A.①③ B.②④ C.②③④ D.①②④‎ ‎ ‎ ‎12. 已知函数f(x)‎＝sin(ωx+π‎6‎)+‎1‎‎2‎(ω>0)‎，点P，Q，R是直线y＝m(m>0)‎与函数f(x)‎的图象自左至右的某三个相邻交点，且‎2|PQ|‎＝‎|QR|=‎‎2π‎3‎，则ω+m＝（ ） ‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎2+‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎5+‎‎3‎‎2‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎ ‎ ‎ 已知向量a‎→‎‎=(−1, −2)‎，b‎→‎‎=(−3, m)‎，其中m∈R．若a‎→‎，b‎→‎共线，则‎|b‎→‎|‎＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在数列‎{an}‎中，a‎1‎＝‎1‎，an+1‎＝‎2+‎an，Sn为‎{an}‎前n项和，若Sn＝‎36‎，则n＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎9‎=1(a>0)‎的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若‎|MF|‎＝‎2|ON|‎＝‎4‎，则C的离心率为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在正四棱柱ABCD−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AB＝BC＝‎2‎，AA‎1‎＝‎3‎，点E在侧棱B‎1‎B上，且BE＝‎1‎．设三棱锥D‎1‎‎−DEC‎1‎的体积为V‎1‎，四棱锥E−ABCD的体积为V‎2‎，则V‎1‎V‎2‎的值为________‎3‎‎2‎ ． ‎ 三、解答题（共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．‎ ‎ ‎ ‎ 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是‎[0, 100]‎，样本数据分组为‎[0, 20)‎,‎[20, 40)‎,‎[40, 60)‎,‎[60, 80)‎,‎[80, 100]‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎求直方图中x的值； ‎(‎Ⅱ‎)‎如果上学所需时间在‎[60, 100]‎的学生可申请在学校住宿，请估计该校‎800‎名新生中有多少名学生可以申请住宿． ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2ccosB＝‎2a+b． ‎ ‎（1）求角C；‎ ‎ ‎ ‎（2）若‎△ABC的面积为S=‎3‎‎2‎c，求ab的最小值．‎ ‎ ‎ ‎ 如图‎1‎，在‎△MBC中，MA是BC边上的高，MA＝‎3‎，AC＝‎4‎．如图‎2‎，将‎△MBC沿MA进行翻折，使得二面角B−MA−C为‎90‎‎∘‎，再过点B作BD // AC，连接AD，CD，MD，且AD＝‎2‎‎3‎，‎∠CAD＝‎30‎‎∘‎． ‎ ‎（1）求证：CD⊥‎平面MAD；‎ ‎ ‎ ‎（2）在线段MD上取一点E使ME‎→‎MD‎→‎‎=‎‎1‎‎3‎，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎＝lnx−a(x+1)‎，a∈R在（‎1, f(1)‎）处的切线与x轴平行． ‎ ‎（1）求f(x)‎的单调区间；‎ ‎ ‎ ‎（2）若存在x‎0‎‎>1‎，当x∈(1, x‎0‎)‎时，恒有f(x)−x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x−1)‎成立，求k的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ 过点P(0, 2)‎的直线与抛物线C:‎x‎2‎＝‎4y相交于A，B两点． ‎ ‎（1）若AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎，且点A在第一象限，求直线AB的方程；‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎（2）若A，B在直线y＝‎−2‎上的射影分别为A‎1‎，B‎1‎，线段A‎1‎B‎1‎的中点为Q，求证：BQ // PA‎1‎．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα‎ ‎（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π‎6‎)=‎‎3‎． ‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎ ‎ ‎（2）求直线l与曲线C交点的极坐标‎(ρ>0, 0≤θ<2π)‎．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎＝‎|2x−2|+|x+3|‎． ‎ ‎（1）求不等式f(x)≥2x+5‎的解集；‎ ‎ ‎ ‎（2）若f(x)‎的最小值为k，且实数a，b，c满足a(b+c)‎＝k，求证：‎8a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎≥16‎．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 参考答案与试题解析 ‎2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷（理科）（4月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 交集及其运算 ‎【解析】‎ 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ A＝‎{0, 1, 2, 3}‎，B＝R， ∴ A∩B＝‎{0, 1, 2, 3}‎．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 复数的运算 ‎【解析】‎ 由已知求得z‎¯‎，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ z＝‎4−i， ∴ z⋅z‎¯‎=(4−i)(4+i)=16−(−1)=17‎．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 简单随机抽样 ‎【解析】‎ 根据用用随机数表法进行简单随机抽样的方法，得出结论．‎ ‎【解答】‎ 从随机数表第‎6‎行的第‎9‎列和第‎10‎列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于‎01‎至‎50‎中间，含端点， 则这四个数为：‎41‎、‎48‎、‎28‎，‎19‎，‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 程序框图 ‎【解析】‎ 根据程序框图知该程序运行后输出分段函数y，利用分类讨论法求出对应的x值．‎ ‎【解答】‎ 根据程序框图知，该程序运行后是输出y=x+3,x<0‎‎0,x=0‎x+5,x>0‎ ‎， 当x<0‎时，令y＝x+3‎＝‎0‎，解得x＝‎−3‎； 当x＝‎0‎时，y＝‎0‎，满足题意； 当x>0‎时，令y＝x+5‎＝‎0‎，解得x＝‎−5‎，不满足题意； 综上，若输出的y＝‎0‎，那么输入的x为‎−3‎或‎0‎．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 数列的求和 ‎【解析】‎ 由‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎‎=‎1‎n(n+2)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎n−‎1‎n+2‎)‎，运用裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．‎ ‎【解答】‎ ‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎‎=‎1‎n(n+2)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎n−‎1‎n+2‎)‎‎， 则‎1‎‎2‎‎2‎‎−1‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎‎−1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎−1‎+⋯+‎‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎ ‎=‎1‎‎2‎(1−‎1‎‎3‎+‎1‎‎2‎−‎1‎‎4‎+‎1‎‎3‎−‎1‎‎5‎+⋯+‎1‎n−1‎−‎1‎n+1‎+‎1‎n−‎1‎n+2‎)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1+‎1‎‎2‎−‎1‎n+1‎−‎1‎n+2‎)‎ ‎=‎3‎‎4‎−‎1‎‎2‎(‎1‎n+1‎+‎1‎n+2‎)‎．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 双曲线的离心率 ‎【解析】‎ 由双曲线x‎2‎‎4‎‎−y‎2‎=1‎可得a‎2‎＝‎4‎，b‎2‎＝‎1‎，可得a＝‎2‎，c=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎，利用离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】‎ 由双曲线x‎2‎‎4‎‎−y‎2‎=1‎可得a‎2‎＝‎4‎，b‎2‎＝‎1‎， ∴ a＝‎2‎，c=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎‎5‎． ∴ 双曲线的离心率e=ca=‎‎5‎‎2‎．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ C 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【考点】‎ 函数的图象与图象的变换 ‎【解析】‎ 求出函数f(x)‎的零点，由此即可得解．‎ ‎【解答】‎ f(x)=sinx+cosx‎|x|‎=‎‎2‎sin(x+π‎4‎)‎‎|x|‎‎，x∈[−2π, 2π]‎， 令f(x)‎＝‎0‎，解得x=‎‎3π‎4‎或x=−‎‎5π‎4‎， 由图观察可知，只有选项C符合题意，‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 平面的基本性质及推论 命题的真假判断与应用 ‎【解析】‎ 由平面的基本性质的公理‎1‎可判断①；由公理‎2‎判断②；由线面的位置关系可判断③；由平面基本性质的公理‎3‎可判断④．‎ ‎【解答】‎ α‎，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点， ①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α，由平面的基本性质的公理‎1‎，可得①正确； ②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB， 由平面的基本性质的公理‎2‎，可得②正确； ③若l⊄α，A∈l，则A∈α或A∉α，可得③不正确； ④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合， 由平面的基本性质的公理‎3‎，可得④正确． 其中正确的个数为‎3‎，‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 二项式定理及相关概念 ‎【解析】‎ 根据二项式展开式的通项公式求出‎(x−‎1‎x)‎‎2‎展开式中的常数项和含x‎2‎项，再求结果即可．‎ ‎【解答】‎ 二项式‎(x−‎1‎x)‎‎6‎的展开式中，通项公式为 Tr+1‎‎=C‎6‎r⋅x‎6−r⋅‎(−‎1‎x)‎r=C‎6‎r⋅(−1‎)‎r⋅‎x‎6−2r， 令‎6−2r＝‎0‎，解得r＝‎3‎，此时为C‎6‎‎3‎‎⋅(−1‎‎)‎‎3‎＝‎−20‎； 令‎6−2r＝‎2‎，解得r＝‎2‎，此时C‎6‎‎2‎‎⋅(−1‎)‎‎2‎⋅‎x‎2‎＝‎15‎x‎2‎； 所以展开式中含x‎2‎的项的系数是‎1×15+2×(−20)‎＝‎−25‎．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】‎ 求得f(x)‎的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a，b的关系式，再由基本不等式可得所求最小值．‎ ‎【解答】‎ 函数f(x)‎＝alnx+bx‎2‎的导数为f′(x)=ax+2bx， 可得函数f(x)‎的图象在x＝‎1‎处的切线斜率为a+2b， 由切线与直线x+y−2e＝‎0‎垂直，可得a+2b＝‎1‎，‎(a>0, b>0)‎， 则‎1‎a‎+‎1‎b=(a+2b)(‎1‎a+‎1‎b)‎＝‎1+2+ab+‎2ba≥3+2ab‎⋅‎‎2ba=3+2‎‎2‎， 当且仅当ab‎=‎‎2ba即a=‎2‎b=‎2‎−1‎时，取得等号， 则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为‎3+2‎‎2‎，‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 命题的真假判断与应用 ‎【解析】‎ ‎①直接利用直线与圆的位置关系的应用求出结果． ②利用二次函数的性质的应用求出结果． ③利用函数的定义域求出函数的奇偶性． ④利用函数的零点和方程的根求出结果．‎ ‎【解答】‎ ‎（3）当a<0‎时，‎△‎＝‎1+12a<0‎，解得a<−‎1‎‎12‎(1)‎则实数a<−‎‎1‎‎12‎，故②正确． ③函数f(x)=‎‎9−‎x‎2‎‎|x−4|−4‎满足‎9−x‎2‎≥0‎，解得：‎−3≤x≤3‎，且x≠0‎， 所以f(x)=‎9−‎x‎2‎‎|x−4|−4‎=‎‎9−‎x‎2‎‎−x是奇函数；故③错误． ④函数f(x)‎＝x−xsin‎2‎x，x∈(−2π, 2π)‎，当x=0,±π‎2‎,±‎‎3π‎2‎，函数f(x)‎＝‎0‎，即函数有‎5‎个零点．故④正确． 故选：B．‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 正弦函数的图象 ‎【解析】‎ 根据‎2|PQ|‎＝‎|QR|=‎‎2π‎3‎，得到周期T，然后计算ω，利用P，Q的对称性，求出P点的横坐标，代入求解即可．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【解答】‎ ‎∵ ‎2|PQ|‎＝‎|QR|=‎‎2π‎3‎， ∴ ‎|PQ|=‎π‎3‎，‎|QR|=‎‎2π‎3‎， 则T＝‎||PQ+|QR|=π‎3‎+‎2π‎3‎=π， 即‎2πω‎=π，即ω＝‎2‎， 即f(x)‎＝sin(2x+π‎6‎)+‎‎1‎‎2‎， ∵ ‎|PQ|=‎π‎3‎， ∴ x‎2‎‎−x‎1‎=‎π‎3‎， ‎2x‎1‎+π‎6‎+2x‎2‎+π‎6‎=π， 得x‎1‎＝‎0‎，此时m＝sin(2x‎1‎+π‎6‎)+‎1‎‎2‎=sinπ‎6‎+‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎=1‎． 即ω+m＝‎1+2‎＝‎3‎，‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎5‎ ‎【考点】‎ 平面向量共线（平行）的坐标表示 ‎【解析】‎ 根据平面向量的共线定理列方程求出m的值，再计算b‎→‎的模长．‎ ‎【解答】‎ 向量a‎→‎‎=(−1, −2)‎，b‎→‎‎=(−3, m)‎， 若a‎→‎，b‎→‎共线，则‎−1×m−(−2)×(−3)‎＝‎0‎， 解得m＝‎−6‎， 所以b‎→‎‎=(−3, −6)‎， 所以‎|b‎→‎|=‎(−3)‎‎2‎‎+(−6)‎‎2‎=3‎‎5‎．‎ ‎【答案】‎ ‎6‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 ‎【解析】‎ 推导出数列‎{an}‎是首项为‎1‎，公差为‎2‎的等差数列，由此能求出项数n．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 在数列‎{an}‎中，a‎1‎＝‎1‎，an+1‎＝‎2+‎an， ∴ 数列‎{an}‎是首项为‎1‎，公差为‎2‎的等差数列， Sn为‎{an}‎前n项和， ∴ Sn‎=n+n(n−1)‎‎2‎×2=‎n‎2‎， ∵ Sn＝‎36‎，∴ n‎2‎＝‎36‎， 解得n＝‎6‎．（舍负），‎ ‎【答案】‎ ‎7‎‎4‎ ‎【考点】‎ 椭圆的离心率 ‎【解析】‎ 由题意画出图形，由已知结合椭圆定义求得a，进一步求得c，则椭圆离心率可求．‎ ‎【解答】‎ 如图， 设椭圆C的左焦点为F′‎，由椭圆定义得‎|MF|+|MF′|‎＝‎2a， 即‎4+|MF′|‎＝‎2a，① ∵ O为F′F的中点，N为线段MF的中点， ∴ ‎|MF′|‎＝‎2|ON|‎＝‎4‎，代入①， 可得‎2a＝‎8‎，即a＝‎4‎． ∴ c=‎16−9‎=‎‎7‎， ∴ C的离心率为‎7‎‎4‎．‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎2‎‎． ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【考点】‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎【解析】‎ 先利用三棱锥与四棱锥的体积公式，转化求解即可；‎ ‎【解答】‎ 由题意可知几何体的直观图如图， 三棱锥D‎1‎‎−DEC‎1‎的体积为V‎1‎， 四棱锥E−ABCD的体积为V‎2‎，则V‎1‎V‎2‎‎=‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×2×3×2‎‎1‎‎3‎‎×2×2×1‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 三、解答题（共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）由直方图可得到‎20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20‎＝‎1‎． 所以x＝‎0.0125‎． （2）由直方图可知，新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的频率为‎0.003×2×20‎＝‎0.12‎． 所以估计全校新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的概率为‎0.12‎． 因为‎800×0.12‎＝‎96‎． 所以‎800‎名新生中估计有‎96‎名学生可以申请住宿．‎ ‎【考点】‎ 频率分布直方图 ‎【解析】‎ ‎（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为‎1‎求出x值． ‎(II)‎再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于‎1‎小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）由直方图可得到‎20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20‎＝‎1‎． 所以x＝‎0.0125‎． （2）由直方图可知，新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的频率为‎0.003×2×20‎＝‎0.12‎． 所以估计全校新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的概率为‎0.12‎． 因为‎800×0.12‎＝‎96‎． 所以‎800‎名新生中估计有‎96‎名学生可以申请住宿．‎ ‎【答案】‎ 由正弦定理可知：asinA‎=bsinB=csinC=2R，a＝‎2RsinA，b＝‎2RsinB，c＝‎2RsinC， 由‎2ccosB＝‎2a+b，则‎2sinCcosB＝‎2sin(B+C)+sinB， ∴ ‎2sinBcosC+sinB＝‎0‎， 由‎00‎，解得：‎01‎， 故f(x)‎在‎(0, 1)‎递增，在‎(1, +∞)‎递减；‎ 不等式f(x)−x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x−1)‎ 可化为lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎>k(x−1)‎， 令g(x)‎＝lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎−k(x−1)‎，‎(x>1)‎， g′(x)=‎‎−x‎2‎‎+(1−k)x+1‎x， ∵ x>1‎，令h(x)‎＝‎−x‎2‎+(1−k)x+1‎， h(x)‎的对称轴是x=‎‎1−k‎2‎， ①当‎1−k‎2‎‎≤1‎时，即k≥−1‎， 易知h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎上递减， ∴ h(x)0‎， ∴ 必存在x‎0‎使得x∈(1, x‎0‎)‎时，g′(x)>0‎， ∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增， ∴ g(x)>g(1)‎＝‎0‎恒成立，适合题意． ②当‎1−k‎2‎‎>1‎时，即k<−1‎， 易知必存在x‎0‎使得h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增， ∴ h(x)>h(1)‎＝‎1−k>0‎， ∴ g′(x)>0‎，∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增， ∴ g(x)>g(1)‎＝‎0‎恒成立，适合题意． 综上，k的取值范围是‎(−∞, 1)‎．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 ‎【解析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为可化为lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎>k(x−1)‎，令g(x)‎＝lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎−k(x−1)‎，‎(x>1)‎，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．‎ ‎【解答】‎ 由已知可得f(x)‎的定义域为‎(0, +∞)‎， ∵ f′(x)=‎1‎x−a，∴ f′(1)‎＝‎1−a＝‎0‎，解得：a＝‎1‎， ∴ f′(x)=‎‎1−xx， 令f′(x)>0‎，解得：‎01‎， 故f(x)‎在‎(0, 1)‎递增，在‎(1, +∞)‎递减；‎ 不等式f(x)−x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x−1)‎ 可化为lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎>k(x−1)‎， 令g(x)‎＝lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎−k(x−1)‎，‎(x>1)‎， g′(x)=‎‎−x‎2‎‎+(1−k)x+1‎x， ∵ x>1‎，令h(x)‎＝‎−x‎2‎+(1−k)x+1‎， h(x)‎的对称轴是x=‎‎1−k‎2‎， ①当‎1−k‎2‎‎≤1‎时，即k≥−1‎， 易知h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎上递减， ∴ h(x)0‎， ∴ 必存在x‎0‎使得x∈(1, x‎0‎)‎时，g′(x)>0‎， ∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增， ∴ g(x)>g(1)‎＝‎0‎恒成立，适合题意． ②当‎1−k‎2‎‎>1‎时，即k<−1‎， 易知必存在x‎0‎使得h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增， ∴ h(x)>h(1)‎＝‎1−k>0‎， ∴ g′(x)>0‎，∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增， ∴ g(x)>g(1)‎＝‎0‎恒成立，适合题意． 综上，k的取值范围是‎(−∞, 1)‎．‎ ‎【答案】‎ 由题意，设过点P(0, 2)‎的直线l的斜率为k，则l:y＝kx+2‎． 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎． ∵ AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎， ∴ 根据定比分点的知识，有 x‎1‎‎+2‎x‎2‎‎3‎‎=0‎，y‎1‎‎+2‎y‎2‎‎3‎‎=2‎， ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎＝‎0‎． 联立y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎， 消去y，整理得x‎2‎‎−4kx−8‎＝‎0‎． 解得x‎1‎＝‎2(k+k‎2‎‎+2‎)‎，x‎2‎＝‎2(k−k‎2‎‎+2‎)‎， ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎＝‎2(k+k‎2‎‎+2‎)+4(k−k‎2‎‎+2‎)‎＝‎0‎， 整理，得‎3k=k‎2‎‎+2‎>0‎， 解得k=‎‎1‎‎2‎． ∴ 直线AB的方程为y=‎1‎‎2‎x+2‎．‎ 证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得 y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎， 整理，得x‎2‎‎−4kx−8‎＝‎0‎． 则x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎4k，x‎1‎‎⋅‎x‎2‎＝‎−8‎． ∵ A‎1‎‎(x‎1‎, −2)‎，B‎1‎‎(x‎2‎, −2)‎．∴ Q(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎, −2)‎． ∴ BQ‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎, −2−y‎2‎)‎，PA‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎, −4)‎． ∵ ‎(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎)⋅(−4)−x‎1‎⋅(−2−y‎2‎)‎ ＝‎4⋅x‎2‎‎−‎x‎1‎‎2‎+x‎1‎⋅(y‎2‎+2)‎＝‎2x‎2‎−2x‎1‎+x‎1‎y‎2‎+2‎x‎1‎＝‎2x‎2‎+‎x‎1‎y‎2‎ ＝‎2x‎2‎+x‎1‎⋅x‎2‎‎2‎‎4‎=2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅x‎1‎⋅‎x‎2‎ ＝‎2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅(−8)‎＝‎0‎． ∴ BQ // PA‎1‎．‎ ‎【考点】‎ 抛物线的性质 ‎【解析】‎ 本题第（1）题由题意，设过点P(0, 2)‎的直线l的斜率为k，则l:y＝kx+2‎．然后由AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎，根据定比分点的知识，可得x‎1‎‎+2‎x‎2‎‎3‎‎=2‎，y‎1‎‎+2‎y‎2‎‎3‎‎=0‎．将y‎1‎＝kx‎1‎+2‎，y‎2‎＝kx‎2‎+2‎代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎4k，x‎1‎‎⋅‎x‎2‎＝‎−8‎．再根据题意写出∴ BQ‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎, −2−y‎2‎)‎，PA‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎, −4)‎．再根据平行向量的坐标公式x‎1‎y‎2‎‎−‎x‎2‎y‎1‎＝‎‎0‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 进行代入计算即可证明BQ // PA‎1‎．‎ ‎【解答】‎ 由题意，设过点P(0, 2)‎的直线l的斜率为k，则l:y＝kx+2‎． 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎． ∵ AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎， ∴ 根据定比分点的知识，有 x‎1‎‎+2‎x‎2‎‎3‎‎=0‎，y‎1‎‎+2‎y‎2‎‎3‎‎=2‎， ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎＝‎0‎． 联立y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎， 消去y，整理得x‎2‎‎−4kx−8‎＝‎0‎． 解得x‎1‎＝‎2(k+k‎2‎‎+2‎)‎，x‎2‎＝‎2(k−k‎2‎‎+2‎)‎， ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎＝‎2(k+k‎2‎‎+2‎)+4(k−k‎2‎‎+2‎)‎＝‎0‎， 整理，得‎3k=k‎2‎‎+2‎>0‎， 解得k=‎‎1‎‎2‎． ∴ 直线AB的方程为y=‎1‎‎2‎x+2‎．‎ 证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得 y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎， 整理，得x‎2‎‎−4kx−8‎＝‎0‎． 则x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎4k，x‎1‎‎⋅‎x‎2‎＝‎−8‎． ∵ A‎1‎‎(x‎1‎, −2)‎，B‎1‎‎(x‎2‎, −2)‎．∴ Q(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎, −2)‎． ∴ BQ‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎, −2−y‎2‎)‎，PA‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎, −4)‎． ∵ ‎(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎)⋅(−4)−x‎1‎⋅(−2−y‎2‎)‎ ＝‎4⋅x‎2‎‎−‎x‎1‎‎2‎+x‎1‎⋅(y‎2‎+2)‎＝‎2x‎2‎−2x‎1‎+x‎1‎y‎2‎+2‎x‎1‎＝‎2x‎2‎+‎x‎1‎y‎2‎ ＝‎2x‎2‎+x‎1‎⋅x‎2‎‎2‎‎4‎=2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅x‎1‎⋅‎x‎2‎ ＝‎2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅(−8)‎＝‎0‎． ∴ BQ // PA‎1‎．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎【答案】‎ 曲线C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα‎ ‎（α为参数），转换为普通方程为‎(x−2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎＝‎4‎． 直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π‎6‎)=‎‎3‎．根据x=ρcosθy=ρsinθ‎ ‎转换为‎3‎‎2‎ρcosθ−‎1‎‎2‎ρsinθ=‎‎3‎，整理得‎3‎x−y−2‎3‎=0‎．‎ 根据（1）整理得‎(x−2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎‎3‎x−y−2‎3‎=0‎‎ ‎，解得x=3‎y=‎‎3‎‎ ‎或x=1‎y=−‎‎3‎‎ ‎，转换为极坐标为‎(2‎3‎,π‎6‎)‎或‎(2, ‎4π‎3‎)‎．‎ ‎【考点】‎ 圆的极坐标方程 参数方程与普通方程的互化 ‎【解析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程转换为普通方程，进一步转换为极坐标方程． （2）利用直线和圆的位置关系的应用求出交点的坐标，最后转换为极坐标．‎ ‎【解答】‎ 曲线C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα‎ ‎（α为参数），转换为普通方程为‎(x−2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎＝‎4‎． 直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π‎6‎)=‎‎3‎．根据x=ρcosθy=ρsinθ‎ ‎转换为‎3‎‎2‎ρcosθ−‎1‎‎2‎ρsinθ=‎‎3‎，整理得‎3‎x−y−2‎3‎=0‎．‎ 根据（1）整理得‎(x−2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎‎3‎x−y−2‎3‎=0‎‎ ‎，解得x=3‎y=‎‎3‎‎ ‎或x=1‎y=−‎‎3‎‎ ‎，转换为极坐标为‎(2‎3‎,π‎6‎)‎或‎(2, ‎4π‎3‎)‎．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎【答案】‎ f(x)‎‎＝‎|2x−2|+|x+3|=‎3x+1,‎x>1‎‎−x+5,‎‎−3≤x≤1‎‎−3x−1,‎x<−3‎ ‎， ∵ f(x)≥2x+5‎，∴ ‎3x+1≥2x+5‎x>1‎‎ ‎或‎−x+5≥2x+5‎‎−3≤x≤1‎‎ ‎或‎−3x−1≥2x+5‎x<−3‎‎ ‎， ∴ x⩾‎4‎或‎−3‎⩽x⩽‎0‎或x<−3‎， ∴ x⩽‎0‎或x⩾‎4‎， ∴ 不等式的解集为‎{x|x≤0或x≥4}‎．‎ 证明：由 （1）知，f(x‎)‎min＝k＝‎4‎， ∴ a(b+c)‎＝k＝‎4‎，∴ ab+ac＝‎4‎， ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎＝‎(a‎2‎+b‎2‎)+(a‎2‎+c‎2‎)‎⩾‎2ab+2ac＝‎8‎， 当且仅当 a=b=c=±‎‎2‎ 时取等号， ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎⩾‎8‎．‎ ‎【考点】‎ 绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 ‎【解析】‎ ‎（1）将f(x)‎写为分段函数的形式，然后根据f(x)≥2x+5‎，利用零点分段法解不等式即可； （2）先根据（1）得到f(x)‎的最小值k，然后利用重要不等式得到‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎⩾‎2ab+2ac，进一步证明‎8a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎≥16‎成立．‎ ‎【解答】‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 f(x)‎‎＝‎|2x−2|+|x+3|=‎3x+1,x>1‎‎−x+5,−3≤x≤1‎‎−3x−1,x<−3‎ ‎， ∵ f(x)≥2x+5‎，∴ ‎3x+1≥2x+5‎x>1‎‎ ‎或‎−x+5≥2x+5‎‎−3≤x≤1‎‎ ‎或‎−3x−1≥2x+5‎x<−3‎‎ ‎， ∴ x⩾‎4‎或‎−3‎⩽x⩽‎0‎或x<−3‎， ∴ x⩽‎0‎或x⩾‎4‎， ∴ 不等式的解集为‎{x|x≤0或x≥4}‎．‎ 证明：由 （1）知，f(x‎)‎min＝k＝‎4‎， ∴ a(b+c)‎＝k＝‎4‎，∴ ab+ac＝‎4‎， ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎＝‎(a‎2‎+b‎2‎)+(a‎2‎+c‎2‎)‎⩾‎2ab+2ac＝‎8‎， 当且仅当 a=b=c=±‎‎2‎ 时取等号， ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎⩾‎8‎．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页