【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、数学归纳法学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、数学归纳法学案

推理与证明、数学归纳法 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.‎ ‎2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ ‎4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.‎ ‎5.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.‎ ‎6.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ ‎【知识网络】‎ 推 理 与 证 明 归纳 推 理 证 明 合情推理 演绎推理 数学归纳法 综合法 分析法 直接证明 类比 间接证明 反证法 ‎【考点梳理】‎ 推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】‎ 考点一:合情推理与演绎推理 ‎1.推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论.‎ ‎2.合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理称为合情推理.‎ 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类:‎ ‎(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理,归纳推理简称归纳.‎ ‎(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理简称类比.‎ ‎3.演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.‎ 三段论是演绎推理的一般模式,它包括:‎ ‎(1)大前提——已知的一般原理;‎ ‎(2)小前提——所研究的特殊情况;‎ ‎(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.‎ 要点诠释:‎ 合情推理与演绎推理的区别与联系 ‎(1)从推理模式看:‎ ‎①归纳推理是由特殊到一般的推理.‎ ‎②类比推理是由特殊到特殊的推理.‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理.‎ ‎(2)从推理的结论看:‎ ‎①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。‎ ‎②演绎推理所得的结论一定正确。‎ ‎(3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的;演绎推理可以验证合情推理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.‎ 考点二:直接证明与间接证明 ‎1.综合法 ‎(1)定义:综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因索果的证明方法,又叫顺推法.‎ ‎(2)综合法的思维框图:‎ 用表示已知条件,为定义、定理、公理等,表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:‎ ‎.........‎ ‎ 2.分析法 ‎(1) 定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件,定理,定义,公理)为止.这种证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推法或执果索因法.‎ ‎(2)分析法的思维框图:‎ ‎.........得到一个明显成立的条件.‎ ‎3.反证法 ‎ ‎(1)定义:假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫反证法.反证法是一种间接证明的方法.‎ ‎(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤:‎ ‎ ①分清命题的条件和结论.‎ ‎ ②做出与命题结论相矛盾的假设.‎ ‎ ③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.‎ ‎ ④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真.‎ 考点三:数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤:‎ ‎(1)证明当取第一个值时结论正确;‎ ‎(2)假设当时结论正确,证明时结论也正确,‎ 由(1)(2)确定对时结论都正确。‎ 要点诠释:‎ ‎1.在证明过程中 证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立;‎ 证明了第二步,就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论;‎ ‎2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取:‎ 初始值就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同,初始值不一定从开始。如,证明不等式,初始值应从开始.‎ 必须把要把归纳假设用上一次或者多次:‎ 在由假设时命题成立,证明时命题也成立,必须把要把归纳假设用上一次或者多次。必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来推导出“时命题也成立”是第二步的关键,只有通过归纳假设的使用,才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况,保证了命题的传递性。此处变形的方法较多,要在不同题型中逐步去体会,如证明整除问题、几何问题等。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:合情推理与演绎推理 例1.平面内的1条直线把平面分成2部分,2条相交直线把平面分成4部分,3条相交但不共点的直线把平面分成7部分,n条彼此相交而无三条共点的直线,把平面分成多少部分?‎ ‎【思路点拨】‎ 可通过画当直线条数n为3,4,5时,分别计算出它们将平面分成的区域数,从中发现规律,再归纳出结论.‎ ‎【解析】设平面被n条直线分成部分,则:‎ 当n=1时,S1=1+1=2;‎ 当n=2时,S2=1+1+2=4;‎ 当n=3时,S3=1+1+2+3=7;‎ 当n=4时,S4=1+1+2+3+4=11.‎ 据此猜想,得.‎ ‎【总结升华】本题是由部分到整体的推理,先把部分的情况都写出来,然后寻找规律,概括出整体的情况,是典型的归纳推理.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】平面中有n个圆,每两个圆都相交于两点,每三个圆都无公共点,它们将平面分成块区域,有,,,……,则的表达式是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式2】在数列中,a1=1,且,计算a2,a3,a4,并猜想的表达式.‎ ‎【解析】,,,‎ 猜想:.‎ 例2.证明函数在内是增函数.‎ ‎【思路点拨】证明本题所依据的大前提是:在某个区间(a, b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增.小前提是的导数在区间内满足,这是证明本例的关键.‎ ‎【证明】. ‎ 当时,有,‎ 所以. ‎ 所以在内是增函数.‎ ‎【总结升华】演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】有这样一段演绎推理:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为( ) ‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ‎ ‎【答案】C ‎【变式2】函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . ‎ ‎【解析】∵函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,‎ 由0<x+2<2得-2<x<0‎ ‎∴函数y=f(x+2) 在(-2,0)上是增函数,‎ 又∵函数y=f(x+2)是偶函数,‎ ‎∴函数y=f(x+2) 在(0,2)上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5).‎ 类型二:直接证明与间接证明 例3(2015春 静宁县校级期中)已知,(其中e是自然对数的底数),求证:‎ ‎【思路点拨】直接利用分析法的证明步骤,结合函数单调性证明即可.‎ ‎【证明】‎ 要证 只需证,只需证:‎ 取函数则 当时,‎ 函数在上单调递减 当时,有即得证.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】(2014春 亭湖区校级期中)在三棱锥A-BCD中,E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.‎ (1) 求证:四边形EFGH是平行四边形 (2) 若AC=BD,求证:四边形EFGH为菱形.‎ ‎【证明】(1)E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.‎ 四边形EFGH为平行四边形.‎ (2) 若AC=BD,则EF=EH 平行四边形EFGH为菱形.‎ ‎【变式2】已知a,b,c∈R,求证:.‎ ‎【证明】∵a2+b2≥2ab ,∴2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2‎ ‎ 即,两边开方得 ‎ 同理可得, ‎ ‎ 三式相加得:‎ 例4.已知a3+b3=2,求证:a+b≤2.‎ ‎【思路分析】根据已知条件a3+b3,想到立方和公式。‎ ‎【证明】假设a+b>2,则b>2-a,‎ ‎∴b3>(2-a)3‎ ‎∴ a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥2,‎ 与已知矛盾,‎ ‎∴a+b≤2‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】设二次函数中的、、均为奇数,‎ 求证:方程无整数根.‎ ‎【证明】假设方程 有整数根,则成立,‎ 所以.‎ 因为为奇数,所以也为奇数,且与都必须为奇数.‎ 因为已知、为奇数,又为奇数,‎ 所以为偶数,这与为奇数矛盾,‎ 所以假设不成立,原命题成立.‎ 推理与证明、数学归纳法407426 例5】‎ 例5.若都为实数,且,,,‎ 求证:中至少有一个大于0.‎ ‎【思路分析】“中至少有一个大于0”的反面是“都不大于0”。‎ ‎【证明】假设都不大于0,则,,,‎ 所以 又 ‎.‎ 因为,,,,‎ 所以,‎ 所以,这与矛盾,‎ 所以假设不成立,原命题成立.‎ ‎【总结升华】正确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提,要注意一些常用的“结论否定形式”,另外,需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况,也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立,才能保证原来的结论一定成立.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】设函数在内都有,且恒成立,‎ 求证:对任意都有.‎ ‎【证明】假设“对任意都有”不成立,则,有成立,‎ ‎∵,∴‎ 又∵‎ 这与矛盾,‎ 所以假设不成立,原命题成立.‎ 类型三:数学归纳法 例6.用数学归纳法证明等式 ‎ ‎ 对所有均成立.‎ ‎【思路点拨】在利用归纳假设论证等式成立时,注意分析与的两个等式的差别.时,等式左边增加两项,右边增加一项,而且右式的首项由变为.因此在证明中,右式中的应与-合并,才能得到所证式.所以,在论证之前,把时等式的左右两边的结构先作一分析.‎ ‎【证明】(1)当时,左式=,右式=, ‎ ‎∴左式=右式,等式成立.‎ ‎(2)假设当()时等式成立,‎ 即,‎ 则当时,‎ 即时,等式也成立,‎ 由(1)(2)可知,等式对均成立.‎ ‎【总结升华】‎ ‎①数学归纳法的第二步是递推的“依据”,是论证过程的关键,在论证时必须用到时的假设结论,然后通过恰当的推理和计算来证明时命题也成立.‎ ‎②数学归纳法的证明过程中,要把握好两个关键之处:一是与的关系;二是与的关系.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】在数列中,,当时,且设 ‎,证明:数列的各项均为3的倍数.‎ ‎【解析】(1) ∵,∴,,∴‎ ‎∴当时,为3的倍数,命题成立.‎ ‎(2)假设当 ()时命题成立,即为3的倍数,‎ 则当时,‎ 由假设知:为3的倍数,又因为为3的倍数 所以为3的倍数,‎ 即当时,等式成立.‎ 由(1)(2)可知,数列的各项均为3的倍数对均成立.‎ ‎例7.已知数列的各项均为正数,其前n项和为,且对于所有的非零自然数n, 与2的等差中项等于与2的正的等比中项.‎ ‎(1)写出的前三项; ‎ ‎(2)求的通项公式;‎ ‎(3)令,求.‎ ‎【思路点拨】归纳-猜想-证明的方法.根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然后归纳出其中的规律,写出其通项.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由已知得:,‎ ‎ 当时,,解得;‎ ‎ 当时,即,解得;‎ 当时,,解得.‎ ‎(2)方法一:,‎ ‎ ∴ ,‎ 又,‎ ‎∴,‎ 整理得 ‎∵,即 ‎ ‎∴(),又,‎ ‎∴是首项为2,公差为4的等差数列,‎ 故.‎ 方法二:由(1)猜想: ()‎ 下面用数学归纳法证明 ①当时已成立 ②假设时,命题成立.即成立 ‎ 当时,‎ ‎∵, 又, ,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵的各项均为正数 ‎∴‎ 即n=k+1时,结论也成立.‎ 由①,②可知,对一切,.‎ ‎(3)‎ ‎ ∴ .‎ ‎【总结升华】‎ ‎①归纳推理所得到的结论有可能正确,也有可能错误,它的正确性需要严格的证明.因此在具体问题中,常常用归纳推理去猜测发现结论,而利用演绎推理去验证或证明发现的结论.这也是数学发现的一条重要途径.‎ ‎②本题考察了与之间的关系;本题既可以用数学归纳法,还可用递推关系.在利用归纳假设进行论证这一步中,应利用去求Sk,而不是利用求和.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】已知,又数列的前n项和满足, .‎ ‎ (1) 求数列的前n项和及通项;‎ ‎ (2) 若,试比较与;与;与的大小,猜测与()的大小关系并加以证明;‎ ‎【解析】(1)由, 可求得:,‎ ‎ ∴,‎ ‎∴为等差数列,且首项,公差 ‎∴,即,‎ ‎∴当时,,‎ 当时,,‎ ‎ ∴.‎ ‎(2);, ;‎ ‎ , ∴.‎ ‎ 猜测:.‎ ‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①验证,时成立.‎ ‎ ②假设n=k时,成立.‎ ‎ 即成立,等价于.‎ ‎ 则当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 即时,成立.‎ ‎ 由①,②可得对任意成立.‎ ‎ 【变式2】已知等差数列的前10项的和,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若从数列中依次取出第2项,第4项,第8项,……,第项,……,按原来的顺序排成一个新的数列,试求此新数列的前n项的和;‎ ‎ (3)设,试比较与的大小并说明理由.‎ ‎【解析】(1)设等差数列的公差为,‎ 则,解得 ‎∴‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎∴‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 由此猜测:时,时 下面用数学归纳法证明:时 ‎①当时,可以验证结论成立,‎ ‎②假设时,结论成立,‎ 即 则时,‎ ‎∵且 又 ∴即 ‎∴即时猜想成立 由(1)(2)可知:时成立.‎ 综上所述,时,时.‎
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