【数学】2018届一轮复习人教A版二项式定理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版二项式定理学案

‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝________________________________________(n∈N*)‎ 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝________________，它表示第________项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)C＝________，C＝________.‎ C＝________________.‎ ‎(2)C＝________________.‎ ‎(3)n是偶数时，________________项的二项式系数最大；n是奇数时，________与________项的二项式系数相等且最大．‎ ‎(4)C＋C＋C＋…＋C＝________.‎ ‎【知识拓展】‎ 二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为________．‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从________，C，一直到C，________.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　　)‎ ‎(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ ‎1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A．C B．C C．C D．(－1)m－1C ‎2．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A．－15x4 B．15x4‎ C．－20ix4 D．20ix4‎ ‎3．(2016·云南部分名校1月统一考试)已知，那么n展开式中含x2项的系数为(　　)‎ A．130 B．135 C．121 D．139‎ ‎4．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．‎ 题型一　二项展开式 命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 例1　(1)(2016·全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是____________．(用数字填写答案)‎ ‎(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数 例2　(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a ‎＝____________.‎ ‎(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.‎ 思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．‎ ‎　(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)‎ 题型二　二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3　在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．‎ 思维升华　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎　(1)(2016·北京海淀区模拟)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则＋＋…＋的结果是多少？‎ 题型三　二项式定理的应用 例4　(1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(　　)‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ ‎(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)‎ 思维升华　(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．‎ ‎(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．‎ ‎　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－87 D．87‎ ‎(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值．‎ ‎15．二项展开式的系数与二项式系数 典例　(1)(2016·河北武邑中学期末)若(－)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为________．‎ ‎(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.‎ 错解展示 解析　(1)(＋)n展开式中，令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5，‎ ‎∴(－)n展开式的通项Tk＋1＝(－3)k·C·，‎ 令＝1，得k＝1.‎ 故展开式中含x项的系数为C＝5.‎ ‎(2)a1＋a2＋…＋a7＝C＋C＋…＋C＝27－1.‎ 答案　(1)5　(2)27－1‎ 现场纠错：　‎ 纠错心得：　‎ ‎　‎ ‎　‎ 提醒：完成作业　第十章　§10.3‎ 答案精析 基础知识　自主学习 知识梳理 ‎1．Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　Can－kbk　k＋1‎ ‎2．(1)1　1　C＋C　(2)C ‎(3)T＋1　T　T＋1　(4)2n 知识拓展 ‎(1)n＋1　(3)降幂　升幂　(4)C　C 思考辨析 ‎(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ 考点自测 ‎1．D　2.A　3.B　4.7‎ 题型分类　深度剖析 例1　(1)10　(2)C 例2　(1)3　(2)－2‎ 跟踪训练1　(1)－20　(2) 例3　解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)‎ 各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.‎ 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎∴奇数项系数和为；‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.‎ 跟踪训练2　(1)B　[由题意得a＝C，‎ b＝C，‎ ‎∴13C＝7C，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝13，解得m＝6，‎ 经检验符合题意，故选B.]‎ ‎(2)解　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.‎ 当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，‎ ‎∴0＝1＋＋＋…＋.‎ 即＋＋…＋＝－1.‎ 例4　(1)D　(2)1.172‎ 解析　(1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.‎ ‎(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.‎ 跟踪训练3　(1)B　[1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.]‎ ‎(2)解　原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，‎ 显然正整数a的最小值为4.‎ 现场纠错系列 现场纠错 ‎(1)－15　(2)1‎ 解析　(1)在(＋)n的展开式中，令x＝1，‎ 可得(－)n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5.‎ 故(－)5展开式的通项为Tk＋1＝(－3)k·C·，‎ 令＝1，得k＝1，‎ 故展开式中含x项的系数为－15.‎ ‎(2)∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，‎ 令x＝0，∴a0＝(－m)7.‎ 又∵展开式中x4的系数是－35，‎ ‎∴C·(－m)3＝－35，‎ ‎∴m＝1.∴a0＝(－m)7＝－1.‎ 在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，‎ 令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，‎ 即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.‎ 纠错心得　和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．‎