【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x ＋cos2x＝1，sinx cosx ＝tanx. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解 决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到 化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进 行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为 选择题和填空题，低档难度. 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sinα cosα ＝tanα(α≠π 2 ＋kπ，k∈ )． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈ ) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号 看象限 知识拓展 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名 称的变化． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若α∈R，则 tanα＝sinα cosα 恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝1 3(k∈ )，则 sinα＝1 3.( × ) 题组二 教材改编 2．[P19 例 6]若 sinα＝ 5 5 ，π 2<α<π，则 tanα＝. 答案 －1 2 解析 ∵π 2<α<π， ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 ， ∴tanα＝sinα cosα ＝－1 2. 3．[P22B 组 T3]已知 tanα＝2，则sinα＋cosα sinα－cosα 的值为． 答案 3 解析 原式＝tanα＋1 tanα－1 ＝2＋1 2－1 ＝3. 4．[P28T7]化简 cos α－π 2 sin 5 2π＋α ·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为． 答案 －sin2α 解析 原式＝sinα cosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α. 题组三 易错自纠 5．设 tanα＝ 3 3 ，π<α<3π 2 ，则 sinα－cosα的值为( ) A．－1 2 ＋ 3 2 B．－1 2 － 3 2 C.1 2 ＋ 3 2 D.1 2 － 3 2 答案 A 解析 ∵tanα＝ 3 3 ，π<α<3π 2 ， ∴sinα＝－1 2 ，cosα＝－ 3 2 ， ∴sinα－cosα＝－1 2 － － 3 2 ＝ 3 2 －1 2. 6．已知 sin(π－α)＝log8 1 4 ，且α∈ －π 2 ，0 ，则 tan(2π－α)的值为( ) A．－2 5 5 B.2 5 5 C．±2 5 5 D. 5 2 答案 B 解析 sin(π－α)＝sinα＝log8 1 4 ＝－2 3 ， 又α∈ －π 2 ，0 ，得 cosα＝ 1－sin2α＝ 5 3 ， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinα cosα ＝2 5 5 . 7．(2018·聊城模拟)已知函数 f(x)＝ 2cos π 3x，x≤2000， x－18，x>2000， 则 f(f(2018))＝. 答案 －1 解析 ∵f(f(2018))＝f(2018－18)＝f(2000)， ∴f(2000)＝2cos2000π 3 ＝2cos2π 3 ＝－1. 题型一 同角三角函数关系式的应用 1．(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sinα＝－12 13 ，则 tanα等于( ) A．－ 5 13B. 5 13 C．－12 5 D.12 5 答案 C 解析 因为α是第四象限角，sinα＝－12 13 ， 所以 cosα＝ 1－sin2α＝ 5 13 ， 故 tanα＝sinα cosα ＝－12 5 . 2．(2017·安徽江南十校联考)已知 tanα＝－3 4 ，则 sinα·(sinα－cosα)等于( ) A.21 25B.25 21 C.4 5D.5 4 答案 A 解析 sinα·(sinα－cosα)＝sin2α－sinα·cosα ＝sin2α－sinα·cosα sin2α＋cos2α ＝tan2α－tanα tan2α＋1 ，将 tanα＝－3 4 代入，得原式＝ 2 2 3 3 4 4 3 14                  ＝21 25. 3．已知 sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，则 tanα等于( ) A．－1 B．－ 2 2 C. 2 2 D．1 答案 A 解析 由 sinα－cosα＝ 2， sin2α＋cos2α＝1， 消去 sinα得 2cos2α＋2 2cosα＋1＝0， 即( 2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－ 2 2 . 又α∈(0，π)，∴α＝3π 4 ， ∴tanα＝tan3π 4 ＝－1. 思维升华 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确 定符号；利用sinα cosα ＝tanα可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子， 利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 题型二 诱导公式的应用 典例(1)已知角α的终边上一点的坐标为 sin 5π 6 ，cos 5π 6 ，则角α的最小正值为( ) A.5π 6 B.5π 3 C.11π 6 D.2π 3 答案 B 解析 ∵sin5π 6 ＝1 2 ，cos5π 6 ＝－ 3 2 ， 该点坐标为 1 2 ，－ 3 2 ，∴α＝5π 3 ＋2kπ(k∈ )． ∴当 k＝0 时，α有最小正值5π 3 . (2)已知 cos π 6 －θ ＝a，则 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ 的值是． 答案 0 解析 ∵cos 5π 6 ＋θ ＝－cos π－ 5π 6 ＋θ ＝－a， sin 2π 3 －θ ＝sin π 2 ＋ π 6 －θ ＝a， ∴cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ ＝－a＋a＝0. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含 2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算． 跟踪训练(1)(2017·南昌模拟)化简： sinα＋πcosπ－αsin 5π 2 －α tan－αcos3－α－2π ＝. 答案 －1 解析 原式＝－sinα·－cosα·cosα －tanα·cos3α ＝－1. (2)已知角α终边上一点 P(－4,3)，则 cos π 2 ＋α ·sin－π－α cos 11π 2 －α ·sin 9π 2 ＋α 的值为． 答案 －3 4 解析 原式＝－sinαsinα －sinαcosα ＝tanα， 根据三角函数的定义得 tanα＝－3 4. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 典例(1)(2017·福建四地六校联考)已知α为锐角，且 2tan(π－α)－3cos π 2 ＋β ＋5＝0，tan(π＋α) ＋6sin(π＋β)－1＝0，则 sinα的值是( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案 C 解析 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得 tanα＝3，又α为锐角，故 sinα＝3 10 10 . (2)已知－π0，∴sinx－cosx<0， 故 sinx－cosx＝－7 5. ②sin2x＋2sin2x 1－tanx ＝2sinxcosx＋sinx 1－sinx cosx ＝2sinxcosxcosx＋sinx cosx－sinx ＝ －24 25 ×1 5 7 5 ＝－ 24 175. 引申探究 本例(2)中若将条件“－π0，cosx<0， ∴sinx－cosx>0，故 sinx－cosx＝7 5. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． 跟踪训练(1)(2017·三明模拟)若sinπ－θ＋cosθ－2π sinθ＋cosπ＋θ ＝1 2 ，则 tanθ等于( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案 D 解析 由已知sinθ＋cosθ sinθ－cosθ ＝1 2 ，∴tanθ＋1 tanθ－1 ＝1 2 ， 故 tanθ＝－3. (2)(2017·西安模拟)已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2017)的值为 ( ) A．－1B．1 C．3D．－3 答案 D 解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asinα＋bcosβ＝3， ∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asinα－bcosβ ＝－3. 分类讨论思想在三角函数中的应用 典例 (1)已知 A＝sinkπ＋α sinα ＋coskπ＋α cosα (k∈ )，则 A 的值构成的集合是( ) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} (2)已知 sinα＝2 5 5 ，则 tan(α＋π)＋ sin 5π 2 ＋α cos 5π 2 －α ＝. 思想方法指导(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方 结果进行讨论． (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论． 解析 (1)当 k 为偶数时，A＝sinα sinα ＋cosα cosα ＝2； 当 k 为奇数时，A＝－sinα sinα －cosα cosα ＝－2. 所以 A 的值构成的集合是{2，－2}． (2)∵sinα＝2 5 5 ＞0， ∴α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋ sin 5π 2 ＋α cos 5π 2 －α ＝tanα＋cosα sinα ＝sinα cosα ＋cosα sinα ＝ 1 sinαcosα. ①当α是第一象限角时，cosα＝ 1－sin2α＝ 5 5 ， 原式＝ 1 sinαcosα ＝5 2 ； ②当α是第二象限角时，cosα＝－ 1－sin2α＝－ 5 5 ， 原式＝ 1 sinαcosα ＝－5 2. 综合①②知，原式＝5 2 或－5 2. 答案 (1)C (2)5 2 或－5 2 1．已知 sin(π＋α)＝1 2 ，则 cosα的值为( ) A．±1 2 B.1 2 C. 3 2 D．± 3 2 答案 D 解析 ∵sin(π＋α)＝－sinα＝1 2 ， ∴sinα＝－1 2 ，cosα＝± 1－sin2α＝± 3 2 . 2．已知 sinα＝ 5 5 ，则 sin4α－cos4α的值为( ) A．－1 5 B．－3 5 C.1 5 D.3 5 答案 B 解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1 ＝2 5 －1＝－3 5. 3．已知 tanα＝1 2 ，且α∈ π，3π 2 ，则 sinα等于( ) A．－ 5 5 B. 5 5 C.2 5 5 D．－2 5 5 答案 A 解析 ∵tanα＝1 2>0，且α∈ π，3π 2 ， ∴sinα<0， ∴sin2α＝ sin2α sin2α＋cos2α ＝ tan2α tan2α＋1 ＝ 1 4 1 4 ＋1 ＝1 5 ， ∴sinα＝－ 5 5 . 4．若θ∈ π 2 ，π ，则 1－2sinπ＋θsin 3π 2 －θ 等于( ) A．sinθ－cosθ B．cosθ－sinθ C．±(sinθ－cosθ) D．sinθ＋cosθ 答案 A 解析 因为 1－2sinπ＋θsin 3π 2 －θ ＝ 1－2sinθcosθ＝ sinθ－cosθ2 ＝|sinθ－cosθ|， 又θ∈ π 2 ，π ，所以 sinθ－cosθ>0， 所以原式＝sinθ－cosθ.故选 A. 5．(2017·广州二测)cos π 12 －θ ＝1 3 ，则 sin 5π 12 ＋θ 等于( ) A.1 3 B.2 2 3 C．－1 3 D．－2 2 3 答案 A 解析 sin 5π 12 ＋θ ＝sin π 2 － π 12 －θ ＝cos π 12 －θ ＝1 3. 6．(2017·孝感模拟)已知 tanα＝3，则1＋2sinαcosα sin2α－cos2α 的值是( ) A.1 2B．2 C．－1 2D．－2 答案 B 解析 原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα sin2α－cos2α ＝tan2α＋2tanα＋1 tan2α－1 ＝9＋6＋1 9－1 ＝2. 7．若 sin(π－α)＝－2sin π 2 ＋α ，则 sinα·cosα的值等于( ) A．－2 5 B．－1 5 C.2 5 或－2 5 D.2 5 答案 A 解析 由 sin(π－α)＝－2sin π 2 ＋α ， 可得 sinα＝－2cosα， 则 tanα＝－2， sinα·cosα＝ sinα·cosα sin2α＋cos2α ＝ tanα 1＋tan2α ＝－2 5. 8．若角α的终边落在第三象限，则 cosα 1－sin2α ＋ 2sinα 1－cos2α 的值为( ) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限， 得 sinα＜0，cosα＜0， 故原式＝ cosα |cosα| ＋2sinα |sinα| ＝ cosα －cosα ＋ 2sinα －sinα ＝－1－2 ＝－3. 9．在△ABC 中，若 tanA＝ 2 3 ，则 sinA＝. 答案 22 11 解析 因为 tanA＝ 2 3 >0，所以 A 为锐角， 由 tanA＝sinA cosA ＝ 2 3 以及 sin2A＋cos2A＝1， 可求得 sinA＝ 22 11 . 10．已知α为钝角，sin π 4 ＋α ＝3 4 ，则 sin π 4 －α ＝. 答案 － 7 4 解析 因为α为钝角，所以 cos π 4 ＋α ＝－ 7 4 ， 所以 sin π 4 －α ＝cos π 2 － π 4 －α ＝cos π 4 ＋α ＝－ 7 4 . 11．若 f(cosx)＝cos2x，则 f(sin15°)＝. 答案 － 3 2 解析 f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150° ＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－ 3 2 . 12．若 cos(2π－α)＝ 5 3 ，且α∈ －π 2 ，0 ，则 sin(π－α)＝. 答案 －2 3 解析 由诱导公式可知 cos(2π－α)＝cosα＝ 5 3 ， sin(π－α)＝sinα，由 sin2α＋cos2α＝1，可得 sinα＝±2 3 ， ∵α∈ －π 2 ，0 ，∴sinα＝－2 3. 13．若 sinθ，cosθ是方程 4x2＋2mx＋m＝0 的两根，则 m 的值为( ) A．1＋ 5 B．1－ 5 C．1± 5 D．－1－ 5 答案 B 解析 由题意知 sinθ＋cosθ＝－m 2 ，sinθcosθ＝m 4 ， 又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ， ∴m2 4 ＝1＋m 2 ， 解得 m＝1± 5，又Δ＝4m2－16m≥0， ∴m≤0 或 m≥4，∴m＝1－ 5. 14．已知α为第二象限角，则 cosα 1＋tan2α＋sinα 1＋ 1 tan2α ＝. 答案 0 解析 原式＝cosα sin2α＋cos2α cos2α ＋sinα sin2α＋cos2α sin2α ＝cosα 1 |cosα| ＋sinα 1 |sinα| ， 因为α是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0， 所以 cosα 1 |cosα| ＋sinα 1 |sinα| ＝－1＋1＝0， 即原式等于 0. 15．若 sin π 6 －α ＝1 3 ，则 cos 2π 3 ＋2α 等于( ) A．－7 9 B．－1 3 C.1 3 D.7 9 答案 A 解析 ∵ π 3 ＋α ＋ π 6 －α ＝π 2 ， ∴sin π 6 －α ＝sin π 2 － π 3 ＋α ＝cos π 3 ＋α ＝1 3. 则 cos 2π 3 ＋2α ＝2cos2 π 3 ＋α －1＝－7 9. 16．(2018·武汉模拟)已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根为 sinθ和 cosθ，θ∈(0,2π)． 求：(1) sin2θ sinθ－cosθ ＋ cosθ 1－tanθ 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 解 (1)原式＝ sin2θ sinθ－cosθ ＋ cosθ 1－sinθ cosθ ＝ sin2θ sinθ－cosθ ＋ cos2θ cosθ－sinθ ＝sin2θ－cos2θ sinθ－cosθ ＝sinθ＋cosθ. 由条件知 sinθ＋cosθ＝ 3＋1 2 ， 故 sin2θ sinθ－cosθ ＋ cosθ 1－tanθ ＝ 3＋1 2 . (2)由 sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ 即(sinθ＋cosθ)2＝1＋2×m 2 ， 解得 m＝ 3 2 . (3)由 sinθ＋cosθ＝ 3＋1 2 ， sinθ·cosθ＝ 3 4 ， 知 sinθ＝ 3 2 ， cosθ＝1 2 或 sinθ＝1 2 ， cosθ＝ 3 2 . 又θ∈(0,2π)，故θ＝π 3 或θ＝π 6.