【数学】2019届一轮复习人教A版(文)4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版(文)4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x +cos2x=1,sinx cosx =tanx. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 π 2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解 决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到 化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进 行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为 选择题和填空题,低档难度. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:sinα cosα =tanα(α≠π 2 +kπ,k∈ ). 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈ ) π+α -α π-α π 2 -α π 2 +α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 正切 tanα tanα -tanα -tanα 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号 看象限 知识拓展 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;sinα=tanα·cosα. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π 2 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名 称的变化. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则 sin2α+cos2β=1.( × ) (2)若α∈R,则 tanα=sinα cosα 恒成立.( × ) (3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( × ) (4)若 sin(kπ-α)=1 3(k∈ ),则 sinα=1 3.( × ) 题组二 教材改编 2.[P19 例 6]若 sinα= 5 5 ,π 2<α<π,则 tanα=. 答案 -1 2 解析 ∵π 2<α<π, ∴cosα=- 1-sin2α=-2 5 5 , ∴tanα=sinα cosα =-1 2. 3.[P22B 组 T3]已知 tanα=2,则sinα+cosα sinα-cosα 的值为. 答案 3 解析 原式=tanα+1 tanα-1 =2+1 2-1 =3. 4.[P28T7]化简 cos α-π 2 sin 5 2π+α ·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为. 答案 -sin2α 解析 原式=sinα cosα·(-sinα)·cosα=-sin2α. 题组三 易错自纠 5.设 tanα= 3 3 ,π<α<3π 2 ,则 sinα-cosα的值为( ) A.-1 2 + 3 2 B.-1 2 - 3 2 C.1 2 + 3 2 D.1 2 - 3 2 答案 A 解析 ∵tanα= 3 3 ,π<α<3π 2 , ∴sinα=-1 2 ,cosα=- 3 2 , ∴sinα-cosα=-1 2 - - 3 2 = 3 2 -1 2. 6.已知 sin(π-α)=log8 1 4 ,且α∈ -π 2 ,0 ,则 tan(2π-α)的值为( ) A.-2 5 5 B.2 5 5 C.±2 5 5 D. 5 2 答案 B 解析 sin(π-α)=sinα=log8 1 4 =-2 3 , 又α∈ -π 2 ,0 ,得 cosα= 1-sin2α= 5 3 , tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-sinα cosα =2 5 5 . 7.(2018·聊城模拟)已知函数 f(x)= 2cos π 3x,x≤2000, x-18,x>2000, 则 f(f(2018))=. 答案 -1 解析 ∵f(f(2018))=f(2018-18)=f(2000), ∴f(2000)=2cos2000π 3 =2cos2π 3 =-1. 题型一 同角三角函数关系式的应用 1.(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角,sinα=-12 13 ,则 tanα等于( ) A.- 5 13B. 5 13 C.-12 5 D.12 5 答案 C 解析 因为α是第四象限角,sinα=-12 13 , 所以 cosα= 1-sin2α= 5 13 , 故 tanα=sinα cosα =-12 5 . 2.(2017·安徽江南十校联考)已知 tanα=-3 4 ,则 sinα·(sinα-cosα)等于( ) A.21 25B.25 21 C.4 5D.5 4 答案 A 解析 sinα·(sinα-cosα)=sin2α-sinα·cosα =sin2α-sinα·cosα sin2α+cos2α =tan2α-tanα tan2α+1 ,将 tanα=-3 4 代入,得原式= 2 2 3 3 4 4 3 14                  =21 25. 3.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα等于( ) A.-1 B.- 2 2 C. 2 2 D.1 答案 A 解析 由 sinα-cosα= 2, sin2α+cos2α=1, 消去 sinα得 2cos2α+2 2cosα+1=0, 即( 2cosα+1)2=0,∴cosα=- 2 2 . 又α∈(0,π),∴α=3π 4 , ∴tanα=tan3π 4 =-1. 思维升华 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确 定符号;利用sinα cosα =tanα可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子, 利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 题型二 诱导公式的应用 典例(1)已知角α的终边上一点的坐标为 sin 5π 6 ,cos 5π 6 ,则角α的最小正值为( ) A.5π 6 B.5π 3 C.11π 6 D.2π 3 答案 B 解析 ∵sin5π 6 =1 2 ,cos5π 6 =- 3 2 , 该点坐标为 1 2 ,- 3 2 ,∴α=5π 3 +2kπ(k∈ ). ∴当 k=0 时,α有最小正值5π 3 . (2)已知 cos π 6 -θ =a,则 cos 5π 6 +θ +sin 2π 3 -θ 的值是. 答案 0 解析 ∵cos 5π 6 +θ =-cos π- 5π 6 +θ =-a, sin 2π 3 -θ =sin π 2 + π 6 -θ =a, ∴cos 5π 6 +θ +sin 2π 3 -θ =-a+a=0. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含 2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,要利用诱导公式一,然后再进行运算. 跟踪训练(1)(2017·南昌模拟)化简: sinα+πcosπ-αsin 5π 2 -α tan-αcos3-α-2π =. 答案 -1 解析 原式=-sinα·-cosα·cosα -tanα·cos3α =-1. (2)已知角α终边上一点 P(-4,3),则 cos π 2 +α ·sin-π-α cos 11π 2 -α ·sin 9π 2 +α 的值为. 答案 -3 4 解析 原式=-sinαsinα -sinαcosα =tanα, 根据三角函数的定义得 tanα=-3 4. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 典例(1)(2017·福建四地六校联考)已知α为锐角,且 2tan(π-α)-3cos π 2 +β +5=0,tan(π+α) +6sin(π+β)-1=0,则 sinα的值是( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案 C 解析 由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ-1=0,解得 tanα=3,又α为锐角,故 sinα=3 10 10 . (2)已知-π0,∴sinx-cosx<0, 故 sinx-cosx=-7 5. ②sin2x+2sin2x 1-tanx =2sinxcosx+sinx 1-sinx cosx =2sinxcosxcosx+sinx cosx-sinx = -24 25 ×1 5 7 5 =- 24 175. 引申探究 本例(2)中若将条件“-π0,cosx<0, ∴sinx-cosx>0,故 sinx-cosx=7 5. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间 的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响. 跟踪训练(1)(2017·三明模拟)若sinπ-θ+cosθ-2π sinθ+cosπ+θ =1 2 ,则 tanθ等于( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案 D 解析 由已知sinθ+cosθ sinθ-cosθ =1 2 ,∴tanθ+1 tanθ-1 =1 2 , 故 tanθ=-3. (2)(2017·西安模拟)已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且 f(4)=3,则 f(2017)的值为 ( ) A.-1B.1 C.3D.-3 答案 D 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β) =asinα+bcosβ=3, ∴f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asinα-bcosβ =-3. 分类讨论思想在三角函数中的应用 典例 (1)已知 A=sinkπ+α sinα +coskπ+α cosα (k∈ ),则 A 的值构成的集合是( ) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} (2)已知 sinα=2 5 5 ,则 tan(α+π)+ sin 5π 2 +α cos 5π 2 -α =. 思想方法指导(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方 结果进行讨论. (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论. 解析 (1)当 k 为偶数时,A=sinα sinα +cosα cosα =2; 当 k 为奇数时,A=-sinα sinα -cosα cosα =-2. 所以 A 的值构成的集合是{2,-2}. (2)∵sinα=2 5 5 >0, ∴α为第一或第二象限角. tan(α+π)+ sin 5π 2 +α cos 5π 2 -α =tanα+cosα sinα =sinα cosα +cosα sinα = 1 sinαcosα. ①当α是第一象限角时,cosα= 1-sin2α= 5 5 , 原式= 1 sinαcosα =5 2 ; ②当α是第二象限角时,cosα=- 1-sin2α=- 5 5 , 原式= 1 sinαcosα =-5 2. 综合①②知,原式=5 2 或-5 2. 答案 (1)C (2)5 2 或-5 2 1.已知 sin(π+α)=1 2 ,则 cosα的值为( ) A.±1 2 B.1 2 C. 3 2 D.± 3 2 答案 D 解析 ∵sin(π+α)=-sinα=1 2 , ∴sinα=-1 2 ,cosα=± 1-sin2α=± 3 2 . 2.已知 sinα= 5 5 ,则 sin4α-cos4α的值为( ) A.-1 5 B.-3 5 C.1 5 D.3 5 答案 B 解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1 =2 5 -1=-3 5. 3.已知 tanα=1 2 ,且α∈ π,3π 2 ,则 sinα等于( ) A.- 5 5 B. 5 5 C.2 5 5 D.-2 5 5 答案 A 解析 ∵tanα=1 2>0,且α∈ π,3π 2 , ∴sinα<0, ∴sin2α= sin2α sin2α+cos2α = tan2α tan2α+1 = 1 4 1 4 +1 =1 5 , ∴sinα=- 5 5 . 4.若θ∈ π 2 ,π ,则 1-2sinπ+θsin 3π 2 -θ 等于( ) A.sinθ-cosθ B.cosθ-sinθ C.±(sinθ-cosθ) D.sinθ+cosθ 答案 A 解析 因为 1-2sinπ+θsin 3π 2 -θ = 1-2sinθcosθ= sinθ-cosθ2 =|sinθ-cosθ|, 又θ∈ π 2 ,π ,所以 sinθ-cosθ>0, 所以原式=sinθ-cosθ.故选 A. 5.(2017·广州二测)cos π 12 -θ =1 3 ,则 sin 5π 12 +θ 等于( ) A.1 3 B.2 2 3 C.-1 3 D.-2 2 3 答案 A 解析 sin 5π 12 +θ =sin π 2 - π 12 -θ =cos π 12 -θ =1 3. 6.(2017·孝感模拟)已知 tanα=3,则1+2sinαcosα sin2α-cos2α 的值是( ) A.1 2B.2 C.-1 2D.-2 答案 B 解析 原式=sin2α+cos2α+2sinαcosα sin2α-cos2α =tan2α+2tanα+1 tan2α-1 =9+6+1 9-1 =2. 7.若 sin(π-α)=-2sin π 2 +α ,则 sinα·cosα的值等于( ) A.-2 5 B.-1 5 C.2 5 或-2 5 D.2 5 答案 A 解析 由 sin(π-α)=-2sin π 2 +α , 可得 sinα=-2cosα, 则 tanα=-2, sinα·cosα= sinα·cosα sin2α+cos2α = tanα 1+tan2α =-2 5. 8.若角α的终边落在第三象限,则 cosα 1-sin2α + 2sinα 1-cos2α 的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限, 得 sinα<0,cosα<0, 故原式= cosα |cosα| +2sinα |sinα| = cosα -cosα + 2sinα -sinα =-1-2 =-3. 9.在△ABC 中,若 tanA= 2 3 ,则 sinA=. 答案 22 11 解析 因为 tanA= 2 3 >0,所以 A 为锐角, 由 tanA=sinA cosA = 2 3 以及 sin2A+cos2A=1, 可求得 sinA= 22 11 . 10.已知α为钝角,sin π 4 +α =3 4 ,则 sin π 4 -α =. 答案 - 7 4 解析 因为α为钝角,所以 cos π 4 +α =- 7 4 , 所以 sin π 4 -α =cos π 2 - π 4 -α =cos π 4 +α =- 7 4 . 11.若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin15°)=. 答案 - 3 2 解析 f(sin15°)=f(cos75°)=cos150° =cos(180°-30°)=-cos30°=- 3 2 . 12.若 cos(2π-α)= 5 3 ,且α∈ -π 2 ,0 ,则 sin(π-α)=. 答案 -2 3 解析 由诱导公式可知 cos(2π-α)=cosα= 5 3 , sin(π-α)=sinα,由 sin2α+cos2α=1,可得 sinα=±2 3 , ∵α∈ -π 2 ,0 ,∴sinα=-2 3. 13.若 sinθ,cosθ是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( ) A.1+ 5 B.1- 5 C.1± 5 D.-1- 5 答案 B 解析 由题意知 sinθ+cosθ=-m 2 ,sinθcosθ=m 4 , 又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, ∴m2 4 =1+m 2 , 解得 m=1± 5,又Δ=4m2-16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 14.已知α为第二象限角,则 cosα 1+tan2α+sinα 1+ 1 tan2α =. 答案 0 解析 原式=cosα sin2α+cos2α cos2α +sinα sin2α+cos2α sin2α =cosα 1 |cosα| +sinα 1 |sinα| , 因为α是第二象限角,所以 sinα>0,cosα<0, 所以 cosα 1 |cosα| +sinα 1 |sinα| =-1+1=0, 即原式等于 0. 15.若 sin π 6 -α =1 3 ,则 cos 2π 3 +2α 等于( ) A.-7 9 B.-1 3 C.1 3 D.7 9 答案 A 解析 ∵ π 3 +α + π 6 -α =π 2 , ∴sin π 6 -α =sin π 2 - π 3 +α =cos π 3 +α =1 3. 则 cos 2π 3 +2α =2cos2 π 3 +α -1=-7 9. 16.(2018·武汉模拟)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ和 cosθ,θ∈(0,2π). 求:(1) sin2θ sinθ-cosθ + cosθ 1-tanθ 的值; (2)m 的值; (3)方程的两根及此时θ的值. 解 (1)原式= sin2θ sinθ-cosθ + cosθ 1-sinθ cosθ = sin2θ sinθ-cosθ + cos2θ cosθ-sinθ =sin2θ-cos2θ sinθ-cosθ =sinθ+cosθ. 由条件知 sinθ+cosθ= 3+1 2 , 故 sin2θ sinθ-cosθ + cosθ 1-tanθ = 3+1 2 . (2)由 sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ 即(sinθ+cosθ)2=1+2×m 2 , 解得 m= 3 2 . (3)由 sinθ+cosθ= 3+1 2 , sinθ·cosθ= 3 4 , 知 sinθ= 3 2 , cosθ=1 2 或 sinθ=1 2 , cosθ= 3 2 . 又θ∈(0,2π),故θ=π 3 或θ=π 6.
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