【数学】2018届一轮复习人教A版（理）7-3基本（均值）不等式及应用学案
§7.3 基本(均值)不等式及应用
考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程．
2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．
考点1 利用基本(均值)不等式求最值
1.基本(均值)不等式≤
(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．
答案：(1)a>0，b>0 (2)a＝b
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．
(2)＋≥________(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
答案：(1)2ab (2)2
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.
答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
4．利用基本(均值)不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最________值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最________值是.(简记：和定积最大)
答案：(1)x＝y 小 (2)x＝y 大
1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．
(1)函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．
答案：2 －2
解析：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
故y的最小值为2.
当x<0时，－x>0，
y＝x＋＝－
≤－2＝－2，
当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号，
故y的最大值为－2.
(2)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为________．
答案：5
解析：y＝sin x＋≥2＝4，当sin x＝时，sin x＝±2，显然取不到等号．
事实上，设t＝sin x，x∈，则t∈(0,1]，易知y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.
2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．
(1)已知0
1，则x＋的最小值为________．
答案：5
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立.
利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．
(1)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．
答案：
解析：∵a＋b＝2，∴＝1，
∴＋＝＝＋≥＋2＝.
故y＝＋的最小值为.
(2)已知00，
∴－y＝－lg x＋
≥2＝4，
当且仅当－lg x＝，即x＝时，等号成立，故ymax＝－4.
[考情聚焦] 利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．
主要有以下几个命题角度：
角度一
通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
[典题1] (1)已知00恒成立，得k＋1<3x＋.
∵3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] 由f(x)≥3恒成立，得
≥3，
又x∈N*，∴x2＋ax＋11≥3(x＋1)，
∴a－3≥－.
令F(x)＝－，x∈N*，
则F(x)max＝F(3)＝－，
即a－3≥－，∴a≥－.
[点石成金] 1.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a0) ，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p＝( )
A．2 B.
C．4 D.
答案：B
解析：由题意，得x－1>0，
f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，
当且仅当x＝＋1时等号成立．
因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，
所以2＋1＝4, 解得p＝.
考点3 基本(均值)不等式的实际应用
(1)[教材习题改编]现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面
的较短边长是( )
A．1 m B．1.5 m
C．0.75 m D．0.5 m
答案：A
(2)[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.
答案：4＋2
解析：设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，
∴ l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2)m.
(3)[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．
答案：1 760
解析：池底一边长为x米，则另一底边为米，则总造价y＝4×120＋4×80≥1
760，当且仅当x＝2时取得最小值．
[典题5] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
[答案] (1)1 900 (2)100
[解析] (1)当l＝6.05时，
F＝，
∴F＝＝
≤＝1 900，
当且仅当v＝，即v＝11时等号成立．
∴最大车流量F为1 900辆/时．
(2)当l＝5时，
F＝＝，
∴F≤＝2 000，
当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时)．
[点石成金] 解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
答案：B
解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时等号成立.
[方法技巧] 1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点．
2．对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．
[易错防范] 1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
真题演练集训
1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
答案：8
解析：由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C，得
sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同时除以cos Bcos C，得
tan B＋tan C＝2tan Btan C，
令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，
因为△ABC是锐角三角形，
所以2tan Btan C>2，
则tan Btan C>1，m>2.
又在三角形中有
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C
＝－·m＝＝m－2＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，
故tan Atan Btan C的最小值为8.
2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
答案：160
解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
所以该容器的最低总造价为160元．
3．[2013·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
答案：－2
解析：∵a＋b＝2，
∴＋＝＋
＝＋＝＋＋
≥＋2 ＝＋1.
当且仅当＝且a<0，
即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．
课外拓展阅读
基本(均值)不等式在压轴题中的应用
关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．
1．与数列搭配
基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．
[典例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．
[思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．
(1)[解] 因为a1，a2，a7成等比数列，
所以a＝a1a7，即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)．
又a1＝1，d≠0，所以d＝4.
所以Sn＝na1＋d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.
(2)[证明] 因为bn＝＝＝2n，
所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．
所以Tn＝＝n2＋n.
所以2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18
＝2n2－16n＋36＝2(n2－8n＋16)＋4
＝2(n－4)2＋4≥4，当且仅当n＝4时等号成立．①
＝
＝＝≤
＝4，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．②
又①②中等号不可能同时取到，
所以2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．
温馨提示
本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．
2．与函数、导数共现
在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．
[典例2] 已知h(x)＝ln(x＋1)－.
(1)当a>0时，若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，求实数a的取值范围；
(2)设x∈N且x>2，试证明：ln x≥＋＋＋…＋.
(1)[解] h(x)＝ln(x＋1)－，
则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，
h′(x)＝－＝.
①当01时，h(x)在x∈(0，a－1]上单调递减，h(x)在x∈[a－1，＋∞)上单调递增．
若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，
则h(x)的最小值h(a－1)＝ln a＋1－a≥0恒成立．
令m(a)＝ln a＋1－a(a>1)，
则m′(a)＝，m′(a)<0，
m(a)在a∈(1，＋∞)上单调递减，
所以当a∈(1，＋∞)时，有m(a)
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