2020届二轮复习二项展开式赋值求某些项系数的和与差教案（全国通用）

2020届二轮复习二项展开式赋值求某些项系数的和与差教案（全国通用）

赋值求某些项系数的和与差 知识内容 ‎1．二项式定理 ‎⑴二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理．‎ ‎⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ‎ ‎⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ‎①各项的次数都等于二项式的幂指数．‎ ‎②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．‎ ‎⑷几点注意 ‎①通项是的展开式的第项，这里．‎ ‎②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．‎ ‎③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．‎ ‎④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．‎ ‎⑤设，则得公式：． ‎ ‎⑥通项是中含有五个元素，‎ 只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎⑴杨辉三角形：‎ 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．‎ 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”‎ ‎⑵二项式系数的性质：‎ 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．‎ 当时，的图象为下图：‎ 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．‎ 事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；‎ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ‎，‎ ‎，．．．，‎ ‎，，．．．，‎ ‎．‎ 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．‎ 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．‎ 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．‎ 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．‎ ‎③二项式系数的和为，即．‎ ‎④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ‎．‎ 常见题型有：‎ 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．‎ 典例分析 二项展开式3赋值求某些项系数的和与差 【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，北京高考 ‎【解析】通项为，，常数项为，‎ 各项系数和为．‎ ‎【答案】，；‎ 【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，重庆高考 ‎【解析】由题意，．于是通项 当时，．常数项为．‎ ‎【答案】20；‎ 【例3】 展开式中不含的项的系数和为 A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，江西高考 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，北京高考 ‎【解析】令得．‎ ‎，于是时，对应常数项．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 ‎，则______．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】令，所求式子即为．‎ ‎【答案】0；‎ 【例2】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，‎ 可以通过抓通项公式解决 ．‎ 二项式的展开式的通项公式为：‎ 解析：前三项的．‎ 得系数为：，‎ 由已知： ，‎ ‎∴‎ 通项公式为 为有理项，故是的倍数，‎ ‎∴．‎ 依次得到有理项为．‎ 【例3】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，西城1模 ‎【解析】通项公式，故的系数是；‎ 令即可得各项系数之和为．‎ ‎【答案】；；‎ 【例1】 若，则的值为_____（用数字作答）．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】所求式子即为，‎ 令，要求的式子就是．‎ ‎【答案】1；‎ 【例2】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）‎ A． B．150 C． D．500‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，北京丰台一模 ‎【解析】求的展开式的各项系数之和令，而二项式系数之和为，‎ 则可以转化为得即．然后利用通项来求解．答案： B ‎【答案】B；‎ 【例3】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，丰台一模 ‎【解析】由题设，第三项．‎ ‎【答案】；‎ 【例4】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】由，于是常数项为 ‎【答案】20；‎ 【例1】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．‎ ‎⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】第一项系数的绝对值为，第二项系数的绝对值为，‎ 第三项系数的绝对值为，‎ 依题意有，解得，‎ ‎⑴第四项；‎ ‎⑵通项公式为，展开式的常数项有，‎ 即，常数项为；‎ ‎⑶令，得展开式的各项系数的和．‎ 【例2】 若，‎ 求的值．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】令得，‎ 令得，‎ ‎=‎ ‎==1‎ ‎【答案】1；‎ 【例1】 若，‎ 则 ．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】注意原式的展开特点，令，即可得．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 若，则的值为_____（用数字作答）．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】所求式子即为，‎ 令，要求的式子就是．‎ ‎【答案】1；‎ 【例3】 若，‎ 则_____．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，福建高考 ‎【解析】令，则所求式子为．‎ ‎【答案】31；‎ 【例4】 已知，求．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】由展开式知：均为负，均为正，‎ ‎∴‎ 令，则所求式子为．‎ ‎【答案】‎ 【例1】 若，求的值．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】令，用赋值法，令，得 ‎ ⑴‎ 令， ⑵‎ ‎⑴+⑵，得 即．‎ 【例2】 若，则的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】令，所求的为，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例3】 若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】令，所求为，选C．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 已知，求：‎ ‎⑴ ；‎ ‎⑵ ；‎ ‎⑶ ．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 取可得，‎ 取得 ‎∴．‎ ‎⑵ 取得，‎ 记，．‎ ‎∴．‎ 可得 从而．‎ ‎⑶ 从⑵的计算已知．‎ 【例2】 若，‎ 求的值．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】令得，‎ 令得，‎ ‎=‎ ‎==1‎ 【例3】 若，‎ 则________．（用数字作答）‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】令得，‎ 令得，∴．‎ ‎【答案】31；‎ 【例1】 若，‎ 则 ．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】注意原式的展开特点，令，即可得．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，陕西高考 ‎【解析】在二项式展开式中令，得，‎ 于是，而，故．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 已知．‎ ‎⑴当时，求的值；‎ ‎⑵设．‎ 试用数学归纳法证明：当时，．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】4‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】2009年，南京1模 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴当时，‎ 原等式变为．‎ 令得．‎ ‎⑵因为，所以．‎ 所以（）．‎ ‎①当时，左边，右边，左边右边，等式成立．‎ ‎②假设当时，等式成立，即，‎ 那么，当时，‎ 左边右边．‎ 故当时，等式成立．‎ 综合①②，当时，．‎ 【例1】 请先阅读：在等式的两边求导得，‎ 由求导法则得，化简得．‎ ‎⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；‎ ‎⑵对于整数，求证：．‎ ‎⑶对于整数，求证①；②．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】4‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】2018年，江苏高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴在等式两边对求导，得 ‎．‎ 移项得（）‎ ‎⑵在（）式中，令得，，，‎ 整理得．‎ ‎⑶①由⑴知，．‎ 两边对求导，得．‎ 在上式中，令，得，‎ 即，亦即．‎ 又由⑵知，上面两式相加，得．‎ ‎②将等式两边在上对积分，‎ ‎．‎ 由微积分基本定理，得，‎ 故．‎ 【例1】 证明：．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】2‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由二项式定理知：．‎ 等式两边对求2次导数得：‎ 令，则：．‎ 整理得．‎ 【例2】 证明：．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由二项式定理知：．‎ 等式两边对积分得：．‎ 再次积分：．‎ 令，整理，得证．‎ 【例1】 求证：‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】因为…，等式两边取关于的导数，得 ‎………．‎ 令，得……‎ 【例2】 求的二项展开式．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】这里，，，直接代公式．‎ ‎ ‎ ‎．‎ 【例3】 设，则等于（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】，因此，选C．‎ ‎【答案】C；‎ 【例4】 设，求 ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】．‎ 【例1】 已知数列（）满足：‎ 求证：对于任意正整数，‎ 是一次多项式或零次多项式．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由已知条件知数列是等差数列，设公差为．则．‎ 于是：‎ 而，所以 因此是一次多项式或零次多项式．‎ 【例2】 若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3‎ ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】∵，∴，．‎ ‎，故应选A．‎ ‎【答案】A；‎