- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第4节幂函数与二次函数学案
第 4 节 幂函数与二次函数 最新考纲 1.了解幂函数的概念;结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x 1 2 ,y=1 x 的图 象,了解它们的变化情况;2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、 不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当 α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当 α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象(抛 物线) 定义域 R 值域 [4ac-b2 4a ,+∞) (-∞,4ac-b2 4a ] 对称轴 x=- b 2a 顶点坐 标 (- b 2a ,4ac-b2 4a ) 奇偶性 当 b=0 时是偶函数,当 b≠0 时是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,- b 2a]上是减函数; 在[- b 2a ,+∞)上是增函数 在(-∞,- b 2a]上是增函数; 在[- b 2a ,+∞)上是减函数 [微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若 f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则当 {a > 0, Δ < 0 时恒有 f(x)>0,当{a < 0, Δ < 0 时,恒有 f(x)<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y=2x 1 3 是幂函数.( ) (2)当 n>0 时,幂函数 y=xn 在(0,+∞)上是增函数.( ) (3)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( ) (4)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是4ac-b2 4a .( ) 解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)=xα,故 y=2x 1 3 不是幂函数,(1)错. (3)由于当 b=0 时,y=ax2+bx+c=ax2+c 为偶函数,故(3)错. (4)对称轴 x=- b 2a ,当- b 2a 小于 a 或大于 b 时,最值不是4ac-b2 4a ,故(4)错. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)=k·xα 的图象过点(1 2 , 2 2 ),则 k+α=( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2 解析 因为 f(x)=k·xα 是幂函数,所以 k=1.又 f(x)的图象过点(1 2 , 2 2 ),所以(1 2 ) α = 2 2 ,所以 α=1 2 ,所以 k+α=1+1 2 =3 2. 答案 C 3.(必修 1P44A9 改编)若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[-1,2]上是单调函数,则实数 k 的取值范围是________. 解析 由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=k 8 ,所以要使 f(x)在[-1,2]上 是单调函数,则有k 8 ≤-1 或k 8 ≥2,即 k≤-8 或 k≥16. 答案 (-∞,-8]∪[16,+∞) 4.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a=2 4 3 ,b=3 2 3 ,c=25 1 3 ,则( ) A.ba>b. 答案 A 5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数 a,使得 f(x)=f(a-x)对定义域上任意的 x 恒成立,则函数 f(x)可能是( ) A.f(x)=x2-2x+1 B.f(x)=x2-1 C.f(x)=2x D.f(x)=2x+1 解析 由存在非零的实数 a,使得 f(x)=f(a-x)对定义域上任意的 x 恒成立,可得 函数图象的对称轴为 x=a 2 ≠0.只有选项 A 中,f(x)=x2-2x+1 关于 x=1 对称. 答案 A 6.(2018·成都诊断)幂函数 f(x)=(m2-4m+4)·xm2-6m+8 在(0,+∞)上为增函数,则 m 的值为________. 解析 由题意知{m2-4m+4=1, m2-6m+8 > 0,解得 m=1. 答案 1 考点一 幂函数的图象和性质 【例 1】 (1)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的大致图象是( ) (2)若 a=(1 2 ) 2 3 ,b=(1 5 ) 2 3 ,c=(1 2 ) 1 3 ,则 a,b,c 的大小关系是( ) A.ab=(1 5 ) 2 3 ,因为 y= (1 2 )x 是减函数,所以 a=(1 2 ) 2 3查看更多