高中数学（人教版必修5）配套练习：2-3等差数列的前n项和第1课时

高中数学（人教版必修5）配套练习：2-3等差数列的前n项和第1课时

第二章 2.3 第 1 课时 一、选择题 1．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S8＝4a3，a7＝－2，则 a9＝( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 [答案] A [解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力． S3＝4a3 a7＝－2 ⇒ 3a1＋3d＝4a1＋8d a1＋6d＝－2 ⇒ a1＝10 d＝－2 . ∴a9＝a1＋8d＝－6. 2．四个数成等差数列，S4＝32，a2 a3＝1 3，则公差 d 等于( ) A．8 B．16 C．4 D．0 [答案] A [解析] ∵a2 a3＝1 3，∴ a1＋d a1＋2d ＝1 3 ，∴d＝－2a1. 又 S4＝4a1＋4×3 2 d＝－8a1＝32，∴a1＝－4， ∴d＝8. 3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则 S13＝ ( ) A．168 B．156 C．152 D．286 [答案] D [解析] ∵ a3＋a7－a10＝8 a11－a4＝14 ，∴ a1－d＝8 7d＝14 ， ∴ d＝2 a1＝10 ，∴S13＝13a1＋13×12 2 d＝286. 4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前 100 项的和为( ) A．0 B．4475 C．8950 D．10 000 [答案] C [解析] 设 cn＝an＋bn，则 c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前 100 项和 S100＝100c1＋c100 2 ＝100×40＋139 2 ＝8950. 5．已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 [答案] C [解析] 设等差数列为{an}，公差为 d， 则 a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30 ， ∴5d＝15，∴d＝3. 6．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若a7 a5 ＝ 9 13 ， 则S13 S9 ＝( ) A．1 B．－1 C．2 D．1 2 [答案] A [解析] S13 S9 ＝13a7 9a5 ＝13 9 × 9 13 ＝1，故选 A． 二、填空题 7．已知数列{an}的通项公式 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝________. [答案] －5n2＋n 2 [解析] ∵an＝－5n＋2， ∴an－1＝－5n＋7(n≥2)， ∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)． ∴数列{an}是首项为－3，公差为－5 的等差数列． ∴Sn＝na1＋an 2 ＝n－5n－1 2 ＝－5n2＋n 2 . 8．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9＝72，则 a2＋a4＋a9＝________. [答案] 24 [解析] ∵S9＝9·a1＋a9 2 ＝72， ∴a1＋a9＝16，即 a1＋a1＋8d＝16， ∴a1＋4d＝8， 又 a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d ＝3(a1＋4d)＝3×8＝24. 三、解答题 9．已知等差数列{an}． (1)a1＝5 6 ，a15＝－3 2 ，Sn＝－5，求 n 和 d； (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 D． [解析] (1)∵a15＝5 6 ＋(15－1)d＝－3 2 ， ∴d＝－1 6. 又 Sn＝na1＋nn－1 2 ·d＝－5， 解得 n＝15，n＝－4(舍)． (2)由已知，得 S8＝8a1＋a8 2 ＝84＋a8 2 ， 解得 a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. 10．设{an}是等差数列，前 n 项和记为 Sn，已知 a10＝30，a20＝50. (1)求通项 an； (2)若 Sn＝242，求 n 的值． [解析] (1)设公差为 d， 则 a20－a10＝10d＝20， ∴d＝2. ∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30， ∴a1＝12. ∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10. (2)Sn＝na1＋an 2 ＝n2n＋22 2 ＝n2＋11n＝242， ∴n2＋11n－242＝0， ∴n＝11. 一、选择题 1．等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，若 a2＋a4＋a15 的值为一个确定的常数，则下列各数 中也是常数的是( ) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 [答案] C [解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7 为常数，∴S13＝13a1＋a13 2 ＝13a7 为常 数． 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则 S6 等于( ) A．12 B．18 C．24 D．42 [答案] C [解析] ∵S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列， ∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4， ∴2(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24. 3．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若S3 S6 ＝1 3 ，则 S6 S12 等于( ) A． 3 10 B．1 3 C．1 8 D．1 9 [答案] A [解析] 据等差数列前 n 项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 仍成等差数列． 设 S3＝k，则 S6＝3k，S6－S3＝2k， ∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k， ∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k， ∴ S6 S12 ＝ 3k 10k ＝ 3 10. 4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 则 m＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案] C [解析] 本题考查数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系及等差数列的定义． Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3， ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1. Sm＝a1m＋mm－1 2 ·1＝0， ① am＝a1＋(m－1)·1＝2， ∴a1＝3－m. ② ②代入①得 3m－m2＋m2 2 －m 2 ＝0， ∴m＝0(舍去)，m＝5，故选 C． 二、填空题 5．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若OB→ ＝a1OA→ ＋a200OC→ ，且 A、B、C 三点共线(该 直线不过原点 O)，则 S200＝________. [答案] 100 [解析] ∵OB→ ＝a1OA→ ＋a200OC→ ，且 A、B、C 三点共线， ∴a1＋a200＝1， ∴S200＝200×a1＋a200 2 ＝100. 6．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－2，则 S3 等于________． [答案] 14 [解析] 对于 Sn＝2an－2，当 n＝1 时，有 a1＝2a1－2，解得 a1＝2；当 n＝2 时，有 S2＝ 2a2－2，即 a1＋a2＝2a2－2，所以 a2＝a1＋2＝4；当 n＝3 时，有 S3＝2a3－2，即 a1＋a2＋a3＝ 2a3－2，所以 a3＝a2＋a1＋2，又 a1＝2，a2＝4，则 a3＝8，所以 S3＝2a3－2＝14. 三、解答题 7．一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和． [解析] 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－1 2 D． 由已知得 10a1＋10×9 2 d＝100， ① 100a1＋100×99 2 d＝10. ② ①×10－②整理得 d＝－11 50 ，代入①得，a1＝1 099 100 ， ∴S110＝110a1＋110×109 2 d ＝110×1 099 100 ＋110×109 2 × －11 50 ＝110 1 099－109×11 100 ＝－110. 8．设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列{Sn n }的 前 n 项和，求数列{Sn n }的前 n 项和 Tn. [解析] 设等差数列{an}的公差为 d，则 Sn＝na1＋1 2n(n－1)D． ∵S7＝7，S15＝75，∴ 7a1＋21d＝7 15a1＋105d＝75 ，即 a1＋3d＝1 a1＋7d＝5 ， 解得 a1＝－2，d＝1. ∴Sn n ＝a1＋1 2(n－1)d＝－2＋1 2(n－1)， ∵ Sn＋1 n＋1 －Sn n ＝1 2 ， ∴数列{Sn n }是等差数列，其首项为－2，公差为1 2 ， ∴Tn＝1 4n2－9 4n.