【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程的灵活运用学案

【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程的灵活运用学案

‎2020届一轮复习人教A版 极坐标与参数方程的灵活运用 学案 基础达标 ‎1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．‎ 解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，‎ 则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.‎ 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，‎ 其焦点坐标为(±，0)．‎ ‎2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由 得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎3．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．‎ 解：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)则ρ·ρ0＝12.‎ 因为ρ0cos θ＝4，‎ 所以ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程．‎ ‎(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，‎ 得x2＋y2＝3x，‎ 即＋y2＝.‎ 知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．‎ 直线l的直角坐标方程是x＝4.‎ 结合图形易得|RP|的最小值为1.‎ 一．学习目标 ‎【学习目标】‎ ‎1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.‎ ‎4.了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题.‎ ‎5.掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程.‎ 二．知识点 ‎1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在 变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到 点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化 ，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与点的极坐标 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．‎ 设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ） ‎ 称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ 称为点M的极角．‎ 由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．‎ ‎3．坐标之间的互化 ‎(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：‎ 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π.‎ ‎4．参数方程的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．‎ ‎5．参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数 ，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ 三．方法总结 ‎1.点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应.‎ ‎2.极坐标和直角坐标的互化公式是或 ‎.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解.‎ ‎3.极坐标方程的应用及求法 ‎(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单.‎ ‎(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.‎ ‎(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝.‎ ‎(4)极坐标系内点的对称关系：①点P(ρ，θ)关于极点的对称点P′(ρ，θ±π)；②点P(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P′(ρ，－θ)；③点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′(ρ，π－θ)；④点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′.‎ ‎4.极坐标系下A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)间的距离公式|AB|＝ ‎1.选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.‎ ‎2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略).‎ ‎3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M‎1M2‎|＝|t1－t2|；(2)若M0为线段M‎1M2‎的中点，则有t1＋t2＝0；(3)若线段M‎1M2‎的中点为M，则M‎0M＝tM＝.一般地，若点P分线段M‎1M2‎所成的比为λ，则tP＝ ‎.直线的参数方程的一般式(t为参数)，是过点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2＋b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R)，式中“±”号，当a，b同号时取正；当a， b异号时取负.‎ ‎5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的.‎ ‎6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.‎ ‎7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.‎ ‎8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解.‎ 四．高考命题题型演练 ‎1.极坐标方程 例1. 在平面直角坐标系中，圆，直线.‎ ‎(1)以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆和直线的交点的极坐标；‎ ‎(2)若点为圆和直线交点的中点，且直线的参数方程为 (为参数)，求， 的值.‎ ‎【答案】（1）和点；（2）， .‎ 解析：‎ ‎(1)由题可知，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，由 ‎，可得或，可得圆和直线的交点的极坐标为和点.‎ ‎(2)由(1)知圆和直线的交点在平面直角坐标系中的坐标为和，那么点的坐标为，又点的坐标为，所以直线的普通方程为，把 (为参数)代入，可得，则，即， .‎ 练习1. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设|与的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】（1） 的极坐标方程为；（2）的面积为.‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为 ‎ 圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为 ‎（Ⅱ）将代入,得,‎ 解得,故,即. ‎ 由于圆的半径为,所以的面积为 ‎ 练习2. 在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）分别求直线与圆的极坐标方程；‎ ‎（2）射线: （）与圆的交点为， 两点，与直线交于点，射线: 与圆交于， 两点，与直线交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】(1) , ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）由题意可得：点， 的极坐标，可得，同理可得： ，即可得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）直线l的方程是，可得极坐标方程： ‎ 圆C的参数方程是（为参数），可得普通方程： ‎ 展开为．化为极坐标方程： 即 ‎ 练习3. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点， 轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标方程为： .‎ ‎（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程；将曲线的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，曲线与曲线的交点为，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴利用参数方程与普通方程之间的转化方法进行化简(2) 曲线与曲线的相交，法一和法二将参数方程代入曲线方程，利用两根之和计算出结果，法三利用普通方程计算求出结果 解析：（Ⅰ） ，即： ； ‎ ‎，即： ‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 的参数方程为代入得 ‎∴，∴.‎ 方法二：‎ ‎2.参数方程 例2.【选修4—4 坐标系与参数方程】‎ 已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式得，即得M的轨迹的参数方程；（2）根据两点间距离公式得d，再根据x=y=0得，即M的轨迹过坐标原点.‎ 试题解析：(Ⅰ)依题意有 因此 M的轨迹的参数方程为（为参数， ）‎ ‎(Ⅱ)M点到坐标原点的距离 当时， ，故M的轨迹过坐标原点.‎ 练习1. 已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线： 上.‎ ‎（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：‎ ‎（1）设点的坐标为，则有 ‎ 消去参数，可得，为点的轨迹的方程；‎ 由曲线： ，得，且，‎ 由， 故曲线的方程为： ；‎ ‎（2）曲线的方程为： ，即 ‎ 表示过点，斜率为的直线，动点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆 由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．‎ 练习2. 已知曲线 (为参数)和曲线 (为参数)相交于两点，求两点的距离．‎ ‎【答案】AB＝．‎ ‎【解析】试题分析：利用平方法消去曲线的参数可得曲线的普通方程，利用代入法消 练习3. 已知直线的参数方程为（为参数）.以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ 解析：（1）直线经过定点，‎ 由得，‎ 得曲线的普通方程为，化简得；‎ ‎（2）若，得的普通方程为，‎ 则直线的极坐标方程为，‎ 联立曲线： .‎ ‎∵得，取，得，‎ 所以直线与曲线的交点为.‎ ‎3.极坐标、参数方程、普通方程互化 例3. 已知曲线（为参数）和曲线（为参数）相交于两点，求两点的距离.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由，解得或．‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 即两点的距离为．‎ 练习1. 已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ 解：（1）∵圆的极坐标方程为，‎ ‎∴，‎ 又∵， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的普通方程为 练习2. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）设， 分别是直线与曲线上的点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）;;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，通过消去参数可将直线的参数方程转化为普通方程；‎ ‎（2）在直角坐标系中进行求解，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，利用数形结合边框求出的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，∵， ，∴，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ 由（为参数），消去得，∴直线的普通方程为.‎ ‎4.利用参数方程求最值 例4. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆．‎ ‎（1）求曲线， 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的点， 为曲线上的点，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 的直角坐标方程为， 的直角坐标方程为．(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数可得的直角坐标方程，将极坐标化为直角坐标可得曲线的圆心的直角坐标为，结合半径为可得的直角坐标方程；（2）根据曲线的参数方程设，根据两点间的距离公式，由三角函数和二次函数的性质可得的取值范围，结合圆的几何性质可得答案.‎ 试题解析：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，‎ 曲线的圆心的直角坐标为，‎ ‎∴的直角坐标方程为．　‎ ‎（2）设，则 ．‎ ‎∵，∴， ，根据题意可得， ，即的取值范围是．‎ 练习1. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点为曲线上任意一点，求点到曲线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：（1）由得，‎ 将， 代入得到.‎ ‎（2）设， 到曲线： 的距离，‎ ‎ ‎ 当时， ，当时， .所以.‎ 练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）或或.‎ ‎ ，代入韦达定理即得答案 解析：‎ ‎（1），‎ 故曲线的普通方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.‎ 设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到 ，‎ 所以 或，‎ 解得或或.‎ 练习3.‎ 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）消去直角参数方程中的参数可得普通方程，利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（2）利用圆的参数方程，设，则 ‎，由正弦函数的性质可得的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，故直线的普通方程为，‎ 由，得，所以，即，‎ 故曲线的普通方程为；‎ ‎5.直线参数方程的几何意义的应用 例5.在平面直角坐标系中，已知直线： （为参数），以坐标原点为极点， ‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为， ，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t得到直线的普通方程；把等式两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；‎ ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义求得的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）把展开得，‎ 两边同乘得①.‎ 将， ， 代入①即得曲线的直角坐标方程为②.‎ ‎（2）将代入②式，得，‎ 易知点的直角坐标为.‎ 设这个方程的两个实数根分别为， ，则由参数的几何意义即得.‎ 练习1. 以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于， 两点，求.‎ ‎【答案】(1) 的普通方程为, 的普通方程为;(2) .‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ 化为，‎ 即的普通方程为，‎ 消去，得的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）在中令得，‎ ‎∵，∴倾斜角，‎ ‎∴的参数方程可设为即，‎ 代入得， ，∴方程有两解，‎ ‎， ，∴， 同号，‎ ‎ .‎ 练习2. 已知直线的参数方程为（其中为参数， 为常数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于点两点.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，点坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴将极坐标方程化为普通方程，根据题目条件计算出弦长的表达式，从而求出实数的值⑵将当时代入即可求出结果 解析：（1）曲线的极坐标方程可化为，‎ 转化为普通方程可得，即.‎ 把代入并整理可得，‎ 由条件可得，解之得.‎ 设对应的参数分别为，则， ，‎ ‎ ，‎ 解之得或；‎ ‎（2）当时， 式变为， ， ，‎ 由点的坐标为可得 ‎ .‎ 点睛：本题考查了极坐标方程方程的一些计算，这里需要注意极坐标方程与普通方程之间的互化，将其转化为一般方程，然后借助于解析几何的知识点来解题；第二问结合了上一问的解答结果，注意需求简答的计算 练习3. 在直角坐标系中，已知直线的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与直线相交于不同的两点， ，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）由得，‎ ‎ ‎ ‎， ，‎ ‎ ‎ ‎6.利用极角求最值和范围 例6．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数， ）．以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程为，即．‎ 曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（2） 由（1）知，‎ ‎…‎ 由知，当，‎ 即时， 有最大值 练习1在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)；圆的参数方程是 ‎（为参数），与直线交于两个不同的点，点在圆上运动，求面积的最大值 ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据直线及圆的方程，可求出，设点，则点到直线的距离为，即可求出面积最大值.‎ 试题解析：‎ 设点，则点到直线的距离为 从而求出面积最大值为 练习2．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程.以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线上任意一点作与直线相交的直线，该直线与直线所成的锐角为，设交点为，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）， （2）点坐标为时， ，点的坐标为时， .‎ ‎【解析】【试题分析】（1）对曲线的极坐标方程两边乘以转化为直角坐标方程，配方得到圆心和半径，然后直接写出圆的参数方程.将直线的参数方程利用加减消元法消去，可求得直线的普通方程.（2）设圆上任意一点到直线的距离为，则，由此利用点到直线的距离公式可求得的最大值和最小值，也即是的最大值和最小值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（2）由题知点到直线的距离，‎ 设点.‎ 则有点到直线的距离，‎ 其中， ，‎ 当，即时， ， ，‎ 此时， ， ；‎ 当即时， ， ，‎ 此时， ， .‎ 综上，点坐标为时， ，点的坐标为时， .‎ 五．高考真题演练 ‎1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点 ‎【考点】极坐标 ‎【名师点睛】再利用公式 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.‎ ‎2.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），‎ 则|AP|的最小值为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为 ，整理为 ，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.‎ ‎【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化；2.点与圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；‎ ‎2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．‎ ‎3.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.‎ ‎【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.‎ ‎4. 【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为过圆圆心，因此，故填：.‎ 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x＝以及，，同时要掌握必要的技巧.‎ ‎5.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 .‎ 【答案】．‎ ‎【解析】依题直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．‎ 【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解．‎ ‎6. 【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，‎ 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎7. 【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式.‎ 考点定位：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.‎ ‎【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离.‎ ‎8【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以，即；‎ 由消去得.联立方程组，解得或，‎ 即，，‎ 由两点间的距离公式得.‎ ‎【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.‎ ‎9.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为，.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上，或.‎ ‎【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.‎ ‎10. 【2017课标II，理22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。‎ ‎【答案】(1)；‎ ‎(2) 。‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）设的极坐标为，M的极坐标为，由题设知。‎ 由得的极坐标方程。‎ 因此的直角坐标方程为。‎ ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积 当时，S取得最大值。‎ 所以面积的最大值为。‎ ‎【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。‎ ‎11.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【答案】(1) ；‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ 设,由题设得，消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎（2）C的极坐标方程为 .‎ 联立得.‎ 故，从而 .‎ 代入得，所以交点M的极径为.‎ ‎【考点】 参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解 ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎12. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ ‎ 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.‎ ‎【考点】参数方程化普通方程 ‎【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．‎ ‎13（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据将圆C的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.‎ 试题解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．‎ 圆的极坐标方程为，‎ 化简，得．‎ 则圆的直角坐标方程为，‎ 即，所以圆的半径为．‎ ‎【考点定位】圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化 ‎【名师点晴】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；‎ ‎2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．‎ ‎14. 【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极 轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（I）由，得，‎ 从而有，所以.‎ ‎(II)设，又，则，‎ 故当时，取最小值，此时点的直角坐标为.‎ 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．‎ ‎15. 【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．‎ ‎【名师点睛】（Ⅰ）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区．‎ ‎16 【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标. ‎ ‎【考点定位】参数方程化成普通方程.‎ ‎【名师点睛】本题考查参数方程的运用，中点坐标公式，两点间的距离公式，学生分析解决问题的能力，正确运用参数方程是解决问题的关键．‎ ‎17. 【2014课标Ⅰ，理23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线，直线：（为参数）. ‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； ‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．‎ ‎（II）曲线C上任意一点到的距离为．则 ‎．其中为锐角，且．‎ 当时，取到最大值，最大值为．‎ 当时，取到最小值，最小值为．‎ ‎【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．‎ ‎【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,考查了点到直线的距离公式,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是解决本题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力.‎ ‎18.【2015高考新课标1，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ ‎【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 ‎【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.‎ ‎19（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程 ‎ 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ‎ ，（为常数）.‎ ‎ （I）求直线和圆的普通方程；‎ ‎ （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎ 【答案】（I）,;（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程 为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.‎ 考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.‎ ‎20. 【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为 ‎(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．‎ ‎【考点定位】1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．‎ ‎【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可 ‎21. 【2015湖南理16】‎ ‎（Ⅱ）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ （1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ （2） 设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用，即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方程；（2）‎ 联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.‎ 试题解析：（1）等价于①，将，代入①，记得曲线C的直角坐标方程为②；（2）将代入②，得，设这个方程的两个实数根分别为，，则由参数的几何意义即知，.‎ ‎【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易 题，在方程的转化时，只要利用，进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，‎ 实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极 坐标与参数方程中同样适用.‎ ‎22.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴先把化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ⑵：,：,,方程相减得,这就是为的方程,对照可得.‎ 试题解析：⑴ （均为参数）,∴ ①‎ ‎∴为以为圆心,为半径的圆．方程为 ‎∵,∴ 即为的极坐标方程 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 ‎【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.‎ ‎23.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先求直线的极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理，弦长公式求出，进而求得，即可求得直线的斜率．‎ 试题解析：（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.‎ ‎【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.‎ ‎24. 【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．‎ ‎【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．‎