高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷

高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率    1 n kk k n nP k C P P   球的表面积公式 24S R ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式 34 3V R ，其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1）、复数1 3 3 i i   等于 A．i B． i C． 3 i D． 3 i （2）、设集合  2 2,A x x x R    ，  2 , 1 2B y x x      ，则  RC A B 等 于 A． R B． , 0x x R x  C． 0 D． （3）、若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 16 2 x y  的右焦点重合，则 p 的值为 A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 （4）、设 ,a Rb ，已知命题 :p a b ；命题 2 2 2 : 2 2 a b a bq       ，则 p 是 q 成立的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 ,x 0x  （5）、函数 y  的反函数是 2x , 0x  2 x ， 0x  2 ,x 0x  A． y  B． y  x ， 0x  x ， 0x  2 x ， 0x  2 ,x 0x  C． y  D． y  x  ， 0x  x  ， 0x  （6）、将函数 sin ( 0)y x   的图象按向量 ,06a      平移，平移后的图象如图所 示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A． sin( )6y x   B． sin( )6y x   C． sin(2 )3y x   D． sin(2 )3y x   （ 7 ） 、 若 曲 线 4y x 的 一 条 切 线 l 与 直 线 4 8 0x y   垂直，则l 的方程为 A． 4 3 0x y   B． 4 5 0x y   C． 4 3 0x y   D． 4 3 0x y   （8）、设 0a  ，对于函数   sin (0 )sin x af x xx    ，下列结论正确的是 A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 （9）、表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A． 2 3  B． 1 3  C． 2 3  D． 2 2 3  1 0x y   ， （10）、如果实数 x y、 满足条件 1 0y   ， 那么 2x y 的最大值为 1 0x y   ， A． 2 B．1 C． 2 D． 3 （11）、如果 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值分别等于 2 2 2A B C 的三个内角的正弦值，则 A． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是锐角三角形 B． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是钝角三角形 C． 1 1 1A B C 是钝角三角形， 2 2 2A B C 是锐角三角形 D． 1 1 1A B C 是锐角三角形， 2 2 2A B C 是钝角三角形 （12）、在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的 概率为 A． 1 7 B． 2 7 C． 3 7 D． 4 7 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 理科数学 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位置。 （ 13 ） 、 设 常 数 0a  ， 4 2 1ax x     展 开 式 中 3x 的 系 数 为 3 2 ， 则 2lim( )n n a a a    __________。 （14）、在 ABCD 中， , , 3AB a AD b AN NC      ，M 为 BC 的中点，则 MN  _______。 （用 a b、 表示） （15）、函数  f x 对于任意实数 x 满足条件     12f x f x   ， 若  1 5,f   则   5f f  _______________。 （16）、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图， 正方体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上 与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体 的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为________________________。（写出所有正 确结论的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）、（本大题满分 12 分） 已知 3 10,tan cot4 3          （Ⅰ）求 tan 的值； （Ⅱ）求 2 25sin 8sin cos 11cos 82 2 2 2 2 sin 2             的值。 （18）、（本大题满分 12 分） 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。 在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0，1，2，3，4， 5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行 A B CD A1 B1 C1D1 第 16 题图  A1 搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。 （Ⅰ）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求 的数学期望 E 。（要求写出计算过程或说明道理） （19）、（本大题满分 12 分） 如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一 点， 1PA  ，P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 （Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ； （Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 （20）、（本大题满分 12 分） 已知函数  f x 在 R 上有定义，对任何实数 0a  和 任何实数 x ，都有    f ax af x （Ⅰ）证明  0 0f  ； ,kx 0x  ， （Ⅱ）证明  f x  其中 k 和 h 均为常数； ,hx 0x  ， （Ⅲ）当（Ⅱ）中的 0k  时，设      1 ( 0)g x f x xf x    ，讨论  g x 在 0, 内的单调性并求极值。 （21）、（本大题满分 12 分） 数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知  2 1 1 , 1 , 1,2,2 n na S n a n n n      （Ⅰ）写出 nS 与 1nS  的递推关系式 2n  ，并求 nS 关于 n 的表达式； （Ⅱ）设     1 /,nn n n n Sf x x b f p p Rn    ，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。 A B C D EF O P 第 19 题图 H （22）、（本大题满分 14 分） 如图，F 为双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的 右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方， M 为左准线上一点， O 为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形， PF OF 。 （Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 e 与  的关系式； （Ⅱ）当 1  时，经过焦点 F 且品行于 OP 的直 线交双曲线于 A、B 点，若 12AB  ，求此时的双曲 线方程。 O F x y PM 第 22 题图 H 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率    1 n kk k n nP k C P P   球的表面积公式 24S R ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式 34 3V R ，其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）复数1 3 3 i i   等于（ ） A．i B． i C． 3 i D． 3 i 解：1 3 1 3 1 3 (1 3 ) i i iii i i       故选 A （2）设集合  2 2,A x x x R    ，  2| , 1 2B y y x x      ，则  RC A B 等于（ ） A． R B． , 0x x R x  C． 0 D． 解： [0,2]A  ， [ 4,0]B   ，所以   {0}R RC A B C ，故选 B。 （3）若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 16 2 x y  的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 解：椭圆 2 2 16 2 x y  的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2 2y px 的焦点为(2,0)，则 4p  ，故选 D。 （4）设 ,a Rb ，已知命题 :p a b ；命题 2 2 2 : 2 2 a b a bq       ，则 p 是 q 成立的 （ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条 件 解：命题 :p a b 是命题 2 2 2 : 2 2 a b a bq       等号成立的条件，故选 B。 （5）函数 2 2 , 0 , 0 x xy x x    的反函数是（ ） A． , 02 , 0 x x y x x       B． 2 , 0 , 0 x x y x x     C． , 02 , 0 x x y x x       D． 2 , 0 , 0 x x y x x     解：有关分段函数的反函数的求法，选 C。 （6）将函数 sin ( 0)y x   的图象按向量 ,06a       平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的 解析式是（ ） A． sin( )6y x   B． sin( )6y x   C． sin(2 )3y x   D． sin(2 )3y x   解：将函数 sin ( 0)y x   的图象按向量 ,06a       平移，平移后的图象所对应的解析式为 sin ( )6y x   ，由图 象知， 7 3( )12 6 2      ，所以 2  ，因此选 C。 （7）若曲线 4y x 的一条切线l 与直线 4 8 0x y   垂直，则 l 的方程为（ ） A． 4 3 0x y   B． 4 5 0x y   C． 4 3 0x y   D． 4 3 0x y   解：与直线 4 8 0x y   垂直的直线l 为 4 0x y m   ，即 4y x 在某一点的导数为 4，而 34y x  ，所以 4y x 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4 3 0x y   ，故选 A （8）设 0a  ，对于函数   sin (0 )sin x af x xx    ，下列结论正确的是（ ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 解：令 sin , (0,1]t x t  ，则函数   sin (0 )sin x af x xx    的值域为函数 1 , (0,1]ay tt    的值域，又 0a  ，所以 1 , (0,1]ay tt    是一个减函减，故选 B。 （9）表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A． 2 3  B． 1 3  C． 2 3  D． 2 2 3  解：此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由 238 2 34 a  知， 1a  ， 则此球的直径为 2 ，故选 A。 （10）如果实数 x y、 满足条件 1 0 1 0 1 0 x y y x y           ，那么 2x y 的最大值为（ ） A． 2 B．1 C． 2 D． 3 解：当直线 2x y t  过点(0，-1)时，t 最大，故选 B。 （11）如果 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值分别等于 2 2 2A B C 的三个内角的正弦值，则 （ ） A． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是锐角三角形 B． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是钝角三角形 C． 1 1 1A B C 是钝角三角形， 2 2 2A B C 是锐角三角形 D． 1 1 1A B C 是锐角三角形， 2 2 2A B C 是钝角三角形 解： 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值均大于 0，则 1 1 1A B C 是锐角三角形，若 2 2 2A B C 是 锐角三角形，由 2 1 1 2 1 1 2 1 1 sin cos sin( )2 sin cos sin( )2 sin cos sin( )2 A A A B B B C C C                 ，得 2 1 2 1 2 1 2 2 2 A A B B C C              ，那么， 2 2 2 2A B C    ， 所以 2 2 2A B C 是钝角三角形。故选 D。 （12）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概 率为（ ） A． 1 7 B． 2 7 C． 3 7 D． 4 7 解：在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 3 8C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形， 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得 3 8 24 C ， 所以选 C。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科 数学 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位 置。 （13）设常数 0a  ， 4 2 1ax x     展开式中 3x 的系数为 3 2 ，则 2lim( )n n a a a    _____。 解： 1 4 8 2 2 1 4 rr r r rT C a x x     ，由 1 8 2 32 , 2, rrx x x r   得 4 4 3 1= 2 2 r rC a 由 知a= ，所以 2 1 2lim( ) 111 2 n n a a a      ，所以为 1。 （14）在 ABCD 中， , , 3AB a AD b AN NC        ，M 为 BC 的中点，则 MN  _______。 （用 a b  、表示） 解： 3 4 3A =3( )AN NC AN C a b       由 得 ， 1 2AM a b    ，所以 3 1 1 1( ) ( )4 2 4 4MN a b a b a b             。 （15）函数  f x 对于任意实数 x 满足条件     12f x f x   ，若  1 5,f   则   5f f  __________。 解：由     12f x f x   得     14 ( )2f x f xf x    ，所以 (5) (1) 5f f   ，则    1 15 ( 5) ( 1) ( 1 2) 5f f f f f         。 （16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方 体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点 中的一个，则 P 到平面 的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B、D、A1 到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A1 的中 点到平面 的距离为 3，所以 D1 到平面 的距离为 6；B、A1 的中点到平面 的距离为 5 2 ， 所以 B1 到平面 的距离为 5；则 D、B 的中点到平面 的距离为 3 2 ，所以 C 到平面 的距离 为 3；C、A1 的中点到平面 的距离为 7 2 ，所以 C1 到平面 的距离为 7；而 P 为 C、C1、B1、 D1 中的一点，所以选①③④⑤。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分 12 分）已知 3 10,tan cot4 3          （Ⅰ）求 tan 的值； （Ⅱ）求 2 25sin 8sin cos 11cos 82 2 2 2 2 sin 2             的值。 解：(Ⅰ)由 10tan cot 3     得 23tan 10tan 3 0    ，即 1tan 3 tan 3     或 ，又 3 4     ，所以 1tan 3    为所求。 A B CD A1 B1 C1D1 第 16 题图  A1 （Ⅱ） 2 25sin 8sin cos 11cos 82 2 2 2 2 sin 2             = 1-cos 1+cos5 4sin 11 82 2 2 cos        = 5 5cos 8sin 11 11cos 16 2 2 cos           = 8sin 6cos 8tan 6 2 2 cos 2 2         = 5 2 6  。 （18）（本大题满分 12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要 对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现 有芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先 要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度 之和。 （Ⅰ）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求 的数学期望 E 。（要求写出计算过程或说明道理） 解：（Ⅰ）  1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 1 15 1 15 2 15 2 15 3 15 2 15 2 15 1 15 1 15 （Ⅱ） 1 1 2 2 3 2 2 2 11 2 3 4 5 6 7 8 9 515 15 15 15 15 15 15 15 15E                    （19）（本大题满分 12 分）如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， 1PA  ，P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 （Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ； （Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 解：（Ⅰ）在正六边形 ABCDEF 中， ABF 为等腰三角形， ∵P 在平面 ABC 内的射影为 O，∴PO⊥平面 ABF，∴AO 为 PA 在 平面 ABF 内的射影；∵O 为 BF 中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。 （Ⅱ）∵PO⊥平面 ABF，∴平面 PBF⊥平面 ABC；而 O 为 BF 中 点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A、O、D 共线，且直线 AD⊥BF，则 AD ⊥平面 PBF；又∵正六边形 ABCDEF 的边长为 1，∴ 1 2AO  ， 3 2DO  ， 3 2BO  。 过 O 在平面 POB 内作 OH⊥PB 于 H，连 AH、DH，则 AH⊥PB，DH⊥PB，所以 AHD 为所 求二面角平面角。 在 AHO 中，OH= 21 7 ， 1 2tan 21 7 AOAHO OH    = 7 2 21 。 在 DHO 中， 3 212tan 221 7 DODHO OH     ； A B C D EF O P 第 19 题图 H 而 7 21 4 2822 21tan tan( ) 7 21 3 211 22 21 AHD AHO DHO            （Ⅱ）以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0， 1 2  ,0)，B( 3 2 ， 0,0)，D(0,2，0)，∴ 1(0, , 1)2PA    ， 3( ,0, 1)2PB   ， (0,2, 1)PD   设平面 PAB 的法向量为 1 1 1( , ,1)n x y ，则 1n PA  ， 1n PB  ，得 1 1 1 1 02 3 1 02 y x       ， 1 2 3( , 2,1)3n   ； 设平面 PDB 的法向量为 2 2 2( , ,1)n x y ，则 2n PD  ， 2n PB  ，得 2 2 2 1 0 3 1 02 y x     ， 2 2 3 1( , ,1)3 2n  ； 1 2 1 2 1 2 cos , | | | | n nn n n n          （20）（本大题满分 12 分）已知函数  f x 在 R 上有定义，对任何实数 0a  和任何实 数 x ，都有    f ax af x （Ⅰ）证明  0 0f  ；（Ⅱ）证明   , 0 , 0 kx xf x hx x    其中 k 和 h 均为常数； （Ⅲ）当（Ⅱ）中的 0k  时，设      1 ( 0)g x f x xf x    ，讨论  g x 在 0, 内的单调性并求极值。 证明（Ⅰ）令 0x  ，则    0 0f af ，∵ 0a  ，∴  0 0f  。 （Ⅱ）①令 x a ，∵ 0a  ，∴ 0x  ，则    2f x xf x 。 假设 0x  时， ( )f x kx ( )k R ，则  2 2f x kx ，而   2xf x x kx kx   ，∴    2f x xf x ，即 ( )f x kx 成立。 ②令 x a  ，∵ 0a  ，∴ 0x  ，    2f x xf x   假设 0x  时， ( )f x hx ( )h R ，则  2 2f x hx   ，而   2xf x x hx hx      ， ∴    2f x xf x   ，即 ( )f x hx 成立。∴   , 0 , 0 kx xf x hx x    成立。 （Ⅲ）当 0x  时，      1 1g x f x kxf x kx     ， 2 2 2 1 1( ) xg x kkx kx      令 ( ) 0g x  ，得 1 1x x  或 ； 当 (0,1)x 时， ( )<0g x ，∴ ( )g x 是单调递减函数； 当 [1, )x  时， ( )>0g x ，∴ ( )g x 是单调递增函数； 所以当 1x  时，函数  g x 在 0, 内取得极小值，极小值为 1(1)g kk   （21）（本大题满分 12 分）数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知  2 1 1 , 1 , 1,2,2 n na S n a n n n      （Ⅰ）写出 nS 与 1nS  的递推关系式 2n  ，并求 nS 关于 n 的表达式； （Ⅱ）设     1 /,nn n n n Sf x x b f p p Rn    ，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。 解：由  2 1n nS n a n n    2n  得：  2 1( ) 1n n nS n S S n n    ，即  2 2 1( 1) 1n nn S n S n n    ，所以 1 1 11n n n nS Sn n     ，对 2n  成立。 由 1 1 11n n n nS Sn n     ， 1 2 1 11 2n n n nS Sn n     ，…， 2 1 3 2 12 1S S  相加得： 1 1 2 1n n S S nn     ，又 1 1 1 2S a  ，所以 2 1n nS n   ，当 1n  时，也成立。 （Ⅱ）由   1 1 1 n nn n S nf x x xn n     ，得  / n n nb f p np  。 而 2 3 12 3 ( 1) n n nT p p p n p np       ， 2 3 4 12 3 ( 1) n n npT p p p n p np        ， 2 3 1 1 1(1 )(1 ) 1 n n n n n n p pP T p p p p p np npp             （22）（本大题满分 14 分）如图，F 为双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点。 P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。已知四边 形OFPM 为平行四边形， PF OF 。 （Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 e 与  的关系式； （Ⅱ）当 1  时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交 双曲线于 A、B 点，若 12AB  ，求此时的双曲线方程。 解：∵四边形OFPM 是 ，∴| | | |OF PM c  ，作 双曲线的右准线交 PM 于 H，则 2 | | | | 2 aPM PH c   ，又 2 2 2 2 2 2 2 | | | | | | 2 22 2 PF OF c c ee a aPH c a ec cc c           ， 2 2 0e e   。 （Ⅱ）当 1  时， 2e  ， 2c a ， 2 23b a ，双曲线为 2 2 2 2 14 3 x y a a   四边形OFPM 是菱形，所以直线 OP 的斜率为 3 ，则直线 AB 的方程为 3( 2 )y x a  ，代入到双曲线方 O F x y PM 第 22 题图 H 程得： 2 29 48 60 0x ax a   ， 又 12AB  ，由 2 2 1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x    得： 2 248 6012 2 ( ) 49 9 a a  ，解 得 2 9 4a  ，则 2 27 4b  ，所以 2 2 1279 4 x y  为所求。