2019届二轮复习平面内两条直线位置关系的常考题型学案（全国通用）

2019届二轮复习平面内两条直线位置关系的常考题型学案（全国通用）

考纲要求:‎ ‎①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．‎ ‎②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．‎ ‎④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．‎ ‎⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．两条直线的位置关系 ‎(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔ k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2．‎ ‎(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2．‎ ‎2．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．‎ ‎3．距离公式 ‎(1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．‎ ‎(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离 d＝．‎ ‎4．过两直线交点的直线系方程 若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2交点的直线系方程．‎ 应用举例:‎ 类型一　两条直线平行、重合或相交 ‎【例1】【2018年11月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题】已知过点和 的直线与直线平行，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的斜率计算公式求出AB的斜率，求出直线斜率，由二者平行得，它们的斜率相等，解方程可得结果。‎ ‎【点睛】‎ 在直线斜率存在的前提下，两条直线平行则二直线的斜率必相等。在根据位置关系求参数时，要注意二点：（1）必要时要讨论直线斜率不存在的情况；（2）验证所求结果是否会使二直线重合。‎ ‎【例2】【湖北省稳派教育2018届高三上学期第二次联考】若直线与直线的倾斜角相等，则实数 A． B． 1 C． D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有： ，‎ 求解关于实数的方程可得： .‎ 本题选择B选项.‎ 类型二　两条直线垂直 ‎【例3】【湖北省稳派教育2018届高三上学期第二次联考】若直线与直线 垂直，则实数 A． 3 B． 0 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵直线与直线垂直，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 解得或。选D。‎ ‎【例4】 【辽宁省沈阳二中高三第一次模拟考试】已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）学 ]‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B 考点：直线的倾斜角及三角恒等变换．‎ 类型三　对称问题 ‎【例5】【东北三校高三第二次联合模拟考试】直角坐标系中坐标原点O关于直线l:的对称点为A（1,1），则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题设知直线是线段的垂直平分线,显然直线的斜率为1，所以 ‎ ，故选B.‎ 考点：1、直线的斜率；2、二倍角的正切公式.‎ ‎【例6】点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(　　)‎ A． －1 B． 1 C． 2 D． 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵点P（a，b）关于l：x+y+1=0对称的点仍在l上，∴点P（a，b）在直线l上，‎ ‎∴a+b+1=0，解得a+b=﹣1．‎ 故选A．‎ 类型四　距离问题 ‎【例7】【2017届湖北省浠水县实验高级中学高三测试】若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【例8】【2017届南京市、盐城市二模】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,‎ 直线的斜率为，且经过点，且直线 ‎ 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以点到直线的最大距离为.学 ‎ 点评：距离的求法：‎ ‎(1)点到直线的距离．‎ 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．‎ ‎(2)两平行直线间的距离．‎ ‎①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；‎ ‎②利用两平行线间的距离公式d＝.‎ 类型五　直线系及其应用 例9．求证：动直线(m2＋‎2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋‎3m2‎＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．‎ 解析：证法一：令m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0，①‎ 例10．已知直线l：(a＋b)x＋(a－b)y＋2＝0，其中a，b满足‎3a－b＋2＝0.求证：直线l恒过一定点．‎ 解析：证明：由已知得b＝‎3a＋2，则直线l的方程可化为 ‎(‎4a＋2)x－(‎2a＋2)y＋2＝0，整理得 a(4x－2y)＋2x－2y＋2＝0.‎ 令解得 ‎∵点(1，2)恒满足直线l的方程，∴直线l恒过定点(1，2)．学 ‎ 点评：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m只是取两个特殊值，是否m∈R时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m的降幂排列，由于∀m∈R恒成立，所以得关于x，y的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x1，y1)的直线系：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系：Bx－Ay＋λ＝0.(4)过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，则两直线垂直的条件为·＝－1，由此得A‎1A2＋B1B2＝0，但后者适用性更强，因为当B1＝0或B2＝0时前者不适用但后者适用．‎ ‎3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：‎ ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎4．运用公式d＝求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x，y的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．‎ ‎5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．‎ 实战演练:‎ ‎1．【江西师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试】已知直线与，则“”是“”的（ ）条件.‎ A． 充要 B． 充分不必要 C． 必要不充分 D． 既不充分又不必要 ‎【答案】B ‎【解析】 时，可得， 时，可得 ‎ ‎ ，解得 或 ， 是 的充分不必要条件，故选B.‎ ‎2．【广东省广州市2017届高三4月综合测试（二）】已知三条直线， ， 不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎3．【广东省韶关市2016-2017学年高一下学期期末考试】已知直线与直线平行，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于两条直线平行，所以斜率相等，故．‎ 考点：两条直线的位置关系．‎ ‎4．【黑龙江省伊春市第二中学2016-2017学年高一下学期期中考试】已知两条直线： ， ： 平行，则（ ）‎ A． -1 B． 2 C． 0或-2 D． -1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于两直线平行，故，解得，当时，两直线重合，不符合题意，故.‎ 考点：两直线的位置关系.‎ ‎5．【吉林省吉林市长春汽车经济开发区第六中学2016-2017学年高一下学期期末考试】与直线关于定点对称的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎6．【甘肃省兰州第一中学2017届高三冲刺模拟考试】“λ＝3”是“直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行”的 A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当 时，两直线分别为 ，所以两直线斜率相等，则平行且不重合. 若两直线平行且不重合，则 ，综上所述， 是两直线平行且不重合的充要条件，故选C.‎ ‎7．【2017届河北武邑中学高三理周考】过点且垂直于直线的直线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据两直线垂直，斜率乘积为，得直线斜率为，由点斜式得 ‎.‎ 考点：直线方程，两条直线的位置关系.‎ ‎8．【2016届山东省烟台市牟平一中高三上学期期末】直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎9．已知直线： 与： 平行，则的值是（ ）.‎ A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．‎ 解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，‎ 故选 C．‎ ‎10．若直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． -1 B． 1或-1 C． 1 D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两直线平行斜率相等截距不等有，所以，故选择C.‎ ‎11．【2017-2018学年辽宁省抚顺二中高一（上）期末】已知直线 ‎：，．‎ 若，求实数a的值；‎ 在的条件下，设，与x轴的交点分别为点A与点B，平面内一动点P到点A和点B的距离之比为，求点P的轨迹方程E．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由﹣（a﹣1）﹣a=0，解得：a．经过验证两条直线是否平行即可得出．‎ ‎（2）由（1）可得l2：x﹣y﹣1=0，可得B（1，0），由直线l1：x﹣y+1=0，可得A（﹣1，0）．设P（x，y），可得=，化简即可得出．‎ ‎【点睛】‎ 直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”.‎ ‎12．【内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018届高三上学期第三次月考】已知平面内两点.‎ ‎（1）求过点且与直线平行的直线的方程；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线方程.‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程.‎ ‎13．【2018年10月22日 《每日一题》一轮复习理数】求满足下列条件的实数a的值：‎ ‎（1）直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与l2：3x＋ay－1＝0平行；‎ ‎（2）直线l1：2x＋3y＝1，l2：ax－3y＝0，且l1⊥l2；‎ ‎（3）经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直．‎ ‎【答案】（1）3；（2）；（3）0或1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由 （a ≠ 0），可求出a＝3；‎ ‎（2）由 ，可求a＝；也可由 ，可求a＝；‎ ‎（3）先求直线l1的斜率，再求直线l2的斜率，根据 建立方程，可求a＝1，另外，还需考虑a＝0的情况。‎ ‎（3）l1的斜率，当时，l2的斜率，由l1⊥l2，得k1k2＝－1，即，解得a＝1；当a＝0时，A(－2，0)，B(1，0)，P(0，－1)，Q(0，0)，此时直线l1的斜率为0，直线l2的斜率不存在，显然l1⊥l2．综上可知，实数a的值为0或1．‎ ‎【解题必备】‎ ‎（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．两条直线的位置关系的相关结论如下：‎ 与相交 ‎ ‎ 与垂直 与平行 且 ‎ ‎ 与重合 且 ‎（3）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离；点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝；两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两直线的位置关系与斜率问题，是考查的热点问题，这类问题的难度不大，主发从以下两点把握：‎ 一、已知，，在直线斜率存在的情况下，如果 ‎；。‎ 二、考虑直线斜率不存在或者为0时的特殊情况，如果方程系数中含有参数，注意其值可能为0的情况。‎ 此类问题学生易忽略第二点，应予以重视。‎ ‎14．【2017届河北武邑中学高三理周考】已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于两条直线平行，所以可设，利用两平行线的距离公式，可求得，进而求得直线方程为.‎ ‎ ‎ 所以直线的方程为.‎ 法二：由题意知，设直线， 学 ]‎ 在直线上取点，‎ 考点：两条直线的位置关系.‎ ‎15．【2017届河北武邑中学高三文周考】过点的直线被两平行线与 截得的线段长，求直线的方程.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当直线的方程为时，可验证不符合题意，当斜率存在时，设方程为，联立此方程和的方程，求得交点，然后利用列方程求解得或.‎ 试题解析：‎ 当直线的方程为时，可验证不符合题意，‎ 故设的方程为，‎ 由解得；‎ 由解得，‎ 因为，所以，‎ 整理得，解得或．‎ 考点：直线与直线的位置关系.‎