【数学】2020届一轮复习人教A版归纳推理题型归纳学案

【数学】2020届一轮复习人教A版归纳推理题型归纳学案

推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型。‎ 归纳推理（归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理）‎ 题型1、具有共同特征型（具有共同特征的几个式子得出一个通式，是归纳推理的常见题型）‎ 例：观察下列两式：①；‎ ‎②．‎ 分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。‎ ‎【答案】‎ 若，‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、已知：，，，通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题：_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 通过观察可以发现,角度为公差是的等差数列,设中间一项为,则前后分别为，,所以一般性命题为...‎ ‎2、_________.‎ ‎【答案】‎ 由①②相加,得 ‎ ()所以.‎ ‎3、设,且,若,猜想的个位数字是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵,∴时, , 时, ,时,‎ ‎，归纳的个位数字.‎ 题型二、周期型（规律成周期出现）‎ 例：设定义在R上的函数满足+，若，则 ‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 因为+，，所以，，，……，由此归纳出： ，所以。‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、 观察下列各式：，，，……，则的末四位数字为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎2、观察下列各式：，，，则的末两位数字为（  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，，，，，易观察出末两位数是成周期变化的，周期为4，故，所以的末两位数字为43.‎ ‎3、四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在、、、号位置上(如图)，第次前后排动物互换位置，第次左右列互换座位，……这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔的位置对应的是(　　)‎ A.编号 B.编号 C.编号 D.编号 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知和图形得，小兔自第1次交换位置后依次坐在④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环．因为的余数为2，所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为3.‎ 题型三、分组型 例：一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……‎ 问：到个圆中有_______个实心圆.‎ ‎【答案】‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、观察如下规律:,则该数列的前项和等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由,发现该数列,由个,个,个,个组成,∵,∴该数列前项,由个,个,个,个组成,即,故答案为.‎ ‎2、已知数列:,依它的前项的规律,这个数列的第项为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 这个数列是按如下规则分组:第一组:;第二组:;第三组:;;第组:.由不等式,即,由于,得,且当时, , ,即是上述分组中的第组的第个数,即.‎ ‎3、在正整数数列中,由开始依次按如下规则,将某些数染成红色.先染;再染两个偶数,;再染后面最邻近的个连续奇数, ,;再染后面的最邻近的个连续偶数,,,;再染此后最邻近的个连续奇数,,,,.按此规则一直染下去,得到一红色子数列,,,,,,,,,,,…,则在这个红色子数列中,由开始的第个数是( )‎ A.3971 B.3972 C.3973 D.3974‎ ‎【答案】B 类型四、递推型 例：已知，，，，若，则(   )‎ A.， B.， C.，    D.，   ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将两边平方得，故选C...‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、已知，由不等式，我们可以得出推广结论：，则（  ）    ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎2、已知，观察下列算式：；‎ ‎,…；‎ 若，则的值为(　　)‎ A. B. D. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由于,可得 ‎,即,解得...‎ ‎3、以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”‎ ‎     ……   ‎ ‎    ……  ‎ ‎   ……  ‎ ‎  …… ‎ 该数表由若干行数字组成，从第二行起每一行中的数字均等于其“肩上”的两个数字之和，表中的最后一行仅有一个数字，则这个数字是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎4、观察下列不等式:, , , ,......;,照此规律,第个不等式为( ) ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 观察不等式的规律知, , , , ,。。。。。;,由此猜测第个不等式为,D正确.‎ 类型五、推断型 例：有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“我没有获奖”,乙说:“是丙获奖”,丙说:“是丁获奖”,丁说:“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确,根据以上的判断,获奖的歌手是( )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 假设甲获奖,则甲、乙、丙都回答错误,丁回答正确,符合题意,所以甲获奖,故选A.‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐。已知①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐.则（ ）‎ A.甲一定在画画 B.甲一定在听音乐 C.乙一定不看书 D.丙一定不画画 ‎【答案】B ‎2、某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星”，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（ ）‎ A.小赵、小谭 B.小马、小宋 C.小马、小谭 D.小赵、小宋 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．‎ ‎3、2018年,甲、乙、丙三人根据自己的实际情况,在购买股票、国债、基金三种理财方式中,各选择一种与其他人不同的理财方式.朋友聚会时,三人向朋友叙述如下:‎ 甲:我购买了股票,乙购买了国债;‎ 乙:甲购买了国债,丙购买了股票;‎ 丙:甲购买了基金,乙购买了股票.‎ 事实是甲、乙、丙三人的叙述都只对了一半.根据以上信息,下列判断正确的是( )‎ A.甲购买了国债 B.乙购买了股票 C.丙购买了国债 D.甲购买了基金 ‎【答案】D ‎4、高三数学组有六位教师,期中考试由一位教师命题,考试前学生甲猜测:教师都不可能是命题人;学生乙猜测:教师中的一位是命题人;学生丙猜测:教师或是命题人;学生丁猜测:教师不可能是命题人.若甲、乙、丙、丁中只有人猜测正确,则此人是( )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若甲猜测正确,则丁猜测错误,即为命题人,此时乙和丙都猜测错误,符合题意;‎ 若乙猜测正确,则甲猜测错误,即为命题人,此时丁也猜测正确,不符合题意;‎ 若丙猜测正确,则甲猜测错误,或是命题人,此时丁也猜测正确,不符合题意;‎ 若丁猜测正确,甲、乙、丙中至少还有一个正确,不符合题意,故甲猜测正确.‎ 类型六、信息型 例：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意满八进一，可得该图示为八进制数，化为十进制数为.‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如用算筹表示就是,则用算筹表示为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得千位的用算筹表示为“一”.选B.‎ ‎2、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为,,传输信息为,其中,‎ ‎,的运算规则为:,,,.例如原信息为,则传输信息为,信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎3、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类似上述过程，则（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意结合所给的例子类比推理可得： ，‎ 整理得： ，则，即...‎ ‎4、若“”表示一种运算,满足如下关系:(1);(2),则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题设:①②,则.‎ 故选D.‎ 类型七、数序型 例：如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如，，，则第行第个数（从左往右数）为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【掌握练习】‎ ‎1、如图所示数阵中，用表示第行的第个数，则依此规律为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎2、自然数按照下表的规律排列，则上起第行，左起第列的数为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 每一组连线的数字个数分别是，那么前2013行的数字个数的和是，每一行都成公差为1的等差数列，第2014行的第一个数字是，这一连线的第2014个数字是，故选C...‎ ‎3、将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（  ）‎ ‎ ‎ 第列 第列 第列 第列 第行 ‎ ‎ 第行 ‎ ‎ 第行 ‎ ‎ 第行 ‎ ‎ 第行 ‎ ‎ A.257 B.256 C.254 D.253‎ ‎【答案】C ‎4、如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，，，，，，,，记此数列的前项之和为，则的值为（   ）‎ ‎ A.66 B.153 C.295 D.361‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 用此数列奇数项组成新数列,偶数项组成新数列．由图显然可得,且是首相为3公差为1的等差数列．‎ ‎ ‎