2018届二轮复习多变量表达式范围（消元法、数形结合法、基本不等式法、规划法）学案（全国通用）

2018届二轮复习多变量表达式范围（消元法、数形结合法、基本不等式法、规划法）学案（全国通用）

专题44 多变量表达式范围（消元法、数形结合法、基本不等式法、规划法）‎ ‎ 考纲要求:‎ 在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 基础知识回顾:‎ ‎1、放缩法求最值的理论基础：‎ ‎ 不等式的传递性：若，则 ‎ ‎2、常见的放缩消元手段：‎ ‎（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元 ‎（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果 ‎（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 ‎（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。‎ ‎3、放缩消元过程中要注意的地方：‎ ‎（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致 ‎（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于 的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到。同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到 ‎（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去 ‎4、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式 ‎5、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。‎ ‎6、常见消元的方法：‎ ‎（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：‎ ‎① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）‎ ‎② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）‎ 应用举例:‎ 类型一、多变量表达式的范围 例1：三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：D 例2：设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立，如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：C 例3：已知函数是上的减函数，函数的图像关于点对称，若实数满足不等式，且，则的取值范围是_____‎ 思路：从所求出发可联想到与连线的斜率，先分析已知条件，由对称性可知为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形：‎ ‎，即，所以有。再结合可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是 答案：‎ 类型二、放缩消元法 例4：设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________‎ 答案： ‎ 例5：已知是任意三点，，则的最小值是_______‎ 思路：因为，所以结合不等号的方向可将消去，从而转化为关于的表达式：，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：，所以 答案： ‎ 例6：设实数满足，则的最大值为__________‎ 思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为： ‎ 答案：‎ 方法、规律归纳:‎ 消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域 实战演练:‎ ‎1．【四川省德阳市2018届高三三校联合测试】已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________‎ ‎【答案】‎ ‎ 2．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）】已知，若，则当取得最小值时，（ ）‎ A. 2 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ‎ ‎ 因此时取最小值，即，选C.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. ‎ ‎3．【湖北武汉市蔡甸区汉阳一中2017届高三第三次模拟考试】如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4．【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知函数方程有6个不同的实根，则取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可画出y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意y=1是图像的一条渐近线，令t=f(x), ,由图像可知，‎ 当时,方程f(x)=t 有4个解，当和时，方程f(x)=t 有2个解，‎ 当时，方程f(x)=t 有1个解，当t=1时，方程f(x)=t 有3个解 当t<0时，方程f(x)=t 有0个解 复合方程有6个根，一定是4+2，即，的两个根分别在，令，所以 ，由线性规划可求得，选 D.‎ ‎【点睛】‎ 复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析t=f(x),t的不同取值根的情况，再由此分析外函数根的情况，从而解决问题。‎ ‎5．【贵州省遵义市第四中学2016届高三上学期第四次月考】已知关于的方程的两个根分别为其中 ‎，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则问题转化为函数的零点在内，由二次函数的根的分布得出不等式组 ‎，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图，则问题转化为求动点与定点连线的斜率的取值范围问题，因为，所以，应填答案A。‎ 点睛：线性规划是高中数学的重要内容，也是各级各类考试的重要考点之一。求解这类问题的关键要画出不等式组表示的区域，运用数形结合的数学思想进行分析求解。解答本题时，先依据题设中方程根的分布建立不等式组，再将所求问题的取值范围转化为求动点与定点连线的斜率的取值范围问题，然后数形结合求出，进而得到其取值范围是。‎ ‎6．【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第二次模拟】若实数、、，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 时，等号成立. 故选D.‎ 点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.‎ ‎7．【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟考试】已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎ 8．【湖北省武汉市2017届高三四月调研测试】记为中的最小值，若为任意正实数，则的最大值是（ ）‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，不妨设，则 ，‎ 有 ，‎ 又 ， ，‎ 则 ，‎ 当时， ，此时最小；‎ 当 时， ，此时 最小，则 .选D.‎ ‎9．【江西省上饶市2017届高三第二次模拟】设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：本题主要考查线性规划求解最值问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查换元法和导数法求最值的方法.首先根据线性约束条件画出可行域，求出斜率型的取值范围.然后对目标函数进行划归与转化，换元后利用导数可以求出目标函数的值域.‎ ‎10．【广东省广州市2017届高三4月综合测试（二）】定义在上的奇函数为减函数，若， 满足，则当时， 的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D