2018届二轮复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案（全国通用）

2018届二轮复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案（全国通用）

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎【考点梳理】‎ ‎1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.‎ ‎2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.‎ ‎3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、分类加法计数原理 ‎【例1】(1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)‎ A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 ‎(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)‎ A.14 B.13 C.12 D.10‎ ‎[答案] (1)B　(2)B ‎[解析] (1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲 同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法.‎ 由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法.‎ ‎(2)①当a＝0，有x＝－，b＝－1，0，1，2有4种可能；‎ ‎②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，‎ ‎(ⅰ)若a＝－1时，b＝－1，0，1，2有4种不同的选法；‎ ‎(ⅱ)若a＝1时，b＝－1，0，1有3种可能；‎ ‎(ⅲ)若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.‎ ‎∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个).‎ ‎【类题通法】‎ 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.‎ ‎1．根据题目特点恰当选择一个分类标准.‎ ‎2．分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.‎ ‎3．分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.‎ ‎2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)‎ A.3 B.4 C.6 D.8‎ ‎[答案] D ‎[解析] 以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；‎ 以2为首项的等比数列为2，4，8；‎ 以4为首项的等比数列为4，6，9；‎ 把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，‎ ‎∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.‎ 考点二、分步乘法计数原理 ‎【例2】(1)教 大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)‎ A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 ‎(2)定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为________(用数字作答).‎ ‎[答案] (1)D　(2)12‎ ‎[解析] (1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.‎ 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.‎ ‎(2)显然(a，a)，(a，c)等均为A*B中的关系，确定A*B中的元素是A中取一个元素 确定x，B中取一个元素 确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.‎ ‎2．利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.‎ ‎【对点训练】‎ ‎　　1．某 校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的 生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有(　　)‎ ‎　　A.C·45种 B.A·54种 C.C·A种 D.C·54种 ‎[答案] D ‎[解析] 有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况.故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种.‎ ‎2．设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________(用数字作答).‎ ‎[答案] 10‎ ‎　　[解析] 易知A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，‎ ‎　　∴x有两种取法，y有5种取法.‎ 由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个).‎ 考点三、两个计数原理的综合应用 ‎【例3】(1)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎ (2)如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答).‎ ‎[答案] (1)B　(2)96‎ ‎　　[解析] (1)由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72(个)；若万位是4，则有2×A个＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.‎ ‎　　(2)按区域1与3是否同色分类：‎ ‎　　①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A种方法.‎ ‎　　∴区域1与3涂同色，共有4A＝24种方法.‎ ‎　　②区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.‎ ‎　　∴这时共有A×2×1×3＝72种方法.‎ 由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为24＋72＝96.‎ ‎【类题通法】‎ ‎　　1．①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.‎ ‎2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.‎ ‎【对点训练】‎ ‎　　1．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为(　　)‎ ‎　　A.240 B.204‎ C.729 D.920‎ ‎[答案] A ‎　　[解析] 若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).‎ ‎∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).‎ ‎2．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答).‎ ‎[答案] 968‎ ‎　　[解析]由题意知本题是一个分类计数问题，‎ ‎　　共有8种不同的类型，‎ ‎　　当有3个键同时按下，有C种结果，‎ ‎　　当有4个键同时按下，有C种结果，‎ ‎　　…，‎ ‎　　以此类推，根据分类加法计数原理得到共有 ‎　　C＋C＋C＋…＋C ‎　　＝C＋C＋C＋…＋C－(C＋C＋C)‎ ‎＝210－(1＋10＋45)＝968.‎