【数学】2020届一轮复习（理，鲁津京琼）人教B版1-3-2均值不等式及其应用学案
第2课时 均值不等式及其应用
考试要求 1.掌握均值不等式≤(a，b≥0)；2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
知 识 梳 理
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
[微点提醒]
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.≤≤≤(a>0，b>0).
3.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修5P73B2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )
A.9 B.18 C.36 D.81
解析 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
答案 A
3.(必修5P73A8改编)若x<0，则x＋( )
A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2
解析 因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
答案 D
4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝，则f(x)在
上的最小值为( )
A. B. C.－1 D.0
解析 f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.
答案 D
5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，
所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，
当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
答案 15
6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
考点一 利用均值不等式求最值 多维探究
角度1 利用配凑法求最值
【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0
0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
答案 (1) (2)1
角度2 利用常数代换法求最值
【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则＋的最小值为________.
解析 ∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，
∴A(1，1).
将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，
可得m＋n＝1，
∴＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝时，取得等号.
答案 4
角度3 均值不等式积(ab)与和(a＋b)的转化 典例迁移
【例1－3】 (经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
【迁移探究】 本例已知条件不变，求a＋b的最小值.
解 ∵a>0，b>0，∴ab≤，
即a＋b＋3≤，
整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍).
故a＋b的最小值为6.
规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.
解析 (1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b时取等号).
又因为2a＋b＝4，
∴2≤4⇒00得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.
又3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3 时，等号成立).
所以k＋1<2，即k<2－1.
(2)∵{an}为等比数列，∴a2 017·a2 019＝a＝.
∴＋≥2＝2＝4.
当且仅当＝，即a2 019＝2a2 017时，取得等号.
∴＋的最小值为4.
答案 (1)B (2)4
[思维升华]
1.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
2.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
[易错防范]
1.使用均值不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.对使用均值不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性.
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立，由ab<，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立.
答案 A
2.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2
B.<1(x∈R)
C.当x>0时，＋≥2
D.当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；
对于D，当01，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有( )
A.最小值20 B.最小值200
C.最大值20 D.最大值200
解析 由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg (xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y有最小值200.
答案 B
4.设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A.16 B.9 C.4 D.2
解析 在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1
≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号).
由题意知2＋1≥5.所以a≥4.
答案 C
5.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
解析 由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，
∴≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，
∴|PA|＋|PB|≤2，∴|PA|＋|PB|的最大值为2.
答案 B
6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
解析 设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由均值不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号.
答案 B
7.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
解析 依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，
当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.
因为＋＝，所以≥，即ab≥2(当且仅当a＝2，b＝2时等号成立)，
所以ab的最小值为2.
答案 C
8.(2019·衡水中学质检)正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.(－∞，6] D.[6，＋∞)
解析 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，
当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号.
依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.
又x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案 D
二、填空题
9.函数y＝(x>1)的最小值为________.
解析 y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.
答案 2＋2
10.
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N+)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.
答案 8
11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析 因为x>0，y>0，所以9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时等号成立.设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，
所以(t－6)(t＋18)≥0，又因为t>0，所以t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
答案 6
12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝loga x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则＋的最小值为________.
解析 因为函数g(x)＝loga x＋1(a>0且a≠1)的定点(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，
所以m＋n－2＝0，即＋＝1.
所以＋＝＝1＋＋
≥1＋2＝2，
当且仅当＝，即m2＝n2时取等号，
所以＋的最小值为2.
答案 2
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log a＋log3 有( )
A.最大值log3 B.最小值log32
C.最大值log D.最小值0
解析 由m⊥n，得m·n＝0，即4(a－1)＋2b＝0，
∴2a＋b＝2，∴2≥2，∴ab≤(当且仅当2a＝b时，等号成立).
又log a＋log3 ＝log a＋log b＝log (ab)≥log ＝log3 2，
故log a＋log3 有最小值为log3 2.
答案 B
14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为( )
A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2
解析 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
答案 D
15.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
解析 ∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
答案 4
16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
解析 对任意x∈N+，f(x)≥3，
即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N+，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案
新高考创新预测
17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.
解析 ∵正数x，y满足x＋y＝1，
∴y＝1－x，0
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