【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版3-3定积分与微积分基本定理学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版3-3定积分与微积分基本定理学案

‎§3.3 定积分与微积分基本定理 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.‎ ‎2.了解微积分基本定理的含义.‎ 利用定积分求平面图形的面积,定积分的计算是高考考查的重点.‎ ‎1.定积分的概念 设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上用分点a=x00.( √ )‎ ‎(3)若ʃf(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( × )‎ ‎(4)曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是ʃ(x2-x)dx.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.ʃdx=________.‎ 答案 1‎ 解析 ʃdx=ln(x-1)|=ln e-ln 1=1.‎ ‎3.ʃdx=________.‎ 答案  解析 ʃdx表示由直线x=0,x=-1,y=0以及曲线y=所围成的图形的面积,‎ ‎∴ʃdx=.‎ ‎4.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是______m.‎ 答案  解析 s=ʃ(3t+2)dt= ‎=×4+4-=10-=(m).‎ 题组三 易错自纠 ‎5.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ 答案 B 解析 所求面积=ʃ(-x2+2x)dx==-+4=.‎ ‎6.一物体作变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在 s~6 s间的运动路程为____ m.‎ 答案  解析 由题图可知,v(t)= 由变速直线运动的路程公式,可得 s=+ʃ2dt+ʃdt ‎==(m).‎ 所以物体在 s~6 s间的运动路程是 m.‎ ‎7.=________.‎ 答案 2‎ 解析 由题意得 ‎=‎ ‎=-(sin 0-cos 0)=2.‎ 题型一 定积分的计算 利用微积分基本定理求下列定积分:‎ ‎(1)ʃ(x2+2x+1)dx;‎ ‎(2)ʃ(sin x-cos x)dx;‎ ‎(3)ʃ|1-x|dx;‎ ‎(4)ʃdx;‎ ‎(5)ʃe|x|dx;‎ ‎(6)若ʃ(x2+mx)dx=0,求m.‎ 解 (1)ʃ(x2+2x+1)dx=ʃx2dx+ʃ2xdx+ʃ1dx ‎=+x2|+x|=.‎ ‎(2)ʃ(sin x-cos x)dx=ʃsin xdx-ʃcos xdx ‎==2.‎ ‎(3)ʃ|1-x|dx=ʃ(1-x)dx+ʃ(x-1)dx ‎= ‎=-0+- ‎=1.‎ ‎(4)ʃdx=ʃe2xdx+ʃdx ‎==e4-e2+ln 2-ln 1‎ ‎=e4-e2+ln 2.‎ ‎(5)ʃe|x|dx=ʃe-xdx+ʃexdx ‎= ‎=-1+e+e-1=2e-2.‎ ‎(6)∵ʃ(x2+mx)dx==+=0,‎ ‎∴m=-.‎ 思维升华 计算定积分的解题步骤 ‎(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.‎ ‎(2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分.‎ ‎(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.‎ ‎(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.‎ 题型二 定积分的几何意义 命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分 例1 设f(x)=则ʃf(x)dx的值为________.‎ 答案 + 解析 根据定积分性质可得ʃf(x)dx=ʃdx+ʃ(x2-1)dx,根据定积分的几何意义可知,ʃdx是以原点为圆心,以1为半径的圆面积的,∴ʃdx=,‎ ‎∴ʃf(x)dx=+=+.‎ 命题点2 求平面图形的面积 例2 (1)曲线y=与直线y=x-1,x=1所围成的封闭图形的面积为________.‎ 答案 2ln 2- 解析 解方程组得则曲线y=与直线y=x-1,x=1所围成的封闭图形如图所示,所求的面积S=ʃdx= ‎=(2ln 2-2+2)-=2ln 2-.‎ ‎(2)曲线y=x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________.‎ 答案  解析 设曲线y=x2在点(2,1)处的切线为l,‎ ‎∵y′=x,∴直线l的斜率k=y′|x=2=1,‎ ‎∴直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.‎ 当y=0时,x-1=0,即x=1,‎ 所围成的封闭图形如图所示,‎ ‎∴所求面积S=ʃx2dx-×1×1‎ ‎=-=.‎ 思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分.‎ ‎(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ‎①画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;‎ ‎②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;‎ ‎③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;‎ ‎④计算定积分,写出答案.‎ 跟踪训练1 (1)定积分ʃdx的值为________.‎ 答案  解析 由定积分的几何意义知,ʃdx是由曲线y=,直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积.故ʃdx==.‎ ‎(2)(2018·赤峰模拟)曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为________.‎ 答案 2- 解析 令2sin x=1,得sin x=,‎ 当x∈[0,π]时,得x=或x=,‎ 所以所求面积S=‎ ‎=(-2cos x-x)= 题型三 定积分在物理中的应用 例3 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离是________ m.‎ 答案 4+25ln 5‎ 解析 令v(t)=0,得t=4或t=-(舍去),‎ ‎∴汽车行驶距离s=ʃdt ‎= ‎=28-24+25ln 5=4+25ln 5(m).‎ 思维升华 定积分在物理中的两个应用 ‎(1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=ʃv(t)dt.‎ ‎(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=ʃF(x)dx.‎ 跟踪训练2 一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为(  )‎ A. J B. J C. J D.2 J 答案 C 解析 ʃF(x)cos 30°dx=ʃ(5-x2)dx ‎==,‎ 所以F(x)做的功为 J.‎ ‎1.ʃ(1-x)dx等于(  )‎ A.1 B.-1 C. D.- 答案 C 解析 ʃ(1-x)dx==.‎ ‎2.ʃ|sin x|dx等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案 D 解析 ʃ|sin x|dx=2ʃsin xdx=2(-cos x)|=2×(1+1)=4.‎ ‎3.(2018·丹东质检)ʃ(+x)dx等于(  )‎ A.π B. C.π+1 D.π-1‎ 答案 B 解析 ʃ(+x)dx=ʃdx+ʃxdx==.‎ 故选B.‎ ‎4.(2018·大连双基测试)等于(  )‎ A.0 B.- C.- D.-1‎ 答案 B 解析 ‎ ‎==-.‎ ‎5.(2018·大连调研)若ʃdx=3+ln 2(a>1),则a的值是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 答案 A 解析 由题意知ʃdx=(x2+ln x)| ‎=a2+ln a-1=3+ln 2,解得a=2(舍负).‎ ‎6.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则ʃf(x)dx的值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 ʃf(x)dx=ʃf(x)dx+ʃf(x)dx=ʃx2dx+ʃdx=+ln x|=+1=.故选A.‎ ‎7.设a=ʃcos xdx,b=ʃsin xdx,则下列关系式成立的是(  )‎ A.a>b B.a+b<1‎ C.a1,∴sin 1>1-cos 1,即a>b.故选A.‎ ‎8.已知函数y=f(x)的图象为如图所示的折线ABC,则ʃ[(x+1)f(x)]dx等于(  )‎ A.2 B.-2‎ C.1 D.-1‎ 答案 D 解析 由题图易知f(x)= 所以ʃ[(x+1)f(x)]dx=ʃ(x+1)(-x-1)dx+‎ ʃ(x+1)(x-1)dx=ʃ(-x2-2x-1)dx+ʃ(x2-1)dx ‎=+=-- ‎=-1,故选D.‎ ‎9.ʃdx=________.‎ 答案 ln 2+ 解析 ʃdx==ln 2+-=ln 2+.‎ ‎10.(2018·锦州调研)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为________.‎ 答案  解析 所求面积S=‎ ‎=sin -=.‎ ‎11.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.‎ 答案  解析 封闭图形如图所示,‎ 则解得a=.‎ ‎12.(2018·包头模拟)设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若ʃf(x)dx=3f(x0),x0>0,则x0=________.‎ 答案  解析 ∵f(x)=ax2+b,ʃf(x)dx=3f(x0),‎ ‎∴ʃ(ax2+b)dx==9a+3b,‎ 则9a+3b=3ax+3b,∴x=3,‎ 又x0>0,∴x0=.‎ ‎13.由曲线y=x2和曲线y=围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A.     B. C.     D. 答案 A 解析 由题意得,所求阴影部分的面积故选A.‎ ‎14.(2018·呼和浩特质检)若S1=ʃx2dx,S2=ʃdx,S3=ʃexdx,则S1,S2,S3的大小关系为(  )‎ A.S1
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