【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版3-3定积分与微积分基本定理学案
§3.3 定积分与微积分基本定理
最新考纲
考情考向分析
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
利用定积分求平面图形的面积,定积分的计算是高考考查的重点.
1.定积分的概念
设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上用分点a=x0
0.( √ )
(3)若ʃf(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( × )
(4)曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是ʃ(x2-x)dx.( × )
题组二 教材改编
2.ʃdx=________.
答案 1
解析 ʃdx=ln(x-1)|=ln e-ln 1=1.
3.ʃdx=________.
答案
解析 ʃdx表示由直线x=0,x=-1,y=0以及曲线y=所围成的图形的面积,
∴ʃdx=.
4.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是______m.
答案
解析 s=ʃ(3t+2)dt=
=×4+4-=10-=(m).
题组三 易错自纠
5.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )
A.1 B.
C. D.2
答案 B
解析 所求面积=ʃ(-x2+2x)dx==-+4=.
6.一物体作变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在 s~6 s间的运动路程为____ m.
答案
解析 由题图可知,v(t)=
由变速直线运动的路程公式,可得
s=+ʃ2dt+ʃdt
==(m).
所以物体在 s~6 s间的运动路程是 m.
7.=________.
答案 2
解析 由题意得
=
=-(sin 0-cos 0)=2.
题型一 定积分的计算
利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)ʃ(x2+2x+1)dx;
(2)ʃ(sin x-cos x)dx;
(3)ʃ|1-x|dx;
(4)ʃdx;
(5)ʃe|x|dx;
(6)若ʃ(x2+mx)dx=0,求m.
解 (1)ʃ(x2+2x+1)dx=ʃx2dx+ʃ2xdx+ʃ1dx
=+x2|+x|=.
(2)ʃ(sin x-cos x)dx=ʃsin xdx-ʃcos xdx
==2.
(3)ʃ|1-x|dx=ʃ(1-x)dx+ʃ(x-1)dx
=
=-0+-
=1.
(4)ʃdx=ʃe2xdx+ʃdx
==e4-e2+ln 2-ln 1
=e4-e2+ln 2.
(5)ʃe|x|dx=ʃe-xdx+ʃexdx
=
=-1+e+e-1=2e-2.
(6)∵ʃ(x2+mx)dx==+=0,
∴m=-.
思维升华 计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.
(2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分.
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
题型二 定积分的几何意义
命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
例1 设f(x)=则ʃf(x)dx的值为________.
答案 +
解析 根据定积分性质可得ʃf(x)dx=ʃdx+ʃ(x2-1)dx,根据定积分的几何意义可知,ʃdx是以原点为圆心,以1为半径的圆面积的,∴ʃdx=,
∴ʃf(x)dx=+=+.
命题点2 求平面图形的面积
例2 (1)曲线y=与直线y=x-1,x=1所围成的封闭图形的面积为________.
答案 2ln 2-
解析 解方程组得则曲线y=与直线y=x-1,x=1所围成的封闭图形如图所示,所求的面积S=ʃdx=
=(2ln 2-2+2)-=2ln 2-.
(2)曲线y=x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________.
答案
解析 设曲线y=x2在点(2,1)处的切线为l,
∵y′=x,∴直线l的斜率k=y′|x=2=1,
∴直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.
当y=0时,x-1=0,即x=1,
所围成的封闭图形如图所示,
∴所求面积S=ʃx2dx-×1×1
=-=.
思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分.
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;
②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;
④计算定积分,写出答案.
跟踪训练1 (1)定积分ʃdx的值为________.
答案
解析 由定积分的几何意义知,ʃdx是由曲线y=,直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积.故ʃdx==.
(2)(2018·赤峰模拟)曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为________.
答案 2-
解析 令2sin x=1,得sin x=,
当x∈[0,π]时,得x=或x=,
所以所求面积S=
=(-2cos x-x)=
题型三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离是________ m.
答案 4+25ln 5
解析 令v(t)=0,得t=4或t=-(舍去),
∴汽车行驶距离s=ʃdt
=
=28-24+25ln 5=4+25ln 5(m).
思维升华 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=ʃv(t)dt.
(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=ʃF(x)dx.
跟踪训练2 一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为( )
A. J B. J
C. J D.2 J
答案 C
解析 ʃF(x)cos 30°dx=ʃ(5-x2)dx
==,
所以F(x)做的功为 J.
1.ʃ(1-x)dx等于( )
A.1 B.-1 C. D.-
答案 C
解析 ʃ(1-x)dx==.
2.ʃ|sin x|dx等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 ʃ|sin x|dx=2ʃsin xdx=2(-cos x)|=2×(1+1)=4.
3.(2018·丹东质检)ʃ(+x)dx等于( )
A.π B. C.π+1 D.π-1
答案 B
解析 ʃ(+x)dx=ʃdx+ʃxdx==.
故选B.
4.(2018·大连双基测试)等于( )
A.0 B.-
C.- D.-1
答案 B
解析
==-.
5.(2018·大连调研)若ʃdx=3+ln 2(a>1),则a的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案 A
解析 由题意知ʃdx=(x2+ln x)|
=a2+ln a-1=3+ln 2,解得a=2(舍负).
6.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则ʃf(x)dx的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ʃf(x)dx=ʃf(x)dx+ʃf(x)dx=ʃx2dx+ʃdx=+ln x|=+1=.故选A.
7.设a=ʃcos xdx,b=ʃsin xdx,则下列关系式成立的是( )
A.a>b B.a+b<1
C.a1,∴sin 1>1-cos 1,即a>b.故选A.
8.已知函数y=f(x)的图象为如图所示的折线ABC,则ʃ[(x+1)f(x)]dx等于( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
答案 D
解析 由题图易知f(x)=
所以ʃ[(x+1)f(x)]dx=ʃ(x+1)(-x-1)dx+
ʃ(x+1)(x-1)dx=ʃ(-x2-2x-1)dx+ʃ(x2-1)dx
=+=--
=-1,故选D.
9.ʃdx=________.
答案 ln 2+
解析 ʃdx==ln 2+-=ln 2+.
10.(2018·锦州调研)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为________.
答案
解析 所求面积S=
=sin -=.
11.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.
答案
解析 封闭图形如图所示,
则解得a=.
12.(2018·包头模拟)设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若ʃf(x)dx=3f(x0),x0>0,则x0=________.
答案
解析 ∵f(x)=ax2+b,ʃf(x)dx=3f(x0),
∴ʃ(ax2+b)dx==9a+3b,
则9a+3b=3ax+3b,∴x=3,
又x0>0,∴x0=.
13.由曲线y=x2和曲线y=围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意得,所求阴影部分的面积故选A.
14.(2018·呼和浩特质检)若S1=ʃx2dx,S2=ʃdx,S3=ʃexdx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A.S1
查看更多