【数学】2018届一轮复习北师大版　绝对值不等式学案

【数学】2018届一轮复习北师大版　绝对值不等式学案

知识点 考纲下载 绝对值不等式 理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：‎ ‎(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ 不等式的证明 ‎1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．‎ ‎2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：‎ ‎(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．‎ 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．‎ ‎3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．‎ ‎4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．‎ 柯西不等式与排序不等式 ‎1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．‎ ‎(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.‎ ‎(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ ‎(3)＋≥.‎ ‎(此不等式通常称为平面三角不等式)‎ ‎2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：‎ ‎3．会用向量递归方法讨论排序不等式．‎ 第1讲　绝对值不等式 ‎[学生用书P247]‎ ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎ (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．‎ ‎　含绝对值不等式的解法[学生用书P248]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　设函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，求a的值．‎ ‎【解】　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，‎ 所以或 或，‎ 所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)≤1即|x－a|≤1，‎ 解得a－1≤x≤a＋1，‎ 而f(x)≤1的解集是[0，2]，‎ 所以，解得a＝1.‎ ‎　 ‎ ‎　解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.‎ ‎[解] (1)当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，‎ 解得x<10，所以x<－3.‎ ‎(2)当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，‎ 解得x<－，所以－3≤x<－.‎ ‎(3)当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，所以x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎　绝对值不等式性质的应用[学生用书P248]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　设不等式|x－2|0; ‎ ‎(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，求实数m的取值范围．‎ ‎[解] (1)不等式f(x)>0，‎ 即|2x－1|>|x＋2|，‎ 即4x2－4x＋1>x2＋4x＋4，‎ 即3x2－8x－3>0，‎ 解得x<－或x>3，‎ 所以不等式f(x)>0的解集为.‎ ‎(2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝，‎ 故f(x)的最小值为f＝－.‎ 因为∃x0∈R，‎ 使得f(x0)＋2m2<4m，‎ 所以4m－2m2>－，‎ 解得－4，|x＋3|＋|x－4|≤11⇒x＋3＋x－4≤11⇒40，所以4t＋≥2＝4，当且仅当4t＝，即t＝时，等号成立，所以B＝[4，＋∞)，‎ 所以A∩B＝[4，6]．‎ ‎2．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．‎ ‎(1)求m＋n的值；‎ ‎(2)若|x－a|－2时，只需满足点(a，a＋2)不在点的下方即可，所以a＋2≥a，即－21时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.‎ 不等式组的解集为.‎ 综上得，f(x)≥3的解集为∪.‎ ‎(2)若a＝1，则f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．‎ 若a<1，则f(x)＝ f(x)的最小值为1－a.‎ 若a>1，则f(x)＝ f(x)的最小值为a－1.‎ 所以∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ ‎8．(2017·湖南常德模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<2的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤a－有解，求a的取值范围．‎ ‎[解] (1)当x>1时，f(x)＝2x＋1－(x－1)＝x＋2，‎ 因为f(x)<2，‎ 所以x<0，此时无解；‎ 当－≤x≤1时，f(x)＝2x＋1－(1－x)＝3x，‎ 因为f(x)<2，所以x<，此时－≤x<；‎ 当x<－时，f(x)＝－2x－1－(1－x)＝－x－2，‎ 因为f(x)<2，‎ 所以x>－4，此时－4－；‎ 当－≤x≤1时，－≤f(x)≤3；‎ 当x>1时，f(x)>3.所以f(x)min＝－，故－≤a－⇒a2－2a－3≤0⇒－1≤a≤3.‎