【数学】2019届一轮复习人教A版极坐标系与参数方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版极坐标系与参数方程学案

专题七 极坐标系与参数方程 ‎【高考考场实情】‎ 极坐标与参数方程为高考选考内容之一，一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。‎ ‎【考查重点难点】‎ 主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查，下面从 生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教 对策. : XX ]‎ ‎【存在问题分析】‎ ‎（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位 ‎【例1】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.直线与曲线交于两点.求的长；‎ ‎【名师点睛】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，错误的由点对应的参数分别为得. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，‎ 才表示距离.一般地，直线（t表示参数），当时，表示点到点的距离. - + ‎ ‎【例2】在直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．在以为极点，轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，若直线与曲线相交于两点，设，且,求直线的倾斜角．‎ ‎【解析】直线为经过点倾斜角为的直线，由代入，整理得，，设对应的参数分别为，则，， 所以，异号， 则，所以，又所以直线倾斜角或. ‎ ‎【名师点睛】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数的几何意义认识不到位所致，表示距离，是包含符号的，由于本题中，在点的两侧，异号，故而不是. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的.‎ ‎（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价 ‎【例题3】将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程.‎ ‎【名师点睛】本题易错点主要在于忽视了三角函数的有界性，即所以 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意的取值范围.‎ ‎（三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题 ‎【例题4】（2017全国II卷22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）M为曲线上的动点,点P在线段上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设P的极坐标为，M的极坐标为，则由已知得 即，得的极坐标方程为，‎ 所以的直角坐标方程为 ‎【名师点睛】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位，其一，不能将极径与、建立联系，从而无法快速求出P的轨迹方程，其二，不能利用极径的几何意义建立的面积模型进行求解，而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路，结果造成不能顺利建模亦或是建立面积关于直线OB斜率的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解. 此外，在第（Ⅰ）问题目中还隐含着一个条件，如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件.‎ ‎（四）思维不严谨性，完备性欠缺 ‎【例题5】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）.‎ ‎ （Ⅰ）将的方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程是求曲线与交点的极坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的参数方程为为参数）的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）把代入得曲线的极坐标方程为，把代入得，又因为曲线和曲线的均过原点，.所以曲线与交点的极坐标为 ‎【名师点睛】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏（0,0）点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中，经常需要在方程两边同乘以或除以，这时需要考虑等价问题：如果曲线不通过极点，那么与不等价；如果曲线通过极点，那么与等价，这是因为包含在方程的曲线中. 本题由于曲线和曲线的均过原点，所以交点的极坐标还包含有.如果本题用直角坐标方程求解也不难，且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题，一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.‎ ‎【例题6】在直角坐标系中，直线曲线（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）写出直线与的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线分别交与于A，B两点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线直线的极坐标方程为曲线的普通方程为，曲线 的极坐标方程为.‎ ‎【名师点睛】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘，求出后直接得的取值范围是忽略了射线分别交与于相交，隐含着这一条件.‎ ‎【解决问题对策】‎ ‎（一）关注两个“互化”的技能训练 ‎【指点迷津】参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.‎ ‎【例7】（2017年高考全国III卷23）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．‎ ‎（Ⅱ）将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.‎ 由，解得，即的极半径是．‎ ‎（二）强化对直线参数方程中参数的几何意义的认识 ‎【指点迷津】利用直线参数方程中参数的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意表示距离时方程的特征和所具有的“方向”性.‎ ‎【例8】在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.‎ 可知 代入可得解得，‎ 可知 所以PQ=当且仅当时取等号，‎ 所以线段PQ长度的最小值为. / ++ ‎ ‎（三）关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用 ‎【指点迷津】涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理.‎ ‎【例9】（2017年高考全国I卷22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.‎ ‎（Ⅰ）若，求与的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若上的点到的距离的最大值为，求.‎ ‎（四）关注极径、极角几何意义的认识与应用 ‎【例10】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由消去参数可得普通方程为，.‎ ‎，，‎ 由，得曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线：，其极坐标方程为，‎ 由题意设，，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎（五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决[ : * * ]‎ ‎【指点迷津】将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.‎ ‎【例11】（2016年高考全国Ⅲ卷22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎【解法一】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点，因为直线，所以的最小值即为点到直线的距离的最小值.‎ 而点到直线的距离为 当且仅当时，取得最小值，即的最小值为，此时点.‎ ‎【解法二】（Ⅰ）同法（Ⅰ）. ‎ 当时，方程可化为，即[ : XX ]‎ 所以，，即切点，此时 ，即的最小值为.‎ ‎【名师点睛】显然，法一优于法二，即利用椭圆参数方程，将问题转化为三角函数最值运算优于转化为直角坐标用解析几何知识解决.‎ ‎【新题好题训练】‎ ‎1．已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于两点．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；‎ ‎（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）利用消参后可得曲线C的普通方程，把代入交消去参数可得直线的普通方程，再把直线方程代入曲线C方程，结合韦达定理、弦长公式可得弦长；‎ ‎（II）直线的参数方程是标准参数方程，直接代入曲线C的普通方程，A、B两点参数是此方程的解，且，由此可得其取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），‎ 曲线的普通方程为．‎ 当时，直线的方程为，‎ 代入，可得，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）直线参数方程代入，‎ 得．‎ 设对应的参数为，‎ ‎∴ ．‎ ‎2．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；‎ ‎（2）判断曲线是否相交，若相交，求出相交弦长. ‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.‎ 试题解析：（1）由题知，将曲线的参数方程消去参数，‎ 可得曲线的普通方程为.‎ 由，‎ 得.‎ 将，代入上式，‎ 得，‎ 即.‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，‎ 因为圆心到直线的距离，‎ 所以曲线相交，‎ 所以相交弦长为. / * ‎ ‎3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点 为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；‎ ‎(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.‎ ‎ (2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：‎ 解之得：、，‎ ‎（法二）直线与曲线C1的交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：‎ 联立方程可得:、,所以边上的高为，‎ ‎4．已知圆锥曲线（为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.[ : xx ]‎ 解析：（1）得圆锥曲线的直角坐标方程为，‎ 椭圆的左焦点为，右焦点为，‎ ‎∴直线的直角坐标方程为，即为 ‎（2）∵直线与直线垂直且过点，‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）.‎ 将其代入得，即，‎ ‎∴，，∴与异号，∴.‎ ‎∴=.‎ ‎5．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.‎ 试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.‎ 所以点的直角坐标为. ‎ 将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ‎ ‎（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）‎ 代入，整理得：.‎ 设点、对应的参数值分别为、.则，‎ ‎. ‎ 解法二：过点作圆：的切线，切点为，‎ 连接，因为点由平面几何知识得： ‎ ‎，‎ 所以 .‎ ‎6．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的参数方程为（为参数，），‎ 消去参数可得，‎ 由于，所以，‎ 故曲线的轨迹方程是.‎ 由，可得，即，‎ 把代入上式可得，‎ 故直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，‎ 半圆的圆心到直线的距离等于，‎ 故的最小值为.‎ 点睛：解答本题时注意以下两点：‎ ‎（1）消去参数方程中的参数得到普通方程时，要注意参数取值范围的限制，在普通方程中仍要注明取值范围．‎ ‎（2）解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量． 3 ‎ ‎7．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为.‎ ‎（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；‎ ‎（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.[ : X X ]‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方则，有恒成立，即 ‎ 恒成立，恒成立，即可求的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意，设，则点到直线的距离 ‎，‎ 当，即，时，，‎ 故点到直线的距离的最小值为. ‎ ‎（Ⅱ）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，‎ 所以对，有恒成立，‎ 即 恒成立，‎ 所以，‎ 又，所以.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查 生转化问题的能力，属于中档题．‎ ‎8．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)或．‎ 试题解析（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为，‎ 即，化为极坐标方程为，‎ 由曲线的极坐标方程（），得（），‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即．‎ ‎（2）曲线的圆心到直线的距离，‎ 故的最小值为，解得或．‎ ‎9．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，点的曲线上运动.‎ ‎(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设，则，‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎．‎ 将代入上式可得点的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，则 ‎，‎ 的面积 ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立 面积的最大值为．‎ ‎10．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.‎ ‎(I)求圆的直角坐标方程；‎ ‎(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;(Ⅱ) 见解析.‎ ‎【解析】分析: (I)直接利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程. (II)先求出直线l与圆的公共点，再数形结合分析出的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ）∵圆的极坐标方程为 又 ‎∴‎ ‎∴圆普通方程为，‎ 设 ‎.‎ 故点在线段上从而当与点重合时，‎ 当与点重合时，‎ 故的取值范围为[-1,1].‎ 点睛：对于第(Ⅱ)问，方法比较多，本题的解答时利用了数形结合的方法., 表示直线的纵截距，纵截距最大， 最大，纵截距最小， 最小. 一般看到二元一次多项式要联想到利用直线的纵截距的几何意义解答比较方便. · 2 ‎