【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案

‎ ‎ ‎1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.‎ ‎2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值,图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知识点一 周期函数与最小正周期 ‎ 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有____________,则称f(x)为周期函数,T为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期.‎ 答案 f(x+T)=f(x)‎ ‎1.下列函数中,以π为周期的偶函数是(  )‎ A.y=sin2x       B.y=cos C.y=sin D.y=cos2x 解析:由正余弦函数周期求解公式可知y=sin2x,y=cos2x的周期为π,y=cos,y=sin的周期为4π,其中y=cos2x是偶函数.‎ 答案:D ‎2.(2016·山东卷)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是(  )‎ A. B.π C. D.2π ‎ 解析:通性通法:由题意得f(x)=3sinxcosx-sin2x+cos2x-sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin(2x+).故该函数的最小正周期T==π.故选B.‎ 光速解法:由题意得f(x)=2sin×2cos=2sin,故该函数的最小正周期T==π,故选B.‎ 答案:B 知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 ‎ 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R ‎{x|x≠+kπ,‎ k∈Z}‎ 值域 ‎________‎ ‎________‎ ‎____‎ 单调性 递增区间:‎ ‎___________________‎ 递减区间:‎ ‎___________________‎ 递增区间:‎ ‎________________‎ 递减区间:‎ ‎________________‎ 递增区间:‎ ‎________________‎ 最值 x=______________时,ymax=1‎ x=______________时,ymin=-1‎ x=__________时,ymax=1‎ x=____________时,ymin=-1‎ 无最值 奇偶性 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 对称性 对称中心 ‎____________‎ 对称中心 ‎________________‎ 对称中心 ‎____________‎ 对称轴l 对称轴l 无对称轴 ‎________________‎ ‎____________‎ 周期 ‎____‎ ‎____‎ ‎____‎ 答案 ‎[-1,1] [-1,1] R [2kπ-,2kπ+](k∈Z) [2kπ+,2kπ+π](k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) (kπ-,kπ+)(k∈Z)‎ ‎2kπ+(k∈Z) 2kπ-(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 2kπ+π(k∈Z) 奇函数 偶函数 奇函数 (kπ,0),k∈Z (kπ+,0),k∈Z (,0),k∈Z x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z 2π 2π π ‎3.(必修④P40练习第3(2)题改编)函数f(x)=4-2cosx的最小值是________,取得最小值时,x的取值集合为_____________________.‎ 解析:f(x)min=4-2=2,此时,x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}.‎ 答案:2 {x|x=6kπ,k∈Z}‎ ‎4.(选修④P40第4题改编)函数y=4sinx,x∈[-π,π]的单调性是(  )‎ A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数 B.在上是增函数,在和上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数 D.在∪上是增函数,在上是减函数 解析:由函数y=4sinx,x∈[-π,π]的图象可知,该函数在上是增函数,在和上是减函数.‎ 答案:B ‎5.(必修4P39例4(2)改编)比较大小:cos________‎ cos.‎ 解析:因为cos=cos=cos,cos=cos=cos,又0<<<π,且函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数,所以cos,由正弦曲线得+2kπ0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【解析】 (1)由已知函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故所给函数的单调减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点,所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;‎ 当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.‎ 由f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增,在上单调递减知,=,所以ω=.‎ ‎【答案】 (1)(k∈Z) (2)B 考向3 奇偶性与对称性 ‎【例5】 当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数y=f(  )‎ A.是奇函数且图象关于点对称 B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称 C.是奇函数且图象关于直线x=对称 D.是偶函数且图象关于直线x=π对称 ‎【解析】 ∵当x=时,函数f(x)取得最小值,‎ ‎∴sin=-1,∴φ=2kπ-(k∈Z).‎ ‎∴f(x)=sin=sin.‎ ‎∴y=f=sin(-x)=-sinx.‎ ‎∴y=f是奇函数,且图象关于直线x=对称.‎ ‎【答案】 C ‎【总结反思】‎ ‎1.求三角函数单调区间的2种方法 ‎(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.‎ ‎(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.‎ 提醒:求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.‎ ‎2.三角函数奇偶性、对称性的判断方法 ‎(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.‎ ‎(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.‎ ‎(1)(2017·太原模拟)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为(  )‎ A.    B.    C.    D. ‎(2)(2017·洛阳模拟)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是(  )‎ A. B. ‎ C. D.(0,2]‎ 解析:(1)由题意得3cos ‎=3cos=3cos=0,‎ 所以+φ=kπ+,k∈Z,‎ 所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.‎ ‎(2)由
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