【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版三角函数的图象与性质学案

‎　‎ ‎1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ 知识点一　周期函数与最小正周期 ‎ 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．‎ 答案 f(x＋T)＝f(x)‎ ‎1．下列函数中，以π为周期的偶函数是(　　)‎ A．y＝sin2x　　　　　　　B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos2x 解析：由正余弦函数周期求解公式可知y＝sin2x，y＝cos2x的周期为π，y＝cos，y＝sin的周期为4π，其中y＝cos2x是偶函数．‎ 答案：D ‎2．(2016·山东卷)函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C. D．2π ‎ 解析：通性通法：由题意得f(x)＝3sinxcosx－sin2x＋cos2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.‎ 光速解法：由题意得f(x)＝2sin×2cos＝2sin，故该函数的最小正周期T＝＝π，故选B.‎ 答案：B 知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 ‎ 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R ‎{x|x≠＋kπ，‎ k∈Z}‎ 值域 ‎________‎ ‎________‎ ‎____‎ 单调性 递增区间：‎ ‎___________________‎ 递减区间：‎ ‎___________________‎ 递增区间：‎ ‎________________‎ 递减区间：‎ ‎________________‎ 递增区间：‎ ‎________________‎ 最值 x＝______________时，ymax＝1‎ x＝______________时，ymin＝－1‎ x＝__________时，ymax＝1‎ x＝____________时，ymin＝－1‎ 无最值 奇偶性 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 对称性 对称中心 ‎____________‎ 对称中心 ‎________________‎ 对称中心 ‎____________‎ 对称轴l 对称轴l 无对称轴 ‎________________‎ ‎____________‎ 周期 ‎____‎ ‎____‎ ‎____‎ 答案 ‎[－1,1]　[－1,1]　R　[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)　[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　(kπ－，kπ＋)(k∈Z)‎ ‎2kπ＋(k∈Z)　2kπ－(k∈Z)　2kπ(k∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)　奇函数　偶函数　奇函数　(kπ，0)，k∈Z　(kπ＋，0)，k∈Z　(，0)，k∈Z　x＝kπ＋，k∈Z　x＝kπ，k∈Z　2π　2π　π ‎3．(必修④P40练习第3(2)题改编)函数f(x)＝4－2cosx的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为_____________________．‎ 解析：f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．‎ 答案：2　{x|x＝6kπ，k∈Z}‎ ‎4．(选修④P40第4题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是(　　)‎ A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在∪上是增函数，在上是减函数 解析：由函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数．‎ 答案：B ‎5．(必修4P39例4(2)改编)比较大小：cos________‎ cos.‎ 解析：因为cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos，又0<<<π，且函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，所以cos，由正弦曲线得＋2kπ0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎【解析】　(1)由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所给函数的单调减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)因为f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx是增函数；‎ 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．‎ 由f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，所以ω＝.‎ ‎【答案】　(1)(k∈Z)　(2)B 考向3　奇偶性与对称性 ‎【例5】　当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(　　)‎ A．是奇函数且图象关于点对称 B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 ‎【解析】　∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，‎ ‎∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．‎ ‎∴f(x)＝sin＝sin.‎ ‎∴y＝f＝sin(－x)＝－sinx.‎ ‎∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．‎ ‎【答案】　C ‎【总结反思】‎ ‎1．求三角函数单调区间的2种方法 ‎(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．‎ ‎(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．‎ 提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．‎ ‎2．三角函数奇偶性、对称性的判断方法 ‎(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.‎ ‎(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.‎ ‎(1)(2017·太原模拟)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. ‎(2)(2017·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D．(0,2]‎ 解析：(1)由题意得3cos ‎＝3cos＝3cos＝0，‎ 所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.‎ ‎(2)由

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