2019届二轮复习三角函数和三角变换学案(全国通用)

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2019届二轮复习三角函数和三角变换学案(全国通用)

‎2019年高考数学二轮复习创新课堂 考情速递 ‎1真题感悟 真题回放 ‎1(2018年新课标Ⅲ文)若sin α=,则cos 2α=( )‎ A. B. C.- D.- ‎【答案】B ‎【解析】cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.‎ ‎2.(2018年新课标Ⅲ文)函数f(x)=的最小正周期为( )‎ A. B. C.π D.2π ‎【答案】C ‎【解析】f(x)===sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.‎ ‎3(2018年北京)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎4(2018年新课标Ⅱ文)已知tan=,则tan α= .‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵tan=tan=,∴tan α=tan===.‎ 题型一:同角函数基本关系和诱导公式的应用 变式训练1‎ ‎(2018•潍坊二模)已知α∈(),tan(α﹣π)=﹣,则cos()=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:B 变式训练2‎ ‎(2018•齐齐哈尔三模)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若cos,则cos(2α+β)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:A;‎ ‎【解析】:由角α与角β终边关于x轴对称,得α+β=2kπ(k∈ ),‎ 则cos(2α+β)=cos(2kπ+α)=cosα=.故选:A.‎ 题型二:三角函数的图像和性质 变式训练3‎ ‎(2018•宣城二模)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asinωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎【答案】:B 题型3三角函数的图像变换 例3(2018年天津)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间[-,]上单调递增 ‎ B.在区间[-,0]上单调递减 C.在区间[,]上单调递增 ‎ D.在区间[,π]上单调递减 ‎【分析】‎ ‎:先利用三角函数图像的平移变换得到平移后函数的解析式,再利用三角函数的性质判断函数的单调性即可。‎ ‎【答案】A ‎【名师点评】解决这类问题的关键是,首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数,这是判断移动方向的关键点。角函数图象的平移注意两点:①必须是同名函数之间的平移,非同名函数的平移必须利用诱导公式化为同名函数再平移。②非标准形式需要利用三角函数恒等变换化为的形式,再平移。‎ 变式训练5‎ ‎(2018•榆林一模)已知曲线,则下列说法正确的是(  )‎ A.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2‎ B.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2‎ C.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2‎ D.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2]‎ ‎【答案】B ‎【解析】:根据曲线=sin(x﹣),‎ 把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin(x)的图象;‎ 再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2:y=sin(x﹣) 的图象,‎ 故选:B.‎ 题型四三角函数式的化简、求值 例1.(2018年浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-,-).‎ ‎(1)求sin(α+π)的值;‎ ‎(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.‎ ‎【思路分析】(Ⅰ)由已知条件即可求r,则sin(α+π)的值可得; (Ⅱ)由已知条件即可求sinα,cosα,cos(α+β),再由cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα代值计算得答案.‎ ‎【解析】(1)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(-,-).‎ ‎∴x=-,y=-,r=|OP|==1,‎ ‎∴sin(α+π)=-sin α=-=.‎ ‎【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义,考查了三角函数的诱导公式的应用,求值与化简中以角作为主观点,观察、分析条件和目标的角间差异,探求其间的某种内在联系,如和、差、倍、半等关系,使条件中的角的形式向目标转化,或向目标式中角的形式靠拢,以达到优化解法或突破难点的目的。‎ 变式训练6 学 ]‎ ‎ (2018年江苏)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ ‎【解析】(1)由解得 ‎∴cos2α=cos2α-sin2α=-.‎ ‎3.新题预测 ‎1.(2018•潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点,则sin(π﹣α)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:∵角α的终边经过点,‎ 可得cosα=sin=,sinα=cos=﹣,∴sin(π﹣α)=sinα=﹣,‎ 故选:C.‎ ‎2.(2018•福建模拟)将函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f(x)的图象,则(  )‎ A.y=f(x)的图象关于直线对称 B.f(x)的最小正周期为 C.y=f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在单调递增 ‎【答案】:D ‎【解析】函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得:y=sinx,‎ 即f(x)=sinx.‎ 根据正弦函数的图象及性质:可知:对称轴x=,∴A不对.‎ 周期T=2π,∴B不对.‎ 对称中心坐标为:(kπ,0),∴C不对.‎ 单调递增区间为[],k∈ ,∴f(x)在单调递增.故选:D.‎ 专项训练 三角函数与三角恒等变换 一.选择题 ‎1..(2018•新疆二模)若函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位后所得的函数为偶函数,则φ的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:D ‎2. (2018•上饶三模)若,则cos(π+2α)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:A ‎【解析】∵,即sinα=﹣,则cos(π+2α)=﹣cos2α=﹣1+2sin2α=﹣1+2•=﹣,‎ 故选:A.‎ ‎3. (2018•黔东南州二模)已知直线y=﹣x+1的倾斜角为α,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:B ‎4. (2018•乐山三模)已知sin(﹣α)=,则cos(+2α)的值为(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:∵sin(﹣α)=,则cos(+2α)=cos(π++2α)=﹣cos(+2α)=﹣cos2(+α)‎ ‎=﹣2+1=﹣2+1=﹣2×+1=,‎ 故选:A.‎ ‎5. (2018•桃城区校级四模)函数的最小值为(  )‎ A. B.0 C. D.1‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ 由于,‎ 所以当x=0时,.‎ 故选:A.‎ ‎6. (2018•珠海二模)若函数f(x)=cos(2x+φ)在(0,)上单调递减,则φ的值可能是(  )‎ A.2π B.π C. D.﹣‎ ‎【答案】:A ‎7. (2018•保定二模)将函数f(x)=cos2x+1的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是(  )‎ A.函数y=g(x)的最小正周期为π B.函数y=g(x)的图象的一条对称轴为直线x=‎ C.函数y=g(x)是一个零点为 D.函数y=g(x)在区间[]上单调递减 ‎【答案】:D 学 ]‎ ‎【解析】:把f(x)=sin2x﹣cos2x+1=2sin(2x﹣)+1的图象向左平移个单位,‎ 得到函数y=2sin[2(x+)﹣]+1=2sin(2x+)+1的图象,‎ 再向下平移1个单位,得到函数y=g(x)=2sin(2x+)的图象,‎ 对于A,由于T==π,故正确;‎ 对于B,由2x+=kπ+,k∈ ,解得:x=+,k∈ ,‎ 可得:当k=0时,y=g(x)的图象的一条对称轴为直线x=,故正确;‎ 对于C,g()=2sin(2×+)=0,故正确;‎ 对于D,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈ ,‎ 解得:kπ+≤x≤kπ+,k∈ ,可得函数y=g(x)在区间[,]上单调递减,故D错误.‎ 故选:D. ]‎ ‎8. (2018•咸阳一模)已知α为第二象限角,且,则sinα﹣cosα=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:A ]‎ ‎9. (2018•深圳二模)已知点P1,P2为曲线y=sinωx﹣cosωx(x∈R)(常数ω>0)的两个相邻的对称中心,若该曲线在点P1,P2处的切线互相垂直,则ω的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:曲线y=sinωx﹣cosωx=sin(ωx﹣θ),tanθ=;‎ y′=ωcosωx+ωsinωx.‎ 令ωx﹣θ=kπ,k∈ .‎ 由k=0,可得一个对称中心为P1(,0),‎ k=1时,可得相邻的对称中心为P2(,0),‎ 曲线在点P1,P2处的切线互相垂直,即斜率k的乘积为﹣1,‎ ‎∴(ωcosθ+ωsinθ)[cos(π+θ)+ωsin(θ+π)]=﹣1,‎ ‎∴(ωcosθ+ωsinθ)2=1,‎ ‎2ω2cos2θ+2ω2sinθcosθ+ω2sin2θ=1,‎ 即2ω2+2ω2×tanθ+ω2tan2θ=tan2θ+1,‎ 解得:ω=,‎ 故选:A.‎ ‎10. (2018•焦作四模)函数图象的相邻对称轴之间的距离为,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)的最大值为1‎ B.f(x)的图象关于直线对称 C.的一个零点为 D.f(x)在区间上单调递减 ‎【答案】:A 对于C:f(x+)=2sin(2x+π+)=﹣2sin(2x+),当x=﹣时,可得:﹣2sin(+)=2;则C不对;‎ 对于D:令≤2x+,可得≤x≤是单调递减,则f(x)在区间上单调递减,则D对.‎ 故选:D.‎ ‎11. (2018•济南一模)若,,则sinA的值为(  )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】:B ‎【解析】:∵,,‎ ‎∴A+∈(,),可得:cos(A+)=﹣=﹣,‎ ‎∴sinA=sin[(A+)﹣]=[sin(A+)﹣cos(A+)]=×(+)=.‎ 故选:B.‎ ‎12. (2018•珠海一模)函数f(x)=asinωx+bcosωx=Asin(ωx+φ)的一个对称中心为,且f'(x)的一条对称轴为,当ω取得最小值时,=(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】:C ‎∴φ=k2π,k2∈ ,②‎ ‎∵|φ|<,ω>0,‎ 由①得,φ=,‎ 由②得,φ=,‎ 则,‎ 可得ω=2(k2﹣k1),则ω的最小值为2.‎ ‎∴φ=.‎ 此时=φcosφ=.‎ 故选:C.‎ 二、填空题 ‎13.(2018•汕头一模)若,则的值为 。‎ ‎【答案】:‎ ‎14. 函数f(x)=sin(2x+φ)﹣2cos(2x+φ)(0≤φ≤)的图象关于x=对称,则sinφ=  ‎ ‎【答案】:.‎ ‎【解析】:∵f(x)=sin(2x+φ)﹣2cos(2x+φ)=,(sinθ=,cosθ=).且f(x)的图象关于x=对称,∴φ+θ=,k∈ .则φ=kπ﹣θ,∴sinφ=sin(kπ﹣θ).当k为偶数时,sinφ=﹣sinθ=﹣(舍);当k为奇数时,sinφ=sinθ=.故答案为:.‎ ‎15. 已知,则=‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】:由,‎ 得,即,‎ ‎∴sinθcosθ=,‎ ‎∴==‎ ‎=.‎ ‎16. (2018•抚顺一模)已知函数的最小正周期为π,则当x∈[0,‎ 时函数f(x)的一个零点是  .‎ ‎【答案】:;‎
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