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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版 二项式定理 学案
专题55 二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理; 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tr+1=Can-rbr,它表示第r+1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C,C,…,C 2.二项式系数的性质 (1)当0≤k≤n时,C与C的关系是C=C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为Cn;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为. (3)各二项式系数和:C+C+C+…+C=2n, C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1. 高频考点一 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 例1、已知在的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为 Tk+1=Cxx-=Cx. 因为第6项为常数项,所以k=5时,=0,即n=10. (2)令=2,得k=2, 故含x2的项的系数是C=. 【举一反三】(1)在(-1)4的展开式中,x的系数为________. (2) (x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 答案 (1)6 (2)C 解析 (1)由题意可知Tk+1=C()4-k(-1)k=,令=1解得k=2,所以展开式中x的系数为C(-1)2=6. (2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解. (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5, 含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2. 其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5. 所以x5y2的系数为CC=30.故选C. 方法二 利用组合知识求解. (x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CC=30.故选C. 高频考点二 已知二项展开式某项的系数求参数 例2、 (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________. 答案 3 解析 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5), 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3. 【感悟提升】求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可. 【变式探究】(1) (x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案) (2) (x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案) 答案 (1)20 (2) 解析 (1)x2y7=x·(xy7),其系数为C, x2y7=y·(x2y6),其系数为-C, ∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20. (2)设通项为Tk+1=Cx10-kak,令10-k=7, ∴k=3,∴x7的系数为Ca3=15, ∴a3=,∴a=. 高频考点三 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3、(1)若二项式的展开式中各项系数的和是512,则展开式中的常数项为( ) A.-27C B.27C C.-9C D.9C (2) (1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=( ) A.1 024 B.243 C.32 D.24 【举一反三】在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*) 各项系数的和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数的和为C+C+…+C=210. (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. (3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29, 偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29. (4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,① 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1), 得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,② ①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510, ∴奇数项系数和为; ①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510, ∴偶数项系数和为. (5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=; x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=. 【变式探究】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n (m,n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取最小值时n的值; (2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和. 解 (1)由已知得C+2C=11,∴m+2n=11, x2的系数为C+22C=+2n(n-1) =+(11-m)=2+. ∵m∈N*, ∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3. (2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3, ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 设这时f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59, 令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30. 高频考点四 二项式定理的应用 例4、(1)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N+)能被31整除; (2)(设复数x=(i是虚数单位),则Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2 017=( ) A.i B.-i C.-1+i D.-1-i (1)证明 ∵1+2+22+…+25n-1= =25n-1=32n-1=(31+1)n-1 =C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1 =31(C×31n-1+C×31n-2+…+C), 显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数, ∴原式能被31整除. (2)解析 x===-1+i, Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2 017 =(1+x)2 017-1=i2 017-1=i-1. 答案 C 【方法规律】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项. (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式. 【举一反三】 设a∈Z,且0≤a<13,若512 016+a能被13整除,则a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 解析 ∵512 016+a=(52-1)2 016+a=C·522 016-C·522 015+C·522 014+…-C·52+1+a能被13整除,且0≤a<13,∴1+a能被13整除,故a=12. 答案 D 【感悟提升】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项. (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式. 【变式探究】1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C除以88的余数是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 答案 B 解析 1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1. 1.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位,则的展开式中含x4的项为 (A)-15x4 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4 【答案】A 【解析】二项式展开的通项,令,得,则展开式中含的项为,故选A. 2.【2016年高考北京理数】在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答) 【答案】60. 【解析】根据二项展开的通项公式可知,的系数为。 3.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10 【解析】 试题分析:的展开式的通项为(,1,2,…,5),令得,所以的系数是. 4.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】-56 【解析】展开式通项为,令,,所以的.故答案为-56. 5.【2016高考山东理数】若(ax2+)5的展开式中x5的系数是—80,则实数a=_______. 【答案】-2 【解析】因为,所以由,因此 1.【2015高考陕西,理4】二项式的展开式中的系数为15,则( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】二项式的展开式的通项是,令得的系数是,因为的系数为,所以,即,解得:或,因为,所以,故选C. 2.【2015高考湖北,理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得, 所以二项式中奇数项的二项式系数和为. 3..【2015高考重庆,理12】的展开式中的系数是________(用数字作答). 【答案】 4.【2015高考广东,理9】在的展开式中,的系数为 . 【答案】6. 【解析】由题可知,令解得,所以展开式中的系数为,故应填入6. 5.【2015高考四川,理11】在的展开式中,含的项的系数是 (用数字作答). 【答案】-40. 【解析】 ,所以的系数为. 6.【2015高考天津,理12】在 的展开式中,的系数为 . 【答案】 【解析】展开式的通项为,由得,所以,所以该项系数为. 7.【2015高考安徽,理11】的展开式中的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】35 【解析】由题意,二项式展开的通项,令,得,则的系数是. 8.【2015高考福建,理11】 的展开式中,的系数等于 .(用数字作答) 【答案】80 【解析】 的展开式中项为,所以的系数等于80. 9.【2015高考北京,理9】在的展开式中,的系数为 .(用数字作答) 【答案】40 【解析】利用通项公式,,令,得出的系数为 10.【2015高考新课标2,理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________. 【答案】3 【解析】由已知得,故的展开式中x的奇数次幂项分别为,,,,,其系数之和为,解得. 11.【2015高考湖南,理6】已知的展开式中含的项的系数为30,则( ) A. B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】,令,可得,故选D. 12.【2015高考上海,理11】在的展开式中,项的系数为 (结果用数值表示). 【答案】45 【解析】因为,所以项只能在展开式中,即为,系数为 1.(2014·安徽卷)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图13所示,则a=________. 图13 【答案】3 【解析】由图可知a0=1,a1=3,a2=4,由组合原理知故 解得 2.(2014·福建卷)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 【答案】A 3.(2014·湖北卷)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D. 【答案】C 【解析】展开式中含的项是T6=C(2x)2=C22a5x-3,故含的项的系数是C22a5=84,解得a=1.故选C. 4.(2014·新课标全国卷Ⅰ) (x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案) 【答案】-20 【解析】(x+y)8的展开式中xy7的系数为C=8,x2y6的系数为C=28,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y8的系数为8-28=-20. 5.(2014·山东卷)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________. 【答案】2 【解析】Tr+1=C(ax2)6-r·=Ca6-r·brx12-3r,令12-3r=3,得r=3,所以Ca6-3b3=20,即a3b3=1,所以ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b,且ab=1时,等号成立.故a2+b2的最小值是2. 6.(2014·四川卷)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 【答案】C 【解析】x(1+x)6的展开式中x3项的系数与(1+x)6的展开式中x2项的系数相同,故其系数为C=15. 7.(2014·浙江卷)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 【答案】C 【解析】含xmyn项的系数为f(m,n)=CC,故原式=CC+CC+CC+CC=120,故选C. 1. (x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( ) A.C B.C C.C D.(-1)m-1C 答案 D 解析 (x-y)n展开式中第m项的系数为 C(-1)m-1. 2.已知,那么n展开式中含x2项的系数为( ) A.130 B.135 C.121 D.139 答案 B 解析 根据题意,,则6中,由二项式定理得通项公式为Tk+1=C(-3)kx6-2k,令6-2k=2,得k=2,所以系数为C×9=135. 3.已知C+2C+22C+23C+…+2nC=729,则C+C+C+…+C等于( ) A.63 B.64 C.31 D.32 答案 A 解析 逆用二项式定理得C+2C+22C+23C+…+2nC=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以C+C+C+…+C=26-C=64-1=63.故选A. 4.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( ) A.-20 B.-15 C.15 D.20 答案 C 解析 设展开式中的常数项是第k+1项,则Tk+1=C·(4x)6-k·(-2-x)k=C·(-1)k·212x-2kx·2-kx=C·(-1)k·212x-3kx, ∵12x-3kx=0恒成立,∴k=4, ∴T5=C·(-1)4=15. 5.若在(x+1)4(ax-1)的展开式中,x4的系数为15,则a的值为( ) A.-4 B. C.4 D. 答案 C 解析 ∵(x+1)4(ax-1)=(x4+4x3+6x2+4x+1)(ax-1),∴x4的系数为4a-1=15,∴a=4. 6.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+an(1-x)n,则a0-a1+a2 -…+(-1)nan等于( ) A.(3n-1) B.(3n-2) C.(3n-2) D.(3n-1) 答案 D 解析 在展开式中,令x=2得3+32+33+…+3n=a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan, 即a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan= =(3n-1). 7.若(x+a)2(-1)5的展开式中常数项为-1,则a的值为( ) A.1 B.9 C.-1或-9 D.1或9 答案 D 8.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________. 答案 10 解析 f(x)=x5=(1+x-1)5, 它的通项为Tk+1=C(1+x)5-k·(-1)k, T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10. 9.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=________. 答案 6 解析 (x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为C, ∴a=C.同理,b=C. ∵13a=7b,∴13·C=7·C. ∴13·=7·.∴m=6. 10.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 =-1.① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷2, 得a1+a3+a5+a7==-1094. (3)(①+②)÷2, 得a0+a2+a4+a6==1093. (4)方法一 ∵(1-2x)7展开式中,a0、a2、a4、a6大于零,而a1、a3、a5、a7小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1093-(-1094)=2187. 方法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|, 即(1+2x)7展开式中各项的系数和,令x=1, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2187. 11.若(+)n展开式中前三项的系数成等差数列,求: (1)展开式中所有x的有理项; (2)展开式中系数最大的项. 解 易求得展开式前三项的系数为1,C,C. 据题意得2×C=1+C⇒n=8. (2)设展开式中Tk+1项的系数最大,则:()kC≥()k+1C且()kC≥()k-1C⇒k=2或k=3. 故展开式中系数最大的项为查看更多