2020届二轮复习恒成立问题学案（全国通用）

2020届二轮复习恒成立问题学案（全国通用）

培优点四 恒成立问题 ‎1．参变分离法 例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，其中，‎ 只需要．‎ 令，，，，‎ 在单调递减，在单调递减，‎ ‎，．‎ ‎2．数形结合法 例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图像，‎ 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得 ‎，观察图像进一步可得只需 时，，‎ 即，所以．‎ ‎3．最值分析法 例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】恒成立即不等式恒成立，令，‎ 只需即可，，‎ ‎，令（分析的单调性）‎ 当时 在单调递减，则 ‎(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）‎ 当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）‎ 若，单调性如表所示 ‎，．‎ ‎（1）可以比较，的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在，处取得，所以让它们均大于0即可．‎ ‎（2）由于，并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）‎ 若，则在上单调递增，，符合题意，‎ 综上所述：．‎ 对点增分集训 一、选择题 ‎1．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 若，即有，分别作出函数和直线的图象，‎ 由直线与曲线相切于原点时，，则，解得， 由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件． 即有，解得．故选B．‎ ‎2．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：，‎ 令可得：，，且：，，，，‎ 据此可知函数在区间上的最小值为，‎ 结合恒成立的条件可得：，‎ 求解关于的不等式可得实数的取值范围是．本题选择C选项．‎ ‎3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，在内恒成立，所以，‎ 由于，所以，，所以，故选D．‎ ‎4．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．‎ 令，，则，‎ ‎∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．‎ ‎∴，∴，∴．‎ 故实数的取值范围是．故选A．‎ ‎5．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】若恒成立，则，，‎ 所以在单调递减，在单调递增．，，所以．‎ 故选D．‎ ‎6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】时，恒成立不等式等价于，，‎ 设，，‎ ‎，在单调递减，在单调递增，，‎ 当时，可知无论为何值，不等式均成立，‎ 当时，恒成立不等式等价于，，‎ 同理设，，在单调递增，‎ ‎，，综上所述：．故选C．‎ ‎7．函数，若存在使得成立，则实数的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】若存在使得成立，则在内即可，‎ ‎，，‎ 故在上单调递减，，故选A．‎ ‎8．设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的定义域是，，‎ 当时，，则在上单调递增，且，‎ 故存在，使；‎ 当时，令，解得，令，解得，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，解得．‎ 综上，的取值范围是．故选D．‎ ‎9．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，恒成立，若，为任意实数，恒成立，‎ 若时，恒成立，‎ 即当时，恒成立，设，则，‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 当时，，则在上单调递减，‎ 当时，取得最大值为．‎ 则要使时，恒成立，的取值范围是，故选D．‎ ‎10．已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，故对时，不成立，‎ 从而对任意，恒成立，‎ 因为，对任意恒成立，‎ 如图所示，则必有，计算得出．故选B．‎ ‎11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式，即，‎ 结合可得恒成立，即恒成立，‎ 构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，‎ 故恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 则的最小值为，据此可得实数的取值范围为．本题选择D选项．‎ ‎12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，则，‎ ‎∴当，，单调递减；‎ 当，，单调递增，‎ ‎∴当时，取得最小值．‎ 如下图所示．‎ 又，故；‎ ‎，故．‎ 故当时，满足在直线的下方．‎ ‎∵直线恒过定点且斜率为，∴要使得有且只有一个整数使得，‎ 只需，∴，‎ 又，∴实数的取值范围．故选C．‎ 二、填空题 ‎13．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一：如图，‎ 因为恒成立，则的图像在的上方（可以有公共点），‎ 所以即，填．‎ 法2：由题设有．‎ 当时，；‎ 当时，有恒成立或恒成立，‎ 故或即，填．‎ ‎14．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对任意正数都有，即不等式对于恒成立．‎ 设，则．‎ 故在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以的最小值是，所以的取值范围是．‎ ‎15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数在上单调递增，则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，所以恒成立，‎ 即在上恒成立，所以，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①当时，函数外层单调递减，‎ 内层二次函数：‎ 当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，‎ ‎，解得；‎ 当，即时，无意义；‎ 当，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，‎ 则需，，无解；‎ 当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，‎ ‎，无解．‎ ‎②当时，函数外层单调递增，‎ ‎，二次函数单调递增，函数单调递增，‎ 所以，解得：．‎ 综上所述：或．‎ 三、解答题 ‎17．设函数，其中，‎ ‎（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（2）若，成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），定义域为，‎ ‎，‎ 设，‎ 当时，，，函数在为增函数，无极值点．‎ 当时，，‎ 若时，，，函数在为增函数，无极值点．‎ 若时，设的两个不相等的实数根，，且，‎ 且，而，则，‎ 所以当，，，单调递增；‎ 当，，，单调递减；‎ 当，，，单调递增．‎ 因此此时函数有两个极值点；‎ 当时，但，，‎ 所以当，，，单调递增；‎ 当，，，单调递减．‎ 所以函数只有一个极值点．‎ 综上可知，当时有一个极值点；当时的无极值点；当时，的有两个极值点．‎ ‎（2）由（1）可知当时在单调递增，而，‎ 则当时，，符合题意；‎ 当时，，，在单调递增，而，‎ 则当时，，符合题意；‎ 当时，，，所以函数在单调递减，而，‎ 则当时，，不符合题意；‎ 当时，设，当时，‎ 在单调递增，因此当时，，‎ 于是，当时，‎ 此时，不符合题意．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎18．设函数，‎ ‎（1）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】，注意到，于是再求导得，，由于，于是为单调递增函数，‎ 时，，时，，‎ 在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）若不等式恒成立，‎ 则，在连续，‎ 在有最大最小值，‎ ‎，‎ 由（1）可知在单调递减，在单调递增，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎，在单调递减，在单调递增 ‎，，故当时，，‎ 当时，，，则上式成立．‎ 当时，由的单调性，，即，‎ 当时，，即，‎ 综上，的取值范围为．‎