2020届二轮复习欲证直线过定点，结合特征方程验学案（全国通用）

2020届二轮复习欲证直线过定点，结合特征方程验学案（全国通用）

专题8 欲证直线过定点，结合特征方程验 ‎【题型综述】‎ 直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.‎ ‎【典例指引】‎ 类型一 椭圆中直线过未知顶点问题 例1 【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ 类型二 椭圆中直线过已知定点问题 例2. 【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线上，且，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 ‎ ‎【解析】(1)设出点P的坐标，利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。&‎ ‎（2）由题意知。设,则 ‎，‎ ‎。‎ 由得，又由（1）知，故 ‎。&‎ 所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。‎ 类型三 点在定直线上问题 例3【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点. （I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 ‎ 的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ 设，联立方程 得，‎ 由，得且，‎ 因此,&‎ ‎（ii）由（i）知直线方程为，‎ 令得，所以，‎ 又，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，&‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.‎ 类型四 抛物线中直线过定点问题 例4.【2013年高考理陕西卷】已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. ‎ ‎ (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; ‎ ‎ (Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点. ‎ ‎【扩展链接】‎ 1. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于 两点，则直线过定点.‎ ‎2.已知为过抛物线=的焦点的弦，，则.‎ ‎3.已知为过椭圆的焦点的弦，，则.‎ ‎4.已知直线，当变动时，直线恒过定点.‎