【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4－5第一节绝对值不等式学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4－5第一节绝对值不等式学案

选修4－5不等式选讲 第一节　绝对值不等式 ‎1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.‎ 突破点一　绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 不等式 a＞0‎ a＝0‎ a＜0‎ ‎|x|＜a ‎∅‎ ‎∅‎ ‎|x|＞a R ‎(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解；‎ ‎②利用零点分段法求解；‎ ‎③构造函数，利用函数的图象求解．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)不等式|x|＜a的解集为{x|－a＜x＜a}．(　　)‎ ‎(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)‎ ‎(3)不等式|2x－3|≤5的解集为{x|－1≤x≤4}．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．‎ 答案：[1，＋∞)‎ ‎2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.‎ 答案：2‎ ‎3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．‎ 答案：8‎ ‎[典例]　解下列不等式：‎ ‎(1)|2x＋1|－2|x－1|＞0；‎ ‎(2)|x＋3|－|2x－1|＜＋1.‎ ‎[解]　(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|＞2|x－1|，‎ 两边平方得4x2＋4x＋1＞4(x2－2x＋1)，‎ 解得x＞，‎ 所以原不等式的解集为.‎ 法二：原不等式等价于 或或 解得x＞，所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)①当x＜－3时，‎ 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，‎ 解得x＜10，∴x＜－3.‎ ‎②当－3≤x≤时，‎ 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，‎ 解得x＜－，∴－3≤x＜－.‎ ‎③当x＞时，‎ 原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，‎ 解得x＞2，∴x＞2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎[方法技巧]‎ 绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法 对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，‎ ‎|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.‎ ‎(2)平方法 两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．　　‎ ‎[针对训练]‎ ‎1．(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤|2x＋1|－1的解集；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)－|x＋3|的值域为A，且[－2,1]⊆A，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|，‎ ‎①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1≤－2x－2，解得x≤－1；‎ ‎②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1≤－2x－2，解得x≤－1，此时原不等式无解；‎ ‎③当x≥－时，原不等式可化为x＋1≤2x，解得x≥1.‎ 综上可知，原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}．‎ ‎(2)因为||x＋a|－|x＋3||≤|(x＋a)－(x＋3)|＝|a－3|，‎ 所以g(x)＝f(x)－|x＋3|＝|x＋a|－|x＋3|∈[－|a－3|，|a－3|]．‎ 所以函数g(x)的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]．‎ 因为[－2,1]⊆A，所以 解得a≤1或a≥5.‎ 所以a的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；‎ 若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，‎ 所以≥1，故0＜a≤2.‎ 综上，a的取值范围为(0,2]．‎ 突破点二　绝对值三角不等式 绝对值三角不等式定理 定理1‎ 如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立 定理2‎ 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　)‎ ‎(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√‎ 二、填空题 ‎1．设a，b为满足ab＜0的实数，那么下列正确的是________(填序号)．‎ ‎①|a＋b|＞|a－b|；　　　　　 ②|a＋b|＜|a－b|；‎ ‎③|a－b|＜||a|－|b||; ④|a－b|＜|a|＋|b|.‎ 解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.‎ 答案：②‎ ‎2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，‎ 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，‎ ‎∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.‎ 答案：[－2,4]‎ ‎3．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．‎ 解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.‎ 答案：5‎ 考法一　证明绝对值不等式　‎ ‎[例1]　已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，‎ 求证：|x＋5y|≤1.‎ ‎[证明]　∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，‎ ‎∴由绝对值不等式的性质，得 ‎|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|‎ ‎＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.‎ 即|x＋5y|≤1.‎ ‎[方法技巧]‎ 绝对值不等式证明的3种主要方法 ‎(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ ‎(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ ‎(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．　　‎ 考法二　与绝对值不等式有关的参数范围问题　‎ ‎[例2]　设函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝|2x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＜g(x)；‎ ‎(2)若2f(x)＋g(x)＞ax＋4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由已知，可得|x＋3|＜|2x－1|，‎ 即|x＋3|2＜|2x－1|2，‎ 则有3x2－10x－8＞0，‎ ‎∴x＜－或x＞4.‎ 故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．‎ ‎(2)设h(x)＝2f(x)＋g(x)＝2|x＋3|＋|2x－1|＝ 当x≤－3时，－4x－5＞ax＋4，即ax＜－4x－9，‎ ‎∵x≤－3＜0，∴a＞＝－4－.‎ ‎∴a＞max，∴a＞－1.‎ 当－3＜x＜时，7＞ax＋4，即ax－3＜0.‎ 则∴∴－1≤a≤6.‎ 当x≥时，4x＋5＞ax＋4，即ax＜4x＋1.‎ ‎∵x≥＞0，∴a＜＝4＋.‎ ‎∵4＋＞4，且无限趋近于4，∴a≤4.‎ 综上，a的取值范围是(－1,4]．‎ ‎[方法技巧]‎ 两招解不等式问题中的含参问题 转化 ‎①把存在性问题转化为求最值问题；‎ ‎②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；‎ ‎③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min 求最值 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：‎ ‎①利用绝对值的几何意义；‎ ‎②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；‎ ‎③利用零点分区间法 ‎1.已知f(x)＝|x＋2|－|2x－1|，M为不等式f(x)＞0的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)求证：当x，y∈M时，|x＋y＋xy|＜15.‎ 解：(1)f(x)＝ 当x＜－2时，由x－3＞0，得x＞3，舍去；‎ 当－2≤x≤时，由3x＋1＞0，得x＞－，‎ 即－＜x≤；‎ 当x＞时，由－x＋3＞0，得x＜3，即＜x＜3，‎ 综上，M＝.‎ ‎(2)证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，‎ ‎∴|x＋y＋xy|≤|x＋y|＋|xy|≤|x|＋|y|＋|xy|＝|x|＋|y|＋|x|·|y|＜3＋3＋3×3＝15.‎ ‎2.已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)＝x2－2x－4＋.‎ ‎(1)若f(2a2－1)＞4|a－1|，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)∵f(2a2－1)＞4|a－1|，‎ ‎∴|2a2－2a|＋|a2－1|＞4|a－1|，‎ ‎∴|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)＞0，‎ ‎∴|2a|＋|a＋1|＞4且a≠1.‎ ‎①若a≤－1，则－2a－a－1＞4，∴a＜－；‎ ‎②若－1＜a＜0，则－2a＋a＋1＞4，∴a＜－3，此时无解；‎ ‎③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1＞4，∴a＞1.‎ 综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)∵g(x)＝(x－1)2＋－5≥2－5＝－1，显然可取等号，‎ ‎∴g(x)min＝－1.‎ 于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.‎ 又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，‎ ‎∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2，‎ 即实数a的取值范围为[0,2]．‎ ‎[课时跟踪检测] ‎ ‎1．(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜1；‎ ‎(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，‎ f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝ 当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；‎ 当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；‎ 当x＞1时，x＜1，无解．‎ 综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，‎ ‎∵3x＞－3，－x＜1，‎ ‎∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．‎ ‎2．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞9；‎ ‎(2)∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝ f(x)＞9等价于或或 综上，原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．‎ ‎(2)|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.由(1)知f(x)≥f＝，‎ 所以2|a|≤，－＜a＜，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎3．(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－a|(a∈R)．‎ ‎(1)若a＝1，求不等式f(x)≥5的解集；‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．‎ 解：(1)若a＝1，‎ 则f(x)＝2|x＋1|＋|x－1|＝ 当x≥1时，3x＋1≥5，即x≥，∴x≥；‎ 当－1＜x＜1时，x＋3≥5，即x≥2，此时x无解；‎ 当x≤－1时，－3x－1≥5，即x≤－2，∴x≤－2.‎ 综上所述，不等式f(x)≥5的解集为.‎ ‎(2)当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|的最小值为0，不符合题意；‎ 当a＞－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝f(－1)＝1＋a＝3，此时a＝2；‎ 当a＜－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝f(－1)＝－1－a＝3，此时a＝－4.‎ 综上所述，a＝2或a＝－4.‎ ‎4．(2019·惠州模拟)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|.‎ ‎(1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集；‎ ‎(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)当m＝5时，f(x)＝ 由f(x)＞2得不等式的解集为.‎ ‎(2)二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，‎ 该函数在x＝－1处取得最小值2，‎ 因为f(x)＝ 在x＝－1处取得最大值m－2，‎ 所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点，‎ 只需m－2≥2，即m≥4.‎ 所以实数m的取值范围为[4，＋∞)．‎ ‎5．(2019·长春模拟)设不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集为A.‎ ‎(1)求集合A；‎ ‎(2)若a，b，c∈A，求证：＞1.‎ 解：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝ 由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，‎ 即A＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：要证＞1，只需证|1－abc|＞|ab－c|，‎ 只需证1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，‎ 只需证1－a2b2＞c2(1－a2b2)，‎ 只需证(1－a2b2)(1－c2)＞0，‎ 由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，‎ 所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立．‎ 综上，＞1.‎ ‎6．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．‎ ‎(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎(2)当a＜时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)∵f(x)＝|x－a|＋(a≠0)，‎ ‎∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，‎ ‎∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，‎ ‎∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，∴实数m的最大值为1.‎ ‎(2)当a＜时，‎ g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋＝ 又函数g(x)有零点，‎ ‎∴g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，‎ ‎∴或∴－≤a＜0，‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ ‎7．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ 当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；‎ 当－1≤x≤2时，显然满足题意；‎ 当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，‎ 故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．‎ 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎ ‎8．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，‎ 由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，‎ 当x＞1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；‎ 当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；‎ 当x＜－时，1－x＋(2x＋1)≥0，得－2≤x＜－.‎ ‎∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ ‎(2)法一：由|x－a|＋3x≤0，‎ 可得或 即或 当a＞0时，不等式的解集为.‎ 由－＝－1，得a＝2.‎ 当a＝0时，不等式的解集为，不合题意．‎ 当a＜0时，不等式的解集为.‎ 由＝－1，得a＝－4.‎ 综上，a＝2或a＝－4.‎ 法二：当x≥a时，f(x)＝4x－a，函数f(x)为增函数，‎ 由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}得，‎ f(－1)＝4×(－1)－a＝0，得a＝－4.‎ 当x＜a时，f(x)＝2x＋a，函数f(x)为增函数，‎ 由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}得，‎ f(－1)＝2×(－1)＋a＝0，得a＝2.‎ 经检验，a＝2或a＝－4都符合题意，‎ 故a的值为2或－4.‎