陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题 Word版含解析

陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题 Word版含解析

‎2020届西安地区八校联考高考.押题卷数学*理科 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，为函数定义域，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，即可求出集合；根据对数函数的特点即可求出函数的定义域，进而求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以；‎ 又函数的定义域为,‎ 所以；‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎2. 已知复数和虚数单位满足.则（ ）.‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据复数的除法运算公式，求出，再利用复数的模的运算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.‎ ‎3. 设等差数列的前项和为，，，则（ ）.‎ A. B. 55 C. 135 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和.‎ ‎【详解】设数列的公差为d，‎ ‎，解得，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n项和的计算，属于基础题.‎ ‎4. 已知，满足约束条件，则的最小值是（ ）.‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件画出可行域，由可得，作 - 21 -‎ ‎，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候最小.‎ ‎【详解】作出可行域如图所示：‎ 由 可得： ，即 当过时，，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解的几何意义，属于基础题.‎ ‎5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，‎ 下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，‎ 所以该几何体的体积为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题.‎ ‎6. 圆上的动点到直线的最近距离为（ ）.‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心到直线的距离，根据距离的最小值为，即可求解.‎ ‎【详解】由圆的一般方程可得，‎ 圆心坐标为，半径为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以圆上的点到直线的距离的最小值为.‎ 故选：D.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题.‎ ‎7. 若是函数的极值点，则曲线在（1，）处的切线方程是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，即可求出得值，再求出的值可得切点，斜率，即可写出方程.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 因为是函数的极值点，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以，‎ 可得，切点为，斜率，‎ 所以切线为： ‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了曲线在某点处切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于，属于中档题.‎ ‎8. 执行如图所示程序框图，若输入的，，则输出的是（ ）.‎ - 21 -‎ A. 15 B. 16 C. 17 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按程序框图运行即可得到正确答案.‎ ‎【详解】第一步：，，，，，，，不成立，‎ 第二步：，，，，不成立，‎ 第三步：，，，，成立，‎ 输出，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.‎ ‎9. 若双曲线的一条渐近线与轴的夹角是，则双曲线的离心率是（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的值，再由可求得双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】由于双曲线的一条渐近线与轴的夹角是，‎ 则直线的倾斜角为，，‎ 所以，双曲线的离心率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为　　‎ A. 100，8 B. 80，20 C. 100，20 D. 80，8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是，其中对四居室满意的人数为 - 21 -‎ ‎，应选答案A．‎ ‎11. 设函数，则当时，的展开式中常数项是（ ）.‎ A. B. C. 35 D. 70‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数求出的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项.‎ ‎【详解】函数，‎ 当时，，‎ 其展开式的通项公式为：‎ ‎，‎ 令，解得；‎ 展开式的常数项为：‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题.‎ ‎12. 设向量，，.则函数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得，再根据和三角函数的性质，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可知，‎ 又，‎ 所以当时，即时，取最大值，‎ 最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13. 函数（）的最小正周期是，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用函数的 周期公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可知，，所以.‎ 故答案为：.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数周期公式的应用，属于基础题.‎ ‎14. 已知圆内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆内的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算正方形的面积和内切圆的面积后可得所求的概率 ‎【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为，‎ 设事件为“在正方形内任取一点，则该点不在圆内”，‎ 则中含有的基本事件对应的面积为，‎ 故所求的概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题.‎ ‎15. 已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义和已知条件，可求出的值，再根据勾股定理，可证明是以为直角边的直角三角形，由此即可求出结果.‎ ‎【详解】由椭圆的定义可知，，‎ 又，‎ 联立两式 ，可得 - 21 -‎ 又，‎ 所以，‎ 所以是以为直角边的直角三角形，‎ 所以的面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题.‎ ‎16. 第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为，大正方形面积为，直角三角形中较大锐角为，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出直角三角形中的对边长，可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.‎ ‎【详解】设直角三角形中的对边长为，则较短的直角边长为，‎ 由题意可得，整理得，，解得，‎ 大正方形的边长为，，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎17. 已知公比不等于1的等比数列满足，且是，的等差中项.‎ - 21 -‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；（2）借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解，代入已知条件求解即可.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得 ‎，‎ 解之得（舍去），‎ ‎∴数列的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式，‎ 即，‎ 得 ‎∴（舍去），或（），‎ 故使得成立的正整数的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用．属于中档题.‎ - 21 -‎ ‎18. 某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是、、.且各轮问题能否正确回答互不影响.‎ ‎（1）求该选手被淘汰的概率；‎ ‎（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设“该选手能正确回答第轮问题”为事件，则“该选手被淘汰”为事件，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．； ‎ ‎（2）由题意的可能值为1，2，3，表示前轮均答对问题，而第次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望．‎ ‎【详解】（1）设“该选手能正确回答第轮问题”为事件，‎ ‎“该选手被淘汰”为事件.‎ 则，，.‎ ‎∴该选手被淘汰的概率是 ‎（2）的可能取值为1，2，3.‎ ‎，‎ - 21 -‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．‎ ‎19. 如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，的面积为，在棱上确定一点，求使得直线与平面所成角的正弦值为时的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可. ‎ ‎（2）设，利用已知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面 - 21 -‎ 的一个法向量，利用直线与平面所成角的正弦值求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，‎ 所以，∵平面，‎ 所以，，‎ 故平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）解：设，则，得.‎ 在菱形中，由，，‎ 可得，，‎ 过作直线平面，以为原点，直线为轴，‎ 直线为轴，为轴建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，，，，‎ ‎，‎ 设，（）‎ ‎∴；‎ 设平面的一个法向量为，则有 即，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 解得，或（舍去）.‎ ‎∴，‎ - 21 -‎ 得的长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题.属于中档题.‎ ‎20. 已知为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.直线：与抛物线交于、两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，轴上是否存在点，使得当变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在；（0，）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由，即可得到，从而求出参数的值，即可得解；‎ ‎（2）设，，.联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，由，则直线和直线的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数的值，即可得解；‎ ‎【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得，解得.‎ ‎∴抛物线方程为.‎ ‎（2）在轴上存在点，使得当变化时，总有.理由如下：‎ 设，，.‎ - 21 -‎ 由消去，得.且恒成立.‎ ‎∴，.，.‎ ‎∵时，直线和直线的倾斜角互补，故其斜率互为相反数.‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∴，得，即点的坐标为（0，）.‎ 所以，轴上存在点（0，），使得当变化时，总有 ‎【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.‎ ‎21. 已知函数，，其中是的导函数.‎ ‎（1）求函数（为常数）的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，再对分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令，求导，再对分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎.‎ ‎∴（），‎ ‎∴.‎ - 21 -‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，由，得，‎ 时，.‎ 时，.‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上所述，当时，的单调递减区间是；‎ 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，‎ 即恒成立，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，‎ 仅当，时，等号成立；‎ 在上递增；‎ ‎∴；‎ 恒成立；‎ 当时，由，得，‎ 当时，，‎ 在上递减，有，‎ - 21 -‎ 即使，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎（选修：坐标系与参数方程）‎ ‎22. 选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得，也可利用直角坐标方程求交点，再转化为极坐标 试题解析： （1）∵C1的参数方程为 ‎∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，‎ 即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ 把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ 化简得：.‎ ‎（2）C2直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ - 21 -‎ ‎∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标为.‎ 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程 ‎（选修：不等式选讲）‎ ‎23. 已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先整理，可得，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）即，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 得 ‎∵的解集是，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）得，由柯西不等式得，‎ ‎.‎ - 21 -‎ 即，得.当，时，等号成立.‎ ‎∴的最小值是2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.‎ - 21 -‎