2019届二轮复习第11招不等式法全分类高考再无别家人学案（江苏专用）

2019届二轮复习第11招不等式法全分类高考再无别家人学案（江苏专用）

不等式法全分类 基本不等式是江苏高考C级要求，是高中数学的重要知识，高考和模拟考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查，一般放在9~14题．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．群里有很多伙伴和学生问及这类题目，就简单做个整理.‎ 一、构造齐次法 例1.已知，且，求的最小值______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】因为，‎ 当且仅当即时取等号.‎ 变式1.已知，且，求的最小值______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时取等号.‎ 变式2.（2011重庆理数7）已知，则的最小值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时取等号.‎ 变式3. 设，，若，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.后面就一样的了 变式4.设，，则的最小值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】将等式变形为，则 ‎（等号成立的条件）‎ 变式5.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 二、消元法解题 例2.设，，则的最小值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】将等式变形为 当且仅当时取等号.‎ 变式1.若实数,，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，‎ 变式2.（08江苏11）设是 . ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由,‎ 原式 变式3.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数c的值为 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】函数的值域为,可以直接让,的解集为,解集关与原点对称，所以m=-3,这样就轻松得到c=9.‎ 三、分母整体换元 分母比较复杂时，都是一次的，可以把他换元，简化一下.‎ 例3.已知为正数，则的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令 检验等号成立的条件 变式.设a，b，c为正实数，求的最小值。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 四、 判别式法解题 能最终转化成一元二次方程的，才用判别式 例4.（11浙江理16）设为实数，若则的最大值是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 化简得到因为为实数，‎ 则有 所以最大值为 变式1.设，，则的最小值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】略 变式2.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 五、三角换元 例5.，求的取值范围 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 六、权方和 权方和介绍 权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式，常用来处理分式不等式。‎ 它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系。‎ 其中m称为不等式的权，特点是分子次数比分母高一次。‎ 通俗的说法是：‎ 例6.已知，且，求的最小值______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】当且仅当时，即时取等号.‎ 变式1. 设，，若，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.当且仅当时，即时取等号.‎ 七、待定系数法 例7.（10江苏12）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 .‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ 检验等号成立的条件 变式1.实数满足，则的最大值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 检验等号成立的条件 八、因式分解 例8.已知实数x，s，t满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 检验等号成立的条件 变式1.(2015通锡苏密卷一10)已知正实数满足，则最小值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】.‎ 检验等号成立的条件 变式2.(2014通锡苏密卷三11)若,则的最小值为 .‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 检验等号成立的条件 变式3.‎ 若>0，且的最小值为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由若>0，且 检验等号成立的条件 ‎【答案】‎ 九、柯西不等式 柯西的证明一：已知二次函数 检验等号成立的条件 柯西的证明二：构造向量 检验等号成立的条件 例9.（2016届湖南省衡阳市八中高三上学期第三次月考理科数学试卷）‎ 若，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，则由柯西不等式可得 故．当且仅当时取等号 变式1.（2014年辽宁卷）对于，当非零实数a，b满足 ‎，且使最大时，的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由可得：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，即时，取等号，‎ 这时或 当时，，‎ 当时，，‎ 综上可知当时，‎ 变式2.设的最小值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 检验等号成立的条件 十、构造法 例10.已知则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由（这里是韦达定理的样子了），是的两根，‎ ‎，变成了三次函数，求导即可得出最值.‎ 变式1.实数，满足，，则的取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 十一、对称变量（体现数学的美感）‎ 未知数互换不影响结果的，才能使用对称变量法，同时注意等号成立的条件 例11.已知正实数，求最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令即可 变式1.已知正实数，求最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令即可 变式2.若实数,，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令即可 十二、两边夹 例12.若实数满足，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知 当且仅当时取等，所以 变式1.若实数满足，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】同上 ‎ ‎ 十三、主元思想 例13.已知 ‎【答案】‎ ‎【解析】原式等价于先看作的函数，再看作关于c的函数，最后只剩下b ，三次函数求导即可，取等条件为 变式1.设实数满足：，则的最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把b看成主元，则，所以为对勾函数或者一次函数，不管这个区间是否包含对勾函数的勾底，最大值都是在端点处取的，所以 十四、根的分布 例15. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 . ‎ ‎【答案】 【解析】画出二次函数的分析简图： 由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为 . ‎