【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第57讲二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第57讲二项式定理学案

第57讲　二项式定理 考试说明 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. ‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 二项式定理 通项公式 ‎2016全国卷Ⅰ14‎ ‎2015全国卷Ⅰ10,‎ ‎2014全国卷Ⅰ13,‎ ‎2014全国卷Ⅱ13,‎ ‎2013全国卷Ⅱ5‎ ‎★★★‎ 二项式的 系数与性质 ‎2017全国卷Ⅲ4,‎ ‎2017全国卷Ⅰ6,‎ ‎2015全国卷Ⅱ15,‎ ‎2013全国卷Ⅰ9‎ ‎★★☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅰ (1+x)6展开式中x2的系数为 (　　)‎ A.15 B.20‎ C.30 D.35‎ ‎[解析 C　(1+x)6的展开式中x2的系数为,x4的系数为,所以(1+x)6展开式中x2的系数为+=30.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅲ (x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 (　　)‎ A.-80 B.-40‎ C.40 D.80‎ ‎[解析 C　由二项式定理可得,原式展开式中含x3y3的项为x·(2x)2(-y)3+y·(2x)3(-y)2=40x3y3,则x3y3的系数为40.‎ ‎3.[2015·全国卷Ⅰ (x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 (　　)‎ A.10 B.20‎ C.30 D.60‎ ‎[解析 C　[(x2+x)+y 5的通项Tr+1=(x2+x)ry5-r,由题意取r=3,得T4=(x2+x)3y2=(x+1)3x3y2,记(x+1)3的通项T'r'+1=xr',由题意得r'=2,所以x5y2的系数为·=30.‎ ‎4.[2013·全国卷Ⅱ 已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= (　　)‎ A.-4 B.-3‎ C.-2 D.-1‎ ‎[解析 D　已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中,x2的系数为+a =5,则a=-1,故选D.‎ ‎5.[2013·全国卷Ⅰ 设m为正整数,(x+y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)‎2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若‎13a=7b,则 m= (　　)‎ A.5 B.6‎ C.7 D.8‎ ‎[解析 B　(x+y)‎2m展开式的二项式系数的最大值是,即a=;(x+y)‎2m+1展开式的二项式系数的最大值是,即b=.∵‎13a=7b,∴13=7,∴13=7,易得m=6.‎ ‎6.[2016·全国卷Ⅰ (2x+)5的展开式中,x3的系数是　　　　.(用数字填写答案) ‎ ‎[答案 10‎ ‎[解析 展开式的通项为Tr+1=25-r,令5-=3,得r=4,故所求系数为2=10.‎ ‎7.[2015·全国卷Ⅱ (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　. ‎ ‎[答案 3‎ ‎[解析 (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a,第二个因式取x及x3;另一部分来自第一个因式取x,第二个因式取x0,x2及x4.所以系数之和为a+a+++=‎8a+8=32,所以a=3.‎ ‎8.[2014·全国卷Ⅰ (x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字填写答案) ‎ ‎[答案 -20‎ ‎[解析 (x+y)8的展开式中xy7的系数为=8,x2y6的系数为=28,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为8-28=-20.‎ ‎9.[2014·全国卷Ⅱ (x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字填写答案) ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 展开式中x7的系数为a3=15,即a3=,解得a=.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2016·四川卷 设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 (　　)‎ A.-15x4 B.15x4‎ C.-20ix4 D.20ix4‎ ‎[解析 A　由题可知,含x4的项为x4i2=-15x4.‎ ‎2.[2017·山东卷 已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　　. ‎ ‎[答案 4‎ ‎[解析 因为Tr+1=(3x)r,所以x2的系数为32,由32=54得n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),故n=4.‎ ‎3.[2017·浙江卷 已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　,a5=　　　　. ‎ ‎[答案 16　4‎ ‎[解析 由题意,得a4是展开式中的一次项系数,则a4=·12··22+·13··21=16;a5是展开式中的常数项,则a5=·13··22=4.‎ ‎4.[2016·北京卷 在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为　　　　.(用数字作答) ‎ ‎[答案 60‎ ‎[解析 展开式的通项Tr+1=×16-r×(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得x2的系数为(-2)2×=60.‎ ‎5.[2016·上海卷 在-n的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于　　　　. ‎ ‎[答案 112‎ ‎[解析 由题意得2n=256,所以n=8,则二项展开式的通项为Tr+1=()8-r-r=(-2)r,令-r=0,得r=2,所以常数项为T3=112. ‎ ‎6.[2016·天津卷 x2-8的展开式中x7的系数为　　　　.(用数字作答) ‎ ‎[答案 -56‎ ‎[解析 展开式的通项Tr+1=(x2)8-r-r=(-1)rx16-3r,由16-3r=7,得r=3,所以所求系数为(-1)3=-56.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.r+1‎ ‎2.相等　2n　2n-1‎ 对点演练 ‎1.16　[解析 由题意得=,所以n=15,故展开式共有16项.‎ ‎2.9　[解析 二项式x+12展开式的通项为Tr+1=x12-r=2r,令12-=0,得r=8,即常数项是第9项.‎ ‎3.28　[解析 二项展开式的通项为Tr+1=x8-r=(-1)r,令8-=5,得r=2,所以含x5项的系数为(-1)2=28.‎ ‎4.　[解析 x1-4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得1-4=a1+a2+a3+a4+a5,令x=-1,得-1+4=-a1+a2-a3+a4-a5,∴2(a1+a3+a5)=+,解得a1+a3+a5=.‎ ‎5.-280　[解析 二项展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=·(-2)rxr,当r=3时,T4=·(-2)3·x3=-280x3,所以第4项的系数为-280.‎ ‎6.-1　[解析 由题意得2n=32,所以n=5.令x=1,得各项系数的和为(1-2)5=-1.‎ ‎7.180　[解析 ∵(1+x)10=[2-(1-x) 10,∴其展开式的通项为Tr+1=(-1)r210-r·(1-x)r,令r=8,得a8=4=180. ‎ ‎8.-15　[解析 (x+1)5(x-2)=x(x+1)5-2(x+1)5,展开式中含有x2的项为-20x2+5x2=-15x2,故x2的系数为-15.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)首先根据展开式的通项求得含x3项的项数,然后再利用展开式的通项求其系数;(2)首先根据展开式的通项求得常数项的项数,然后再利用展开式的通项求常数项.‎ ‎(1)A　(2)B　[解析 (1)(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,令r=3,得x3的系数为(-2)3=-80,故选A.‎ ‎(2)二项展开式的通项为T +1=x6- ·- =x6- ·(-1) ·=(-1) ,要使其为常数,则6- =0,即 =4,故常数项为T5=(-1)4==15.‎ 变式题　(1)A　(2)20　[解析 (1)x-5的展开式的通项为Tr+1=x5-r=(-a)rx5-2r.令5-2r=3,解得r=1,∴x3的系数为-a×=30,则实数a=-6.故选A.‎ ‎(2)展开式的通项为Tr+1=(2x)r=2rx2r-5=23r-10x2r-5,令2r-5=3,得r=4,故x3的系数是212-10=4×5=20,应填20.‎ 例2　[思路点拨 (1)利用赋值法,先求各项系数和,为4n,二项式系数和为2n,求出n=6,然后再利用展开式的通项求x3的系数即可;(2)利用二项展开式的通项,将绝对值符号去掉得|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|=-a1+a2-a3+…-a9,令x=0得a0=1,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…-a9=29,相减可得.‎ ‎(1)C　(2)D　[解析 (1)由题意知=64,得n=6,展开式的通项为Tr+1=x6-r=3r,令6-=3,得r=2,则x3的系数为32=135.故选C.‎ ‎(2)令x=0,得a0=1,令x=-1,得|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|=[1-(-1) 9-1=29-1=511.‎ 变式题　(1)D　(2)-4或2　[解析 (1)因为n=6是偶数,所以展开式共有7项,其中中间一项的二项式系数最大,其二项式系数为m==20,含x5项的系数为n=(-1)××2=-12,则=-=-,应选D.‎ ‎(2)由x2+n的展开式中二项式系数和为2n=64,可得n=6,再由x2+n的展开式中所有项的系数和为(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.‎ 例3　[思路点拨 根据二项式定理,将(1+x)n展开式中含x2项的系数分别求出,再相加.‎ D　[解析 展开式中x2项的系数是+++…+=+++…+=++…+=…=,所以x2项的系数是=220,故选D.‎ 例4　[思路点拨 分别找出(-1)4的展开式中含x的项及常数项,再找出(x-1)2的展开式中含x的项及常数项,最后得出(-1)4(x-1)2的展开式中含x的项的系数.‎ D　[解析 因为(-1)4·(x-1)2=x2-+x-+1(x2-2x+1),所以(-1)4·(x-1)2的展开式中,含x项的系数为-2=4,故选D.‎ 例5　[思路点拨 将x2-整体看成一项,利用二项式定理展开,再考虑展开式中哪些项含有常数项,相加得所求展开式中的常数项. ‎ ‎117　[解析 原式可化为x2-+34=x2-4+3x2-3+9x2-2+27x2-+81,由于二项式x2-n的展开式的通项为Tr+1=x2n-2r=(-1)rx2n-3r,令2n=3r,得当n=3时,r=2,此时对应的项是(-1)2=3,所以常数项的系数为3×3×4+81=117,应填117.‎ 强化演练 ‎1.A　[解析 x的奇数次幂项的系数之和为=32,得a=-3,故选A.‎ ‎2.2　[解析 令x=1可得a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n==2n+1-2=62,解得n=5,所以logn25=2.‎ ‎3.-12　[解析 (x2-x-2)3=(x-2)3(x+1)3,所以展开式中含x项的系数为(-2)3+(-2)2=-24+12=-12.‎ ‎4.120　[解析 xy3的系数为·2·=120.‎ ‎5.-180　[解析 由题意得,x-(2x-1)6的展开式中含x3的项为x(2x)2(-1)4+(2x)4(-1)2=-180x3,所以展开式中x3的系数为-180.‎ ‎6.-84　[解析 因为(1+y3)x-n(n∈N+)的展开式中存在常数项,则1+y3中的y3与x-n的展开式中含项的乘积即为所求,x-n展开式的通项为Tr+1=(-1)rxn-3ry-r,令n-3r=0且-r=-3,得n=9,r=3,所以常数项为(-1)3=-84.‎ 例6　[思路点拨 由题意结合二项式定理即可证得题中的结论.‎ 证明:由f(n,1)=mnfn, ,得(1+m)n=mn1+n=m+n,‎ 则1+m=m+,所以m=. ‎ 又f2017,=1+2017=1+2017>1+++>1+2+2+1=6,‎ 而f-2017, =1+-2017=1+-2017<1,‎ 所以f2017,>6f-2017, .‎ 例7　[思路点拨 由题意求得首项和公差,据此可得数列的通项公式an.‎ 解:由题意,⇒≤m≤,又m∈N,∴m=2,∴a1=-=100.‎ ‎∵7777-15=(19×4+1)77-15=+(19×4)+…+(19×4)77-15=(19×4)[+(19×4)+…+(19×4)76 -19+5,‎ ‎∴7777-15除以19的余数为5,即n=5.‎ ‎∴-5展开式的通项为Tr+1==(-1)r,令5r-15=0,得r=3,‎ ‎∴公差d=(-1)3=-4,∴an=a1+(n-1)d=104-4n.‎ 强化演练 ‎1.B　[解析 利用二项式定理展开得883+6=(7+1)83+6=783+×782+…+×72+×7+1+6=‎72M+83×7+7(M是正整数)=‎49M+49×12=49N(N是正整数),∴883+6被49除所得的余数是0.故选B.‎ ‎2.0或7　[解析 根据二项式定理可知,7n+7n-1+7n-2+…+7=(7+1)n-1=8n-1,又因为8n-1=(9-1)n-1=9n+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+(-1)n-1,所以当n为偶数时,除以9的余数为0,当n为奇数时,除以9的余数为7.‎ ‎3.证明:==+·+·+…+·=1++·+…+>1+=>0,所以<,故原不等式得证.‎ ‎【备选理由】例1侧重考查利用二项展开式的通项求指定项(系数);例2考查赋值法求各项系数之和;例3、例4、例5考查几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题及含参问题,是高考热点题型.‎ ‎1　[配合例1使用 二项式2x2-6的展开式中,x-3的系数为 　　　　. ‎ ‎[答案 -12‎ ‎[解析 二项式2x2-6展开式的通项为Tr+1=(2x2)6-r=(-1)r26-rx12-3r,令12-3r=-3得r=5,则T5+1=(-1)52x-3=-12x-3,其系数为-12. ‎ ‎2　[配合例2使用 设x(1-x)7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,则a1+‎3a2+‎7a3+‎15a4+‎31a5+‎63a6+‎127a7+‎255a8=　　　　. ‎ ‎[答案 -2‎ ‎[解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,令x=2,得-2=‎2a1+‎4a2+‎8a3+‎16a4+‎32a5+‎64a6+‎128a7+‎256a8,所以a1+‎3a2+‎7a3+‎15a4+‎31a5+‎63a6+‎127a7+‎255a8=-2.‎ ‎3　[配合例4使用 已知(1+x)(1-2x)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则a3=　　　　. ‎ ‎[答案 380‎ ‎[解析 因为(1+x)(1-2x)6=[2+(x-1) ·[1+2(x-1) 6,所以a3=2··23+·22=380.‎ ‎4　[配合例4使用 已知xx+5的展开式中常数项为20,其中a>0,则a=　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 展开式的通项为Tr+1=x·x5-r·=ar,由得因为a>0,所以a=.‎ ‎5　[配合例4使用 已知3x+2x-5的展开式中的各项系数和为4,则x2的系数为　　　　.  ‎ ‎[答案 160‎ ‎[解析 令x=1,得3x+2x-5的展开式中的各项系数和为3+(2-1)5=4,解得a=2,所以含x2的项为3x×(2x)3+(2x)4=160x2,故x2的系数为160.‎